第29章 专题1三角形的内切圆与外接圆-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

专题一三角形的内切圆与外接圆（答案9）》 国类型1内心与外心 4.如图所示，在△ABC与△ACD中，AD 1.(2023·沧州模拟)如图所示，在锐角三角形 AC=DC=25,∠BAC:∠B:∠ACB= ABC中，点O为AB的中点.甲、乙二人想在 1:2:3,则△ABC的外心与△ACD的内心 AC上找一点P,使得△ABP的外心为点O, 之间的距离为( 其作法分别如图所示.对于甲、乙二人的作法， A.2 B.3+1C.23 D.3 下列判断正确的是( 5.如图所示，在△ABC中，∠BIC=125°，点I是 内心，点O是外心，则∠BOC= 甲的作法 乙的作法 0 以O为圆心，OA 第5题图 第6题图 过点B作与AC垂直的直线， 长为半径画孤， 交AC于点P,则点P即为 交AC于点P,则 6.如图所示，△ABC内接于⊙O,它的内心为点 D,连接AD并延长交弦BC于点E,交⊙O于 所求 点P即为所求. 点F,已知BE=5,CE=4,EF=3,则线段DE A.两人都正确 B两人都错误 的长为 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确 7.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90° 2.(2024·石家庄模拟)已知一个三角形的内心 (1)在图①中作△ABC的外接圆⊙O:在图② 与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的 中作△ABC的内切圆⊙I,(要求：尺规作图， 外接圆的面积为( ) 不写作法，保留作图痕迹) A.4π B.8π (2)在(1)的条件下，若O,I两点在同一△ABC C.12x D.16π 中，当AC=6,BC=8时，OI= 3.如图所示，把△ABC剪成三部分，边AB,BC, cos∠BIO= .(如需画草图，请使用 AC放在同一直线上，点O都落在直线MN 图③) 上，直线MN∥AB,则点O是△ABC的( 0 A.外心 B.内心 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 第3题图 第4题图 20 优十学海课时渔 8.如图所示，I是△ABC的内心，AI的延长线交类型2三角形的内切圆或外接圆的有关计算 △ABC的外接圆于点D 10.(2024·武汉模拟)如图所示，AB是⊙O的直 (1)求证：∠BAD=∠CBD. (2)求证：BD=ID 径，C在⊙O上，I为△ABC的内心，若 (3)连接BI,CI,求证：点D是△BIC的外心 ∠BIO=2∠AIO,则tan∠OBI的值 是( c号 11.如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，其周 长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为 √3，则△BIC的外接圆半径为() 9.如图所示，在△ABC中，点O是△ABC的内 心，点E,F都在长边BC上，已知BF=BA, CE=CA. (1)求证：点O是△AEF的外心 A.7 B.73 D 3 (2)若∠B=40°，∠C=30°，求∠EOF的大小 12.如图所示，已知正三角形ABC外切于最小 圆，内接于第二个圆，正三角形AB1C1外切 于第二个圆，内接于最大圆，若最小的圆的半 径为1，则最大圆的半径等于 第12题图 第13题图 13.如图所示，在矩形ABCD中，AD=6,AB=8, 点P为BC边的中点，点Q是△ACD的内切 圆⊙O上的一个动点，点M是CQ的中点，则 PM的最大值是 一九年级册数学 21 14.如图所示，△ABC内接于⊙O,∠B=60°，CD 15.在锐角三角形ABC中，BC=2,5,∠A=45. 是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且 (1)如图①所示，求△ABC外接圆的直径. AP=AC,PD=3. (2)如图②所示，点I为△ABC的内心，A1 (1)求证：PA是⊙O的切线. 的延长线交△ABC外接圆于D. (2)求⊙O的直径. ①求证：BD=DI. (3)当点B在CD下方运动时，写出△ABC ②若AB=6,求△ABC内切圆的半径.（不需 内心的运动路线长 化简) 22 优学案课时通.∠BDF=∠DBF,.DF=BF=29, .DE=DF-EF=√/29一3. 7.解：(1)如图①所示，⊙0为所作. 如图②所示，⊙I为所作. 专题一三角形的内切圆与外接圆 1.A2.D3.B 4.A解析：如图所示，过点D作DG⊥AC于点G,并延长交 AB于点F. 25乞 2 8.证明：(1)，点I是△ABC的内心，，.A1平分∠BAC, ·∠BAD=∠CAD CD=CD,∠CBD=∠CAD,,∠BAD=∠CBD. D (2)如图所示，连接BI. '在△ACD中，AD=AC=DC=25, :点I是△ABC的内心， .△ACD是等边三角形，.点G为AC的中点 .AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, 过点A作AE平分∠DAC,交DG于点E,则点E为△ACD ∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBL. 的内心，∠EAC=30. 由(1)知∠CBD=∠BAD. '在△ABC中，∠BACt∠Bt∠ACB=1:2:3, :∠BID=∠ABI+∠BAD, ∴∠BAC=30°，∠B=60°，∠ACB=90°， ∠DBI=∠CBI+∠CBD, ∴.ECEF,∠EAF=∠EAC+∠BAC=6O°， .∠BID=∠IBD,.ID=BD .∠AFE=∠B=60°. ,,△AEF是等边三角形 AG-CG, .点F为AB的中点，即点F为△ABC的外心， 在R△ABC中，：AC=23, ∴AB=AC=23 cos 303 =4, 2 (3)如图所示，连接CI,DC. ∠BAD=∠CAD,.BD=CD EF-AF-2AB-2. ID=BD...BD=CD=ID. ∴△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2. .点D是△BIC的外心. 5.140 9,解：(1)证明：连接OA,OB,OC,OE,OF,如图所示.点O 6./29一3解析：如图所示，连接BD,BF」 是△ABC的内心， .∠OBA=∠FBO. 在△ABO和△FBO中， (BA=BF, D ∠ABO=∠FBO, BO=BO. ,.△ABO≌△FBO(SAS), .OA=OF,同理OA-OE,∴.OA=OE■OF,.点O是 '∠C=∠F,∠BEF=∠AEC, △AEF的外心 ∴.△BEFC∽△AEC, (2):点O是△AEF的外心， 宽…-是B-婴 .∠EOF=2∠EAF.在等腰三角形BAF中，AB=BF, 3 ∠ABO=∠FBO, :点D为△ABC的内心， .BO⊥AF, .AF,BD分别为∠BAC,∠ABC的平分线， .∠BAF=∠CAF,∠ABD=∠CBD. 2∠ABF, ·∠AFE=90- '∠FBC=∠FAC,.∠FBC=∠BAF ∠F=∠F,.△FBEO△FAB, 同理∠AEF=0-名∠ACE, 歸 .∠EOF=2∠EAF =2(180°-∠AEF-∠AFE) BF=EF·AF=3x3+9）-29 =2[l80-(9o-∠AcE)-(o-∠ABF)] ∴.BF=√29. :∠BDF=∠BAF+∠ABD, -2(号∠ABF+2∠ACE) ∠DBF=∠CBD+∠FBC, =∠ABF+∠ACE=70°. :点A在圆上，.PA是⊙O的切线. (2)由(1)可知，∠P=∠PAD=30°，.PD=AD PD=3,.AD=3, ∠ACD=30°，∠CAD=90°，∴.CD=2AD=6,.⊙0的 直径是6. 10.B (3)设△ABC的内切圆圆心为M,如图②所示，连接AM, 11.D解析：知图所示，设△BIC的外接园圆心为O,连接OB CM,BM, OC,过点C作CD⊥AB于点D,在⊙O上取点F,连接FB FC,过点O作OE⊥BC于点E. ,∠ABC=60°， .∠BAC+∠BCA=120° :AM是∠BAC的平分线，CM是∠BCA的平分线， ,.∠MAC+∠MCA=60°， .∠AMC=120 由(2)可知，AC=√CD2-ADF=33, 设AB=c,BC=a,AC=b.,'∠BAC=60°， ∴.M点在以AC为弦，AC弦所对的圆周角为120°的圆上 AD-CD-AC sin 00BD-AB-AD- 1 如图②所示，作△AMC的外接圆N,连接AV,CV. ∠AMC=120°，.∠ANC=120°， C-26.:△ABC的周长1=20，△ABC的内切国半径， 1 .∠ABC+∠ANC=180°，N点在⊙O上. 如图②所示，连接ON,:AN=CN,.∠CON= ,Sm-2-号×20Xg-号AB·CD,20月- 1 ∠ABC=60°， △OCN是等边三角形， ..CN=OC=3. 当B点与D点重合时，∠CNB=90°， .bc=40. 在Rt△BDC中，根据勾殿定理，得 △ABC内心的运动路线长=子X2xX3= 2元. 15.解：(1)如图①所示，作直径CE,连接BE. BC=BD+CD,脚a2-(-2b)+(停b)',类里，得 CE为直径，∴∠CBE=90 ,∠A=45°，∴.∠BEC=45°， a*=c*+b2-bc. ∴.∠BCE=45,.BC=BE=2√5， a+b+c=20,∴.a2=e2+62-bx=(b+c)2-3bc=(20 ∴.△BEC是等腰直角三角形， a)2-3X40, 解得a=7,.BC=a=7.,I是△ABC的内心，，∴BI平分 .CE=√BE+BC=√/(25)+(2√5)=2√10， ∠ABC,CI平分∠ACB.∠BAC=60°，.∠ABC+ ,.△ABC外接圆的直径为2√10 ∠ACB=120,.∠IBC+∠ICB=60°，.∠BIC=120°， .∠BFC=180°-120°=60°，∴.∠B0℃=120°，：OE⊥BC, 六BE=CE=Z,∠B0E=60 ∴OB= -+9- 3 12.413.13+1 D 14.解：(1)证明：如图①所示，连接AO,AD (2)①证明：如图②所示，连接BI。 ,I为△ABC的内心， ∠BAD=∠CAD,∠ABI-∠CBI. :CD=CD,∴∠DBC=∠CAD, .∠DBC=∠BAD, ·∠ABI+∠BAD=∠CBI+∠DBC, 即∠BID=∠DBI, ..BD=DI ① :CD是⊙O的直径，.∠CAD=90°. ∠B=60°，∠ADC=60. ,AO=D0,.△AOD是等边三角形， ∠OAD=60°， 'AP=AC,'∠P=∠ACP=30°， ∠PAD=30°， .∠PA0=30°+60°=90°，.A0⊥PA. 10 ②如图②所示，连接CI,作BH⊥AC于点H,IM⊥BC于 :BP=PQ,.∠BAC=∠DAC. 点M,IF⊥AC于点F,IN⊥AB于点N. CF⊥AD,AB⊥BC,∴CF=CB BH⊥AC,∠BAC=45°， ∠BAQ+∠ADB=90°，∠FCD+∠ADB=90°， ·∠BAC=∠ABH=45°， ∠FCD=∠BAQ. .AH=BH=32, ∴.CH=√BC-BH=√(25)-(3√2)=2， ÷S-品-m∠rCD-a∠aAQ- 3 .AC=AH+CH=42. (3)如图③所示，连接BQ. ,I为△ABC的内心， ,设IN=IM=IF=x, ÷2AB·r+7ACz+7BC·x- 1 1 AC·BH, 1 即3x+22x+5x-2×42X32, 12 D (3+22+5)x=12,x= 3 3+5+221 'AB⊥BC,BQ⊥AD, :△ABC内切圆的半径为3+5+2后 12 ∠ABQ+∠BAD=90°，∠ADB+∠BAD=90°， ∴.∠ABQ=∠ADC. 专题二圆的综合性问题 ∠ABQ=∠APQ,.∠APQ=∠ADC 1.解：(1)PA·PB=PC·PD "∠PAQ=∠CAD,.△APQ∽△ADC, 证明：连接AC,BD,如图①所示， 品@ ∠BAP=∠BAC,∠ABC=∠APB=90°， .△APBn△ABC, BP AP 0 “BC-AB②. BC=CD. ① ①÷②，得-4 BPAD =cos∠BAQ :∠A=∠D,∠C=∠B, sin∠BAQ=,eos∠BMQ= 10.PQ 10 △ACPDBP,÷S-S PC 4BP 4 3.解：(1)如图①所示，连接OP.:DF与半圆相切， .PA·PB=PC·PD. (2)AP=2,OA=5,PB=10-2=8.由(1)可知PA· PB=PC·PD..PC·PD=16. AB⊥CD,AB是⊙O的直径，PC=PD,PD=4. 连接OD,如图②所示. D ,DE为切线，.∠EDO=90° ,OP⊥FD,·∠OPD=90°.在矩形CDEF中，∠FCD=90°， ∠1+∠2=90°，∠E+∠2=90°..∠1=∠E. CD=18,CF=24, .△OPDO△DPE ∴.FD=/242+18=30. 16 6-e,∴OP·PE=PD·PD.∴3PE=16,PE= ∠OPD=∠FCD=90°，∠ODP=∠FDC,PO=CF=24, 又：AP=2AE-9-2-号 .△OPD≌△FCD(AAS), 10 .OD=DF=30. 2.解：(1)如图①所示，连接OP,设∠BOP的度数为n. (2)如图②所示，当点B,D重合时，过点O作OH⊥DF于点 AB=6,BP的长为，”：3 H,则DP=2HD 180 E m=60,即∠B0P=60.∠BAP=号∠B0P=30 OC BD) :直线L是⊙0的切线，∠ABC=90,BC=AB=23. ① DH CD “cos∠0DP=OD=FD,而CD=18,0D=24,由(1)知 DF=30, 盟-器D-得 则Dp=2HD= D 当DF与半圆相切，由(1)知PD=CD=18, (2)如图②所示，连接BQ,过点C作CF⊥AD于点F. AB为直径，∴∠BQA=90°， PD 六cos∠BAQ=AQ3 4.解：(1)24cm(9V2-6)cm AB 4' (2)当点O与BC的中点重合时，如图①所示，点O移动了 11