第29章 专题2圆的综合性问题-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

专题二 圆的综合性问题(答案P11) 类型1 圆的拓展探究 2.如图所示,AB是。O的直径,直线/是⊙O的 1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成 切线,B为切点.P,Q是圆上两点(不与点A 的两条线段长的积相等。 重合,且在直径AB的同侧),分别作射线AP. (1)为了说明相交弦定理的正确性,需要对其 AQ交直线7于点C,点D (1)如图①所示,当AB-6,BP的长为n时, 进行证明,如下给出了不完整的“已知”“求 证”,请补充完整,并写出证明过程 求BC的长. AQ3.BP-PQ时,求 已知:如图①所示,弦AB,CD交于点P 求证: 彼 (2)如图②所示,已知AB是。O的直径,AB 与弦CD交于点P,且AB CD于点P,过点 (3)如图③所示,当sinBAQ= D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E,D ,BC-CD 为切点,若AP一2,O的半径为5,求AE的长 时,连接BP,PQ,直接写出 ① ② ② ① ③ 类型2圆与平移问题 4.如图所示,在△ABC中,ACB=90{*},ABC= 3.如图①所示,点O和矩形CDEF的边CD都在 45*,BC=12cm,半圆O的直径DE=12cm. 直线/上,以点O为圆心,以24为半径作半圆, 点E与点C重合,半圆O以2cm/s的速度从 分别交直线/于A,B两点.已知:CD=18,CF 左向右移动,在运动过程中,点D,E始终在 24,矩形自右向左在直线/上平移,当点D到达 BC所在的直线上,设运动时间为x(单位;s); 点A时,矩形停止运动,在平移过程中,设矩形 半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(单 位:cm). 对角线DF与半圆AB的交点为点P(点P为 (1)当x=0时,设点M是半圆O上一点,点N 半圆上远离点B的交点) 是线段AB上一点,则MN的最大值 (1)如图②所示,若FD与半圆AB相切,求 为 _,最小值为___. OD的值. (2)在平移过程中,当点O与BC的中点重合 (2)如图③所示,当DF与半圆AB有两个交 时,求半圆O与△ABC重叠部分的面积S. 点时,求线段PD的取值范围 (3)当x为何值时,半圆O与△ABC的边所在 的直线相切? ① ② ③ 类型3 圆与旋转问题 6.如图所示,已知AB=10,以AB为直径作半圆 5.已知。O的半径和正方形ABCD的边长均为 O,半径OA绕点O顺时针旋转得到OC,点A 1.把正方形ABCD放在⊙O中,使顶点A,D 的对应点为C,当点C与点B重合时停止.连 落在O上,此时点A的位置记为A。,如图① 接BC并延长到点D,使得CD一BC,过点D 所示,按下列步骤操作,如图②所示,将正方形 作DE|AB于点E,连接AD,AC. ABCD在⊙O中绕点A顺时针旋转,使点B (1)AD- 落到⊙O上,完成第一次旋转;再绕点B顺时 (2)如图①所示,当点E与点O重合时,判断 针旋转,使点C落到O上,完成第二次 △ABD的形状,并说明理由. 旋转..... (3)如图②所示,当OE一1时,求BC的长 (1)正方形ABCD每次旋转的度数 (4)如图③所示,若点P是线段AD上一点,连 接PC,当PC与半圆O相切时,直接写出直线 (2)将正方形ABCD连续旋转6次,在旋转的 PC与AD的位置关系. 过程中,求点B与A。之间的距离的最小值 00F) F70 01 。 ③ A(A) A(/A) ① ②②如图②所示，连接CI,作BH⊥AC于点H,IM⊥BC于 :BP=PQ,.∠BAC=∠DAC. 点M,IF⊥AC于点F,IN⊥AB于点N. CF⊥AD,AB⊥BC,∴CF=CB BH⊥AC,∠BAC=45°， ∠BAQ+∠ADB=90°，∠FCD+∠ADB=90°， ·∠BAC=∠ABH=45°， ∠FCD=∠BAQ. .AH=BH=32, ∴.CH=√BC-BH=√(25)-(3√2)=2， ÷S-品-m∠rCD-a∠aAQ- 3 .AC=AH+CH=42. (3)如图③所示，连接BQ. ,I为△ABC的内心， ,设IN=IM=IF=x, ÷2AB·r+7ACz+7BC·x- 1 1 AC·BH, 1 即3x+22x+5x-2×42X32, 12 D (3+22+5)x=12,x= 3 3+5+221 'AB⊥BC,BQ⊥AD, :△ABC内切圆的半径为3+5+2后 12 ∠ABQ+∠BAD=90°，∠ADB+∠BAD=90°， ∴.∠ABQ=∠ADC. 专题二圆的综合性问题 ∠ABQ=∠APQ,.∠APQ=∠ADC 1.解：(1)PA·PB=PC·PD "∠PAQ=∠CAD,.△APQ∽△ADC, 证明：连接AC,BD,如图①所示， 品@ ∠BAP=∠BAC,∠ABC=∠APB=90°， .△APBn△ABC, BP AP 0 “BC-AB②. BC=CD. ① ①÷②，得-4 BPAD =cos∠BAQ :∠A=∠D,∠C=∠B, sin∠BAQ=,eos∠BMQ= 10.PQ 10 △ACPDBP,÷S-S PC 4BP 4 3.解：(1)如图①所示，连接OP.:DF与半圆相切， .PA·PB=PC·PD. (2)AP=2,OA=5,PB=10-2=8.由(1)可知PA· PB=PC·PD..PC·PD=16. AB⊥CD,AB是⊙O的直径，PC=PD,PD=4. 连接OD,如图②所示. D ,DE为切线，.∠EDO=90° ,OP⊥FD,·∠OPD=90°.在矩形CDEF中，∠FCD=90°， ∠1+∠2=90°，∠E+∠2=90°..∠1=∠E. CD=18,CF=24, .△OPDO△DPE ∴.FD=/242+18=30. 16 6-e,∴OP·PE=PD·PD.∴3PE=16,PE= ∠OPD=∠FCD=90°，∠ODP=∠FDC,PO=CF=24, 又：AP=2AE-9-2-号 .△OPD≌△FCD(AAS), 10 .OD=DF=30. 2.解：(1)如图①所示，连接OP,设∠BOP的度数为n. (2)如图②所示，当点B,D重合时，过点O作OH⊥DF于点 AB=6,BP的长为，”：3 H,则DP=2HD 180 E m=60,即∠B0P=60.∠BAP=号∠B0P=30 OC BD) :直线L是⊙0的切线，∠ABC=90,BC=AB=23. ① DH CD “cos∠0DP=OD=FD,而CD=18,0D=24,由(1)知 DF=30, 盟-器D-得 则Dp=2HD= D 当DF与半圆相切，由(1)知PD=CD=18, (2)如图②所示，连接BQ,过点C作CF⊥AD于点F. AB为直径，∴∠BQA=90°， PD 六cos∠BAQ=AQ3 4.解：(1)24cm(9V2-6)cm AB 4' (2)当点O与BC的中点重合时，如图①所示，点O移动了 11 12cm, 本章综合提升 设半圆O与AB交于点H,连接OH,CH. 【本章知识归纳】 BC为直径，∠CHB=90°. 内上外相交垂直半径相等 ∠ABC=45,.∠HCB=45,.HC=HB, 【思想方法归纳】 .∴.OH⊥BC,OH=OC=OB=6cm, 【例1】解：(1)如图所示，连接OD,过点O作BC的垂线，垂足为 S=S。十SA0二0元×6+2X6×6=(9元+ 点G, 18)cm'. DG COD)O BE) DC O EB 点O为半圆圆心， ① 2 ..OB-OD=t cm, (3)当半圆O与直线AC相切时，运动的距离为0cm或 12cm,.x■0s或6s 六DG=BG=2BD, 当半圆O与直线AB相切时，如图②所示， Fan∠ABC=了设BG为3m,0G为4m 连接OH,则OH⊥AB,OH=6cm, ∠B=45°，∠OHB=90°， 在R△0BG中，=(3m)P+(m,解得m=专 .OB=√2OH=6W2cm, ∴.OC=BC-OB=(12-6√2)cm, BD=2BG=2X3m=号 ∴.移动的距离为6+12-6V2=(18-62)cm, (2)当线段PQ与半圆O相切时，QP⊥BP.在Rt△BQP中 运动时间为x=18-,62=(9一32)3 an∠PBQ=子，设PQ=4,BP=3, 2 综上所述，当x为0s或6s或(9一3√2)s时，半圆O与 ÷BQ-√PB+QP-5k,cos∠PBQ-BQ亏 BP 3 △ABC的边所在的直线相切. 又，BP=2t,BQ=16-2t, 5.解：(1)30 2t 3 (2)第一次绕点A(A。)旋转，1为半径，由点B旋转到B:, 16-2-5' AB始终为1；第二次绕点B1旋转，B:位置不变，B1和B: .t=3, 重合，AB(A。B)始终为1：第三次绕点C旋转，1为半径，由 ∴.当t=3秒时，线段PQ与半圆O相切. B,旋转到B。,A。B最短为AB,=√3一1：第四次绕点D旋 (3):半圆0与线段PQ只有一个公共点， 转W2为半径，由B,旋转到B,A,D=2,A。B最短为2- ,当半圆O与线段PQ相切时，由(2)，得t=3时，线段PQ与 √2，第五次绕点A旋转，1为半径，由B,旋转到B,,A。B最 半圆O相切， 短为AB,=√3一1：第六次绕点B,旋转，B,位置不变，点B, ∴当0<1≤3时，半圆0与线段PQ只有一个公共点： 当点Q与点D重合时，BD=BQ, 和B。重合，A。B始终为1.综上，A。B最短为2一√2 6.解：(1)10 、6 号t=16-24,解得1=5 (2)△ABD是等边三角形.理由如下： ,.当5<t<8时，半圆O与线段PQ只有一个公共点」 :点E与点O重合，AE=BE 综上所述，若半圆O与线段PQ只有一个公共点，t的取值范围 DE⊥AB, 为0<t≤3或5t<8. ∴AD=BD.AB是半圆O的直径，.AC⊥BC. 【变式训练1】 又BC=CD,.AD=AB.∴AD=AB=DB, ∴△ABD是等边三角形. 2-25或2+2W5 【例2】解：(1)证明：，AO=OB, (3)AB=10,.AO=B0=5.当点E在A0上时，则AE= .∠OAB=∠OBA. AO-OE=4,BE=BO+OE=6. BD是⊙O的切线， ,AD=10,DE⊥AO,∴.在Rt△ADE和Rt△BDE中， .OB⊥BD, 由勾股定理，得AD2一AE2=BD2-BE,即102一4 .∠OBD=90°， BD-62,解得BD=2√3O, .∠OBE+∠EBD=90 .BC-BD-0 EC⊥OA, ∴∠CAE+∠CEA=90. 当点E在OB上时，同理可得102-62=BD2一42， :∠CEA=∠DEB, 解得BD=4√5，∴.BC=2√5】 ∴.∠EBD=∠BED 综上所述，BC的长为√30或25. (2)如图所示，作DF⊥AB于点F,连接OE. (4)PC⊥AD. 连接OC.,点C是BD的中点，点O是AB的中点， .OC是△ABD的中位线， .OC∥AD. 又，PC与半圆O相切， .PC⊥OC, .PC⊥AD. 12