第2章 专题4二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系…-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

专题四二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系（答案15） 类型1腊由抛物线的位置确定代数式的符号 ③5a-b+c-0: 或未知数的值 ④4a+c>0. 1.(2024·西安长安区模拟)在平面直角坐标系 其中正确的结论有( 中，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 图所示，则下列结论： ①abc>0; ②2a+b=0: ③9a+3b+c>0: ④当x=1时，函数有最大值： 第3题图 第4题图 ⑤当0<x<1时，函数值y随x的增大而减小 4.推理能力如图所示，函数y=ax2十b.x十c(a, 其中正确的序号有( b,c为常数，且a≠0)的图象经过点（一1,0）， (m,0),且1<m<2.当x<一1时，y随x增 大而减小.下列结论： ①abc>0: ②a+b<0: A.①②④B.②③⑤C.④⑤ D.②④ ③若点A(一3，y1),B(3,y2)在抛物线上，则 2.如图所示，二次函数y=ax2十b.x十c(a,b,c 为常数，a≠0)图象的顶点为D,其图象与x轴 y1y2; 的交点A,B的横坐标分别为一1和3，则下列 ④a(m-1)+b=0: 结论： ⑤当c≤-1时，则b2一4ac≤4a. ①2a+b=0: 其中正确的结论有 ,(填序号) ②b>0: 5.在平面直角坐标系zOy中，已知抛物线：y= ③a+b+c<0: a.x2-2a.x+4(a>0). (1)抛物线的对称轴为直线x= ④当a=2时，△ABD是等腰直角三角形。 :抛 物线与y轴的交点坐标为 其中正确的结论有( (2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物 线的顶点坐标，并求它的表达式 (3)若A(m-1,y1),B(m,y2),C(m+2,y3） 为抛物线上三点，且总有y1>y>y2,求m的 取值范围 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图所示，二次函数y=ax2十b.x十c(a,b,c 为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A(一3， 0),B(1,0).下列结论： ①abc>0: ②若点（一2，y1)和（一0.5，y)均在抛物线上， 则y1<y 60 优学条课的温 类型2腊在同一坐标系中的组合函数的认识 猫类型3群二次函数图象与字母系数及不等式的 6.一题多解在同一平面直角坐标系中，二次函数 关系 y=a,x2十h.x十c(a≠0)与一次函数y=ax十b 9.抛物线y=a.x2十b.x十c(a≠0)如图所示，对称 的图象可能是( 轴为直线x=一2.下列说法： ①abc<0: ②c-3a>0: ③4a2-2ab≥at(at十b)(t为全体实数)： ④若图象上存在点A(x1,y1)和点B(x2y2), 当m<x1<x2<m十3时，满足y1=y2,则m 的取值范围为一5<m<-2. 其中正确的说法有( D 7.(2024·北京朝阳区一模)函数y=ax2十bx+ c(a,b,c为常数，a>0)与y=x的图象如图所 示，给出下面4个结论： ①b2-4ac<0: A.1个 B.2个 C.3个 ②a+b+c<1: D.4个 10.已知二次函数y=x2一2x-3. ③3a+b=0: (1)完成表格，并在如图所示的平面直角坐标 ④当1<x<3时，a.x2+(h-1)x十c<0. 系中画出这个函数的图象 上述结论中，所有正确结论的序号是 0 1 2 (2)结合图象回答： ①不等式x2-2x-3<0的解集是 8.如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原 ②当0≤x≤3时，y的取值范围是 点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C (3)直接写出不等式x2一2x-3>一x一1的 的直线与二次函数y一x2的图象交于A,B两 解集是 点，且CB=3AC,P为CB的中点，设点P的坐标 为P(x,y)(x>0),则y关于x的函数表达式 为 一小年级下猫数学玉 61 11.先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面12.阅读理解阅读感悟： 的问题， “数形结合”是一种重要的数学思想方法，同 例题：解一元二次不等式x2-3x十2>0. 一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数 解：令y=x2-3x十2，画出y=x2-3x十2 学问题，有的从“数”人手简单，有的从“形”入 的图象如图所示. 手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”一 由图象，知当x<1或x>2时，y>0.所以一 “数”，有的问题需要经过几次转化.这对于 元二次不等式x2一3.x+2>0的解集为x<1 初、高中数学的解题都很有效，应用广泛 或x>2 解决问题： 已知，点M为二次函数y=-x2+2bx一b2+ 4b十1图象的顶点，直线y=mx十5分别交x 轴正半轴和y轴于点A,B. 13主 (1)判断顶点M是否在直线y=4x十1上，并 (1)填空： 说明理由。 ①x2-3x+2<0的解集为 (2)如图①所示，若二次函数图象也经过点 ②一x2十2<0的解集为 A,B,且m.x+5>-x2+2b.x-b2+4b+1, (2)请应用例题中的方法解一元二次不等 结合图象，求x的取值范围。 式-(x-1)2-5(x-1)+6>0. (3)如图②所示，点A坐标为(5,0)，点M在 △AOB内，若点C(),D(任y)都在二 次函数图象上，试比较y1与y2的大小 62 优学条课时温一24 ②当点F的坐标为(-6.3)时， 因为 5 =3, 2x号 同理，可得抛物线L:的表达式为：=一-3x一6， 所以抛物线的对称轴为直线x=3. 综上，抛物线L,的表达式为方=-子产+十2或 (2)存在， 因为A,B为定点， r-3r-6. 所以线段AB的长为定值： 专题四二次函数的系数与图象 则当PA+PB最小时，△PAB的周长最小. 因为点B与点C关于抛物线的对称轴对称 形状和对称轴的关系 如图所示连接AC,与抛物线对称轴的交点即为使△PAB1,D2.B3.C4.①① 的周长最小时点P的位置， 5.解：(1)1(0,4) (2):抛物线的顶点恰好在x轴上，.抛物线的顶点坐标为 (1.0). 把(1,0)代人y=ax-2a.x十4. 得0=a×1-2a×1+4,解得a=4, ∴抛物线的表达式为y=4x”一8x十4. (3)由题意.知a>0,y1>y>y2∴m-1-1>m+2-1> 设直线AC的表达式为y=mx十n, m一，解得0<m<名放m的取值范调为0<m<分 则/加一4， 6.B1①808y=g+9C 5m十=0， 10.解：(1)0一3-30 解得m=一5 画出图象如图所示 14 n=4, 所以直线AC的表达式为y=一言r十4 将x=3代人直线AC的表达式，得 8 y=- X3+4= 、上--1-2 所以点P的坐标为(，）》： (2)①-1<x3②-4y≤0 12,解：(1)分别将点A,D的坐标代人y:=a.x+hx,得 (3)x<-1或x>2 1 11.解：(1)①1<x<2 16a-4h=0:解得a= ②x<-或x>√2 36a十6h=15, b=1. (2)令y=一(x一1)一5(x一1)+6，大致断出函数图象如 故地物线L,的表达式为 图所示。 1 (2)对于y=有x+x,抛物线的对称轴为直线x 2a 令-(x-1)2-5(x-1)十6=0，得x1=2,2:=一5， 当x=-2时，y=-1,故点E(一2，一1). 由图象可知一元二次不等式-(x-1)-5(x一1)十6>0的 S么PMw=3S△Eyr=3|yr=3. :点F在抛物线L,上， 解集为一5<x<2. 12.解：(1)点M在直线y=4x+1上 故y=2+=3, 理由如下：，y=一x3+2br一b+4b+1=一(x一b)3+ 解得x=-6或2，故点F(2,3)或（一6,3）. 4b+1, ①当点F的坐标为(2,3)时， .顶点M的坐标是(b,4h十1)， 设地物线L,的表达式为 把x=b代人y=4x十1，得y=4b十1， .点M在直线y=4x十1上. 1 (2)直线y=mx+5交y轴于点B, 将点E,F的坐标代人上式，得 当x=0时，y=5,.B点坐标为(0,5). 又B在抛物线上，.5=一(0一b)2+4b十1.解得=2. 3=×2+2m+n. .二次函数的表达式为y=一(x一2)2+9. 1 当y=0时，-(x-2)+9=0. -1=-1×(-2)-2m+, 解得x1=5,x=一1，，A(5,0), 解得m1, 由图象，得当mr十5>-x2+2hr-b2+46+1时，x的取值 n=2, 范围是x<0或x>5. 放抛物线L,的表达式为y,=一 x+x+2 (3)如图所示， ”直线y=4x十1与直线AB交于点E,与y轴交于点F. 15 (2)抛物线对称轴为直线x=1. 若0<1≤3，当x=1时，函数值最小。 .12一2t°+3=一2，解得1=士5. :1>0,.t=V5 若>3，当x=3时，函数值最小， 设直线AB的函数关系式为y=x十g, -2=9-61+3, 将A(5,0),B(0,5)代入，得 5p十g=0·解方程组，得P=一1， 解得1一子（不合题意，舍去。 g=5, q=5, 综上所述1=√5， '.直线AB的表达式为y=一x+5. (3),A(m一2.4)，C(m,a)关于对称轴对称， 4 联立+：解得 =5 :”一名+m=1m一1=1，且A在对称轴左侧，C在对称轴 2 y=-x+5, 21 右侧. y万 :抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t, 点E(告，号)F点坐标为0，D. ,此交点关于对称轴的对称点为(2m一2,3)， 'a<3.b<3且t>0. ,点M(b,4b+1)在△AOB内， .4<2m一2，解得m>3. 1<6+1<得 当A,B都在对称轴左边时， 'a<b,.4<m-2, 解得m>6,,.m≥>6： 当A,B分别在对称轴两侧时， 当6-子<号-6时，即0<b<号时， 13 a<b. :二次函数图象开口向下， ,·点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离， .y1>y .4一(m一1)>m一1一(m-2), 当点C,D关于范物线的对称轴对称时山一- 解得m<4,3<m<4, 一b 综上所述3<m<4或m>6. 13.解：(1)点A在r轴的正半轴上·且与原点的距离为3， 六b=2此时y=y: A(3,0). 当6->-6时，即<6<号时。 把A(3,0)代人抛物线y=ux2一4ax十3中，得0=9a 12a+3. :二次函数图象开口向下，.y<y: a=1,.抛物线的表达式为y=x2-4x十3， 综上所述.①当0<6<号时y>©当6=时y1 y=x2-4x+3=(x-2)2-1. .C(2,-1). @当号<<专时，<： (2)当y=1时，x2-4x+3=1, 解得x1=2一2，x:=2+√2，由题意得D(2+√2,1). 阶段检测二(1~3) B(0.1).C(2,-1). 1.C2.A3.A4.C5.B6.27.(-3,-2) ∴.BC=√/2+(1+1)=22，BD=2+√2 8.y=-2(x十1)2十69.②③10.-1<n<0 :∠DBC=∠PBC=45,且相似比不为1， 11.解：(1)把(-1,0).(2,0)代人y=ax2+r-2,得 只能△CBPc∽△DBC, 0=a×(-1)+b×(-1)-2, 10=a×2+b×2-2, 需既脚，0 你. 2+222 BP=8-42, .抛物线的表达式为y=r一x一2 .P(0,42-7》 (2)如图所示，过点P作PD⊥x轴于点D,则D(m,0),连 (3)连接AC,过E作EH⊥BD于点H,如图所示， 接AP, 由旋转得∠CBD=∠ABE, .∠EBD=∠ABC, ,AB2=3+12=10,BC=22+2=8,AC=1+12=2. .AB2=BC2十AC, .△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， Ac贺培 ∠BAP=45, tan∠EBD=2=BH 1 EH .∠APD=180°-90°-45=45"=∠BAP. ∴.AD=PD, 设EH■m,则BH=2m 则m十1=m2一m一2引， .E(2m,m+1). 解得m=1或m=3或m=一1（不合题意，舍去）. ,'点E在抛物线上，.(2m)产一4×2m十3=m十1,4m2 12.解：(1)将(2,1)代人y=x-21x十3中， 3 9m十2=0，解得m1=2,m:=有（舍去). 得1=4-41+3，解得1=2 .E(4,3) 16