第29章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

12cm, 本章综合提升 设半圆O与AB交于点H,连接OH,CH. 【本章知识归纳】 BC为直径，∠CHB=90°. 内上外相交垂直半径相等 ∠ABC=45,.∠HCB=45,.HC=HB, 【思想方法归纳】 .∴.OH⊥BC,OH=OC=OB=6cm, 【例1】解：(1)如图所示，连接OD,过点O作BC的垂线，垂足为 S=S。十SA0二0元×6+2X6×6=(9元+ 点G, 18)cm'. DG COD)O BE) DC O EB 点O为半圆圆心， ① 2 ..OB-OD=t cm, (3)当半圆O与直线AC相切时，运动的距离为0cm或 12cm,.x■0s或6s 六DG=BG=2BD, 当半圆O与直线AB相切时，如图②所示， Fan∠ABC=了设BG为3m,0G为4m 连接OH,则OH⊥AB,OH=6cm, ∠B=45°，∠OHB=90°， 在R△0BG中，=(3m)P+(m,解得m=专 .OB=√2OH=6W2cm, ∴.OC=BC-OB=(12-6√2)cm, BD=2BG=2X3m=号 ∴.移动的距离为6+12-6V2=(18-62)cm, (2)当线段PQ与半圆O相切时，QP⊥BP.在Rt△BQP中 运动时间为x=18-,62=(9一32)3 an∠PBQ=子，设PQ=4,BP=3, 2 综上所述，当x为0s或6s或(9一3√2)s时，半圆O与 ÷BQ-√PB+QP-5k,cos∠PBQ-BQ亏 BP 3 △ABC的边所在的直线相切. 又，BP=2t,BQ=16-2t, 5.解：(1)30 2t 3 (2)第一次绕点A(A。)旋转，1为半径，由点B旋转到B:, 16-2-5' AB始终为1；第二次绕点B1旋转，B:位置不变，B1和B: .t=3, 重合，AB(A。B)始终为1：第三次绕点C旋转，1为半径，由 ∴.当t=3秒时，线段PQ与半圆O相切. B,旋转到B。,A。B最短为AB,=√3一1：第四次绕点D旋 (3):半圆0与线段PQ只有一个公共点， 转W2为半径，由B,旋转到B,A,D=2,A。B最短为2- ,当半圆O与线段PQ相切时，由(2)，得t=3时，线段PQ与 √2，第五次绕点A旋转，1为半径，由B,旋转到B,,A。B最 半圆O相切， 短为AB,=√3一1：第六次绕点B,旋转，B,位置不变，点B, ∴当0<1≤3时，半圆0与线段PQ只有一个公共点： 当点Q与点D重合时，BD=BQ, 和B。重合，A。B始终为1.综上，A。B最短为2一√2 6.解：(1)10 、6 号t=16-24,解得1=5 (2)△ABD是等边三角形.理由如下： ,.当5<t<8时，半圆O与线段PQ只有一个公共点」 :点E与点O重合，AE=BE 综上所述，若半圆O与线段PQ只有一个公共点，t的取值范围 DE⊥AB, 为0<t≤3或5t<8. ∴AD=BD.AB是半圆O的直径，.AC⊥BC. 【变式训练1】 又BC=CD,.AD=AB.∴AD=AB=DB, ∴△ABD是等边三角形. 2-25或2+2W5 【例2】解：(1)证明：，AO=OB, (3)AB=10,.AO=B0=5.当点E在A0上时，则AE= .∠OAB=∠OBA. AO-OE=4,BE=BO+OE=6. BD是⊙O的切线， ,AD=10,DE⊥AO,∴.在Rt△ADE和Rt△BDE中， .OB⊥BD, 由勾股定理，得AD2一AE2=BD2-BE,即102一4 .∠OBD=90°， BD-62,解得BD=2√3O, .∠OBE+∠EBD=90 .BC-BD-0 EC⊥OA, ∴∠CAE+∠CEA=90. 当点E在OB上时，同理可得102-62=BD2一42， :∠CEA=∠DEB, 解得BD=4√5，∴.BC=2√5】 ∴.∠EBD=∠BED 综上所述，BC的长为√30或25. (2)如图所示，作DF⊥AB于点F,连接OE. (4)PC⊥AD. 连接OC.,点C是BD的中点，点O是AB的中点， .OC是△ABD的中位线， .OC∥AD. 又，PC与半圆O相切， .PC⊥OC, .PC⊥AD. 12 E是AB的中点， :AB为△ABC的外接圆直径，O为AB中点， ∴AE=EB=2AB=12, .O为△ABC的外接圆圆心. :DE切圆O于点D, ∴.OE⊥AB. .∠ODE=90°， '∠EBD=∠BED 即∠ODA+∠ADE=90° ∴.DB=DE=10, OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD EF-T BE-6. AB为△ABC的外接圆直径， ,∴.∠OAD+∠OBD=∠ADB=90°， 在Rt△EDF中，DF=√ED-EF=√I0-6=8. .∠ADE=∠OBD. ∠AOE+∠A-90°，∠DEF+∠A-90°， .OI⊥AD,OD=OA,∴.DI=IA. ∠AOE=∠DEF, 由(1)得DI=DB,∴AD=2DB, .tan∠ADE=tan∠ABD A sin∠DEF=sin∠AOE=A0=g. DB=2. ,AE=12, .A0=15. .⊙0的半径为15. 【变式训练2】 解：(1)证明：如图①所示，连接OD ,OB=OD,.∠B=∠ODB AB=AC,.∠B=∠C. 2 .∠ODB=∠C,.OD∥AC 【通中考】 又DH是⊙O的切线，DH⊥OD..DH⊥AC. 5.A6.(1)30(2)23 7.解：(1)连接OM.,'点O为圆心，OC⊥MN于点C,MN= 48cm, ,.MC= MN-24 cm. AB-50 cm,.OM-2AB-25 cm, 2 ∴.在Rt△OMC中，OC=√OM-MC=√25-24= (2)①BD-CD.理由：如图②所示，连接AD, 7(cm). :O是AB的中点，∴AB是⊙O的直径， (2)GH与半圆的切点为E,.OE⊥GH. .∠ADB=90°， MN∥GH,.OE⊥MN于点D. AB-AC,.BDCD. :∠ANM=30°，ON=25cm, ②如图②所示，连接OE O为AB的中点，D为BC的中点，OD∥AC. 0D-0N-要 2 cm, 又DEAB,OA=OD, ,四边形ODEA为菱形. “操作后水面下降的商度为空-17-昌(m》. .DE=OD=AE=OA, (3)OE⊥MN于点D,∠ANM=30°， '.△ODE和△OEA为等边三角形， .∠DOB=60 .∠AOE=∠DOE=60°，.∠BOD=60°， .△BOD为等边三角形， :半圆的中点为Q,AQ=QB, .∠Q0B=90°，∴∠Q0E=30°， .0B-OD-BD-8C-4. EF-OE·tan∠QOE-25,3 3 cm, -30XxX25_25x(em. 180 6 ∴Snu=2 SO-S0r)-2(号-4w5）-9x-8v5】 :25,5_25m-505-25r_25(25-0>0, 【通模拟】 3 6 6 6 1.A2.C3.(1)60°(2)3-1 ∴EF>EQ, 4.解：(1)①证明：1是△ABC的内心， 第三十章二次函数 ∴.AI平分∠CAB,即∠CAD=∠BAD, ..DC=DB. 30.1二次函数 ②D为△IBC的外心，证明： 1.B2.-3 连接BI,如图①所示。 3.解：(1)若函数y=(m2一m)x2十(m一1)x+m+1是关于x的 :I是△ABC的内心， 一次函数， .BI平分∠CBA,即∠CBI=∠ABI. ,∠DBC=∠DAC, 测何1.0特得a=0 ∴∠DBI=∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠DAC=∠ABI+ (2)若函数y=(m2一m)x2十(m一1Dx十m十1是关于x的二次 ∠BAD=∠DIB, 函数，则m2一m≠0，解得m≠0且m≠1. ..DI=DB...DC=DI=DB. 1 ∴D为△IBC的外心. 4-285.-26.D (2)连接OD,如图②所示， 7.y=200x2+400x+2008.C 13本章综合提升（答案P12) 本章知职归纳 d分点在圆 点与圆的位置关系 曰口台点在回 d心r台点在回 r克线与国 切线的性质定理：同的切线于过切，点的 切线的判定定理：经过半径的外端并且鱼直于这条半径的 与 直线是图的切践 直线与圆的位置关 -r怜直线与圆相切 的 切线长定理：过国外一，点所画的国的两条切线的切线长 三角形的内切园：与三角形三边都相切的烟叫做三角形的 内切图，这个图的国心网叫做三角彩的内心 系 >r台直线与圆相商 正多边形：各边相等，各角也相竿的多边形叫败正多边形 正多边形中的有关名称：周的内接正多边形，正多边形的外接阅、中心、半径、中心角，边心距 正多边形与间 利用量角器等分圆心角作正多边形 正多边形的画图 利用尺规作图等分圆周作正多边形 思想方法纳》9n 点B运动，当点Q到达点B时，点O,Q都停止 运动.以点O为圆心，OB长为半径的半圆与线 1.分类讨论思想 段BC交于点D,与射线BA交于点P.连接PQ, 当问题的对象不能进行统一研究时，就需要 设运动时间为t秒(t>0). 对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研 (1)求BD的长.（用含t的式子表示） 究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到 (2)当1为何值时，线段PQ与半圆O相切？ 整个问题的解答。 (3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接 “t链接本章 写出t的取值范围. 本章在研究直线与圆的位置关系时，常 因为直线与圆相切的位置变化、圆的半径变 化或圆心的位置变化、直线与圆交点的个数 变化等需要进行分类讨论， Q 【例1】(2023·秦皇岛海港区期末)如图所 备用图 示，线段BC=I6cm,过点B在线段BC的上方 作射线BA,且1an∠ABC-膏，动点0从点B出 发，沿射线BA以1cm/s的速度运动，同时动点 Q从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向 26 优学棒课时温一 【变式训练1】 【变式训练2】 如图所示，直线1：y=一之+中1与坐标轴交 (2023·唐山丰南区模拟)如图①所示，在 △ABC中，AB=AC,O为线段AB上一点，以O 于A,B两点，点M(m,0)是x轴上一动点，以点 为圆心，OB长为半径的圆与边BC,AC分别交于 M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M D,E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点H. 与直线（相切时，则m的值为 (1)求证：DH⊥AC. 34 (2)如图②所示，若O为AB的中点. ①探究BD与CD的数量关系，并说明理由， ②连接OD,若DE∥AB,BC-8,求阴影部分的 2.转化思想 面积. 在研究和解决有关数学问题时，采用某种手 段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一 种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为 简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易 求解的间题，将未解决的问题转化为已解决 的问题。 铲链接本童 本章在圆中进行线段、角的计算或证明 时，都充分运用了转化的思想方法。 【例2】(2023·沧州孟村模拟)如图所示，AB 是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥ OA于点C,过点B作⊙O的切线交CE的延长 线于点D (1)求证：∠EBD=∠BED (2)若AB=24,BD=10,求⊙O的半径， D 一小年级下能数学 27 通模拟 4.(2024·石家庄新乐一模)已知I是△ABC的 内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点 1.(2023·石家庄模拟)如图所示，点O是 D,连接DC,DB △ABC的内心，∠ABC=90°，以OB为半径 (1)在图①中：①证明：DC=DB:②判断 的⊙O分别交边AB,BC于点D,E,则下列判 △IBC外心的位置，并证明. 断正确的是( (2)如图②所示，若AB为△ABC的外接圆直 径，取AB中点O,且OI⊥AD于点I,DE切 圆O于点D,求tan∠ADE的值. A.BD=BE 及0-号E 2 C.BD=/2BE D.BD=3BE 2.(2024·邪台威县三模)如图所示，P,Q分别 是⊙O的内接正五边形的边AB,BC上的点， BP=CQ,则∠POQ=( A.75 B.54 C.72° D.60 3.(2024·石家庄模拟)如图所示，在Rt△ABC 中.∠A=90°，sin∠ABC= 2,⊙0是△ABC 的内切圆，分别与AC,AB,BC相切于点F, P.E. (1)∠EPF= (2)若BC=4,则AP= 28 优学棒课时温一 通中考 探究：在图②中： (2)操作后水面高度下降了多少？ 5.(2024·福建中考)如图所示，已知点A,B在 (3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF ⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切， 与EQ的长度，并比较大小. 切点为C,且C为AB的中点，则∠ACM等 于() A.18 B.30° C.36 D.72 6.(2023·河北中考改编)将三个相同的六角形 螺母并排摆放在桌面上，如图①所示，正六边 形边长为2且各有一个顶点在直线1上，两侧 螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，如 图②所示，其中，中间正六边形的一边与直线( 平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶 点.则图②中： (1)∠a= 度 (2)中间正六边形的中心到直线！的距离 为 ·(结果保留根号) ⊙00- 7.(2023·河北中考)装有水的水槽放置在水平 台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O, AB=50cm,如图①和图②所示，MN为水面 截线，GH为台面截线，MNGH. 计算：在图①中，已知MN=48cm,作OC⊥ MN于点C. (1)求OC的长. 操作：将图①中的水面沿GH向右做无滑动的 滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止 滚动，如图②所示.其中，半圆的中点为Q,GH 与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D. 一九年级下能数学刀 29 第三十章二次函数 大单元建构 一般式■ 二次函数的概念 求图形的最大或最小向积 销售巡 二次函数的应月 抛物线形的际问题 爪口方向，对称轴，顶点坐标 一次函数的图像■ 二次函数 数形结合 确定抛物线与x轴的交点个数 一次函数与元次方程 求一元二次方程的近似解 最大值或业小值，增诚性 次函致的性质 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 根据实际问题中数量关系或抛物线间题，建立二次函数模型，并利用二次函数的性质解决面积 模型观念 最大，利润最大、成本最低、方案优化等问题 借助平面直角坐标系中的描点，理解二次函数图像与表达式的对应关系，理解二次函数与对应 几何直观 的一元二次方程和一元二次不等式的关系 涉及一元二次方程的根或者某些运动变化的问题时，可抽象出二次函数的函数关系，然后利用 抽象能力 二次函数的性质解决问题 推理能力 利用二次函数图像确定出表达式中的系数或含系数代数式的符号 运算能力 利用待定系数法求二次函数表达式解方程组问题或求解最值 应用意识 利用二次函数的概念、图像和性质解释现实世界与规律，解决相关的问题和简单的实际问题 30 优计学棒说的益一