精品解析：江苏省射阳中学2025届高三下学期全真模拟（一）数学试题

2025届高三全真模拟1数学学科试题 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式得集合，再根据补集定义求解. 【详解】∵， ， ∴. 故选：C． 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则化简可得，利用复数的模长公式可得，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】，. ，，或， “”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3. 如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将正方体还原，利用割补法计算可得. 【详解】解：如图将正方体还原可得如下图形： 则，，， 所以该几何体的体积. 故选：C 4. 在数列的项和之间插入个构成新数列，则（ ） A. 13 B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意条件，求出新数列中不超过的数的个数，再分组计算. 【详解】在和之间插入个构成数列, ， 则数列中不超过的数的个数为， 当时，，当时，， 所以. 故选：A 5. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A. 44 B. 48 C. 72 D. 76 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设点，正六边形的边长为4， 所以， 所以， 所以， 设点到原点的距离为，则的最大值为， 由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点， 如图，可取， 所以， 即的最大值为48. 故选：. 6. 设，则关于两个方程与的根的叙述正确的是（ ） A. 有两个相同的根 B. 有三个相同的根 C. 有四个相同的根 D. 所有根全部相同 【答案】B 【解析】 【分析】由，得或，再由，得或，根据，进而得到结论. 【详解】由，得或， 当时，，，，，，，． 由，得或， 当时，，，，，， 两个方程有三个相同的根， 故选：B． 7. 我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即. 根据以上思路求解: 函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意整理可得，构建，求导，利用导数求其最值，即可得结果. 【详解】因为，则， 两边同时取对数可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即，可得， 所以函数的最小值为. 故选：D. 8. 已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围. 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数和第60百分位数都为5 B. 样本相关系数越大，成对样本数据线性相关程度也越强 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量服从正态分布，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用众数和第60百分位数的定义判断A，利用相关系数的意义判断B，利用方差的性质判断C，利用正态曲线的性质判断D即可求解. 【详解】数据中的众数为，所以第60百分位数为第6个数据5，选项A正确； 当时，越大成对样本数据的线性相关程度越弱，选项B错误； 选项C正确； 选项D错误， 故选：AC 10. 如图，圆锥的底面直径，母线，点是母线的中点．以下结论正确的是（ ） A. 沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离为 B. 圆锥的外接球表面积为 C. 过点作平行于母线的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3 D. 过点作动直线，满足与母线成角，直线形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，将圆锥侧面展开，连接，即为最短距离，根据弧长得到，为等边三角形，，A正确；B选项，设外接球的半径，求出圆锥的高，列出方程，求出半径，得到外接球表面积；C选项，作出辅助线，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设抛物线方程为，代入点的坐标，求出，则焦准距为；D选项，动直线轨迹是一个圆锥，直线的轨迹被圆锥底面截得的椭圆，D正确. 【详解】A选项，将圆锥侧面展开，如下图，连接， 则沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离即为的长， 直径，母线，则，则， 故， 所以为等边三角形，，A正确； B选项：设外接球的半径为，，圆锥的高， 所以， 由勾股定理得，即，解得， 故外接球表面积，B正确； C选项，点为母线中点，过点与母线的平面必过底面圆圆心，交底面圆于、， 如下图，，设底面圆心为，则， 以为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 将代入得，，解得，则焦准距为，C错误； D选项，如图所示，动直线轨迹是一个圆锥， 其中此圆锥的轴为，故圆锥的底面与动直线轨迹圆锥底面不平行， 且，而，故，， 故直线的轨迹被圆锥底面截得的椭圆，D正确. 故选：ABD 【点睛】知识点点睛：在空间中，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线是一个圆， 用一个不垂直轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线， 设圆锥的轴截面半顶角为， 当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线 11. 已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 当时，可能为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】采用赋值法，令，可判断A的真假；利用赋值法先求，设辅助函数，根据函数的单调性可得，可判断B的真假；利用B的结论，结合可判断C的真假；取函数，可判断D的真假. 【详解】对A：令，得，即，A错误. 对B：令，得，得. 由，得，构造函数， 则，则为减函数，则， 即，则，所以，故B正确； 对C：令，得. 根据B的结论，得：， 所以，故C正确； 对D：若，则可取满足， 则为偶函数，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正切和角公式得到方程，求出，由求出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以． 故答案为：3 13. 某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为_______.（用数字作答） 【答案】96 【解析】 【分析】由分类加法原理，利用捆绑法与插空法，可得答案. 【详解】当丁没有被选中时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第一位时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第二位时，不同的演出顺序种数为. 综上，不同的演出顺序种数为. 故答案为：. 14. 直线恒与圆相切，则圆的方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】计算出原点到直线的距离，可得出圆的方程；利用三角形的面积公式可得出，不妨设点位于第一象限，则，，利用双曲线的焦半径公式以及三角形的面积公式可得出点，再利用可求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为原点到直线的距离为， 所以，直线与圆心为原点，半径为的圆恒相切，故圆的方程为， 因为为的中点，则，则， 不妨设点位于第一象限，则，， 则 ，可得， 又因为，可得，即点，其中， 因为，整理可得， 解得，则，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用三角形的面积公式、双曲线的焦半径公式求出点的坐标，在利用两点间的距离公式求出、的值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，其前项和为，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可得出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求出的表达式； （2）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式可求出的表达式. 【小问1详解】 因为数列的前项和为，，， 所以，，即， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，. 【小问2详解】 因为，则且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 16. 在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. （1）已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. （2）已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （2）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【小问1详解】 因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以， 又，，则， 两边平方得，即，即， 解得 【小问2详解】 设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以， 即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 因为，所以，即，即恒成立，所以， 即不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 又，可得，解得. 因为不等式的解集为，不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 17. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得； （2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得； （3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论. 【小问1详解】 在中，由余弦定理， ，所以． 【小问2详解】 在中，，在中，由余弦定理， ， 则， ． 【小问3详解】 在中，，， 由正弦定理，， ， 四边形的面积为． 18. 已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． （1）若D为中点，求证：． （2）若， ①求平面和平面所成角的正弦值； ②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由D为中点，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）①在由，得到得到长，由余弦定理求得，得到所以为等腰三角形，且，再由，证得平面，得到，过点作，证得，得到为平面和平面所成的平面角，在直角中，求得，即可得到答案； ②以为原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心为，求得球心的坐标为，半径为，再由为的中点，得到，当与过点的截面垂直时，此时截得面积最小，结合圆的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：如图（1）所示，在等腰中， 因为，且D为中点，可得，即， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 解：①在等腰中，，，可得， 因为，可得，即， 在中，由余弦定理得，所以， 所以为等腰三角形，所以， 所以，即， 又因为平面和平面所成的二面角为，即平面平面， 因为平面，且平面平面，所以平面， 又因平面，所以， 如图所示，过点作，因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面和平面所成角的平面角， 在直角中，可得， 在直角中，可得，所以， 所以平面和平面所成角的正弦值为 ②以为原点，以分别为轴，轴，以在平面内，过点垂直的所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图(3)所示， 则， 设三棱锥的外接球的球心为， 则球心在底面上的投影为的外心，其坐标为， 球心在上的投影点为直角的外心，即的中点，坐标为， 所以球心坐标为，半径为， 又由为的中点，可得,则， 当与过点的截面垂直时，此时截得的小圆的半径最小，其面积最小， 设所截小圆的半径为，则， 所以过E作平面截三棱锥的外接球，截面面积的最小值. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数的最小值； （3）当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值； （3）当时，将所求不等式变形为，根据，结合（1）（2）中的结论可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，由得或，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 由，得，由，得， 即在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值． 【小问3详解】 当时，等价于， 即，即， 即，即， ，只需证明， 当，时，，只需证明， 由（1）知，时，在处取得最小值， 综上所述，原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三全真模拟1数学学科试题 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图是一个棱长为2正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 在数列的项和之间插入个构成新数列，则（ ） A. 13 B. C. 14 D. 5. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A 44 B. 48 C. 72 D. 76 6. 设，则关于两个方程与的根的叙述正确的是（ ） A. 有两个相同的根 B. 有三个相同的根 C. 有四个相同的根 D. 所有根全部相同 7. 我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即. 根据以上思路求解: 函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据众数和第60百分位数都为5 B. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量服从正态分布，则 10. 如图，圆锥的底面直径，母线，点是母线的中点．以下结论正确的是（ ） A. 沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离为 B. 圆锥的外接球表面积为 C. 过点作平行于母线的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3 D. 过点作动直线，满足与母线成角，直线形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭圆 11. 已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 当时，可能偶函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的值为_____． 13. 某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为_______.（用数字作答） 14. 直线恒与圆相切，则圆的方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，其前项和为，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前项和． 16. 在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. （1）已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. （2）已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 17. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 18. 已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． （1）若D为中点，求证：． （2）若， ①求平面和平面所成角的正弦值； ②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数的最小值； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$