第1章 专题3构造三角函数基本图形解决实际问题-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

5.解：(1)如图①所示，过点D作DF⊥BC于点F. :∠FCD=60°，∠CFD=90°， FC-CDX cos 60-50X-25(cm), 1152 、12030 .FA=AB+BC-CF=84+54-25= 113(cm). E D 专题三构造三角函数基本 答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm. (2)如图②所示，过点C作CG垂直地而于点 图形解决实际问题 G,过点B作BN⊥CG于点N,过点D作 ① 1.解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D,延长AD交地面于 DM⊥CG于点M. 点E BC=54cm,∴.CN=BC X cos20°≈54X :m∠ABD-A0:AD=AB 0.94=50.76(cm), ,'.MN=CN+MG-CG=50.76+90-50.76- sin70°≈92X0.94=86.48(cm) 84=6(cm), :DE=6cm,.AE=AD十DEe ∴.CM=CN-MN=44.76cm, 92.5cm.答：把手A离地面的高度约为 B ∴CD=CM=44.76 92.5cm. c0s40=0.77 58(cm). 2.18+6v3 答：CD的长约为58cm 6.解：(1)在△ABC中，∠ACB=180°-∠B一 ② 5 3.解：如图所示，过点B作BG⊥EF,垂足为G,过点C作 ∠BAC=180°-37°-53°=90. CH⊥BG,交GB的延长线于点H,过点A作AD⊥BG,垂足 ”在R△ABC中，sinB=AC AB' 为D. AC=AB·血3T=25X名-15（海里. 答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里. (2)过点C作CM⊥AB于点M,由题意易知，点D,C,M在 同一条直线上 在R△AMC中，CM=AC·血∠CAM≈15×号-12（海里）， 3 由题意得AO=DG=3.02米，∠CHB=90°， AM=AC·os∠CAM≈15X号=9（海里）. AO⊥EF, ∴.AO∥BG, :在R△AMD中，ian∠DAM= AM ∴∠ABG=180°-∠OAB=43° .DM=AM·tan76≈9X4=36(海里)， :∠ABC=100°， :AD=√AM+DM=√+36=97（海里），CD= .∠CBH=180°-∠ABC-∠ABG=37° DM-CM=36一12=24（海里）. ∴∠C=90°-∠CBH=53 在Rt△CBH中，BC=2米， 设辑私是的速度为上海里/时，则有酷9 ,解得x= x .BH=BC·sin53°s2×0.8=1.6(米). 6√17，经检验，x■6√17是原方程的解.答：当组私艇的速 在Rt△ABD中，AB■3米， .BD=AB·c0s43°≈3×0.73=2.19（米）， 度为6√17海里/时时，恰好在D处成功拦截走私船. .HG=BH+BD+DG=1.6+2.19+3.02≈6.8（米）， 7.解：(1)如图所示，过点E作EF⊥CD,垂足为点F. ∴.此时点C到工作台EF的距离约为6.8米 EF1 4 4.解：(1)如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. :斜坡DE的坡度1=110.75心D那=0,75=3…设 EF=4x米，则DF=3x米.在Rt△DEF中，DE= DF2+EF=√(3x)2+(4x)7=5x米，：DE=35米， ∴.5x=35,解得x=7,∴.EF=28米，DF=21米，，小敏从D B D 到E的过程中上升的竖直高度为28米 设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38 (2)如图所示，过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点A'作 :m-品AD-08品-x米 A'H⊥EG,交EG的延长线于点H 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28. :mx-品 CD BD= tan28*0.5=2x米. :AD+BD=AB=234米， F DC 1x+2z=234, 由题意得A'H=BG,AB=A'B=GH,CG=EF=28米. :BC=98米，∴AH=BG=BC-CG=98-28=70(米)，在 解得x=72. 答：斜拉索顶端C到AB的距离为72米。 △AEH中，∠AEH=5,EH-温=70（米）设 (2)还需要补充的项目可为测量工具，计算过程，人员分工，指 AB=A'B=GH=x米，.EG=EH一GH=(70一x)米， 导教师，活动感受等.（答案不唯一） AG=AB十BG=(70十x)米，在R1△AEG中，∠AEG=68°， 5m68C-沿号2,48，解得30，经检30 .BE=8 cm,AE=16 cm. 在Rt△AEG中，AE=16cm,∠AEG=10°， 是原方程的根，AB≈30米 .EG=AE·cos10°16X0.98≈15.7(cm)=CD. 答：风叶的长度约为30米. 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm, 特色素养专题（一） 新定义题型专题 (2)如图所示，过点B分别作BH⊥DE,BP⊥FC,垂足分别 1.解：(1)②③ 为H,P. (2)①sin75°-sin(30°+45)=sin30°·cos45°+co530°， 在Rt△BEH中，BE=8cm,∠EBH=10°， .HE=EB·sin10°≈1.36(cm),BH=EB·cos10°≈7.84 如5-×号+x号-5+2， (cm), 4 ②sin15°=sin(45°-30） ∴.HD=DE-HE=28.36-1.36=27(em)=BP =sin45°·co830°-cos45°·sin30 :∠ABF=145, ,.∠PBF=145°-90°-10°=45°， -号×号×号 ∴BP=PF=HD=27cm 'MN⊥CF,∠NMF=45,MN=8cm, =6-2 MN=NF=8 cm, 4 DN=DP+PF-NF 2.解：(1)等腰 =7.84十27-8 (2)∠B=30°，∠C=45,AB=4,AE⊥BC, 27(cm). AE-号AB-2,BE-号AB-25,BC-AE, 答：线段DN的长度约为27cm. .EC=AE=2. IE B :AD为BC边上的中线， CD=7Bc-号×(25+2)=5+1. D PN F .DE=CD-CE=√5+1-2=√3-1. 本章综合提升 3.解：(1)由题意可知∠ACB=60°，∠ABC=150°-75°=75°， 【本章知识归纳】 BC=60×0.5=30(海里)， ∠A的对边 ∠A的邻边 ∠A的对边 .∠A=180°-60°-75°=45 斜边 斜边 ∠A的邻边 由材料结论知 60如5，即49-30， AB BC 1 √3√2 22222z3 15 22 ∴.AB=15V6(海里) a2+b=c2∠A+∠B=90°cosB4sinB 答：此时货轮距灯塔A的距离AB为15√6海里。 【思想方法归纳】 (2)过点B作BF⊥AC于点F,如图所示. 【例1】 E 解：有两种情况：过点A作AD⊥BC于点D,如图①所示. 75 北 南 在Rt△BCF中， :AB=5,sinB=亏-AB' 3 AD CF=号BC=15(海里)，BF=BC·s血60=155（海里D. ∴AD=3,由勾股定理，得BD=4,在Rt△ADC中，CD= √JAC-AD=7,∴BC=BD+CD=4十7.同法可求 在Rt△ABF中， 图②：BC=4一√7. ∠A=45°， ∴.AF=BF=153(海里). ,.AC=AF+CF=(15√5+15)海里. 由材料结论知n45一m7行， BC AC 即30_15V3+15 2 v② sin75°1 综上所述，BC的长是4+√7或4一√T, 2 【变式训练1】D 【例2】 解得sn75°-5+2 解：(1)：四边形ABCD是矩形，∠B=∠BAD=90, 4 EF⊥AM,.∠AFE=∠B=∠BAD=90°.∴∠BAM+ 特色素养专题（二） 跨学科专题 ∠EAF-∠AEF+∠EAF=9O°.，∴·∠BAM=∠AEF, 1.128 2.A 2在R△ABM中，∠B=90,AB=4,Ds∠BAM=言， 3.解：(1)如图所示，过点E作EG⊥AC于点G. AM=5.'F为AM中点，.AF=2.5.∠BAM=∠AEF, AB=24cm,BE-=子AB, icos∠BAM=co∠ABF=手in∠AEF-是专题三 构造三角函数基本图形解决实际问题(答案P8) 类型1 构造一个直角三角形 3.(2024·青岛山区模拟)2024年1月17日, 1. 模型观念如图①所示是一辆在平地上滑行的 天舟七号货运飞船携带着支持航天员进行太 滑板车,图②是其示意图,已知车杆AB长 空活动的生活物资、平台设备、推进剂和科学 92cm,车杆与脚踏板所成的角 ABC=70*, 载荷,成功发射,如图所示是工作中的某型号 前后轮子的半径均为6cm,求把手A离地面 丰机器人示意图,OA是垂直于工作台的移 的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据 动基座,AB,BC分别为机器人的大、小臂,其 sin 70~0.94,cos70*~0.34,tan70~2.75) 中小臂BC为2米,大臂AB为3米,移动基座 AO-3.02米,当 /ABC=100*,OAB-137* 时,求此时点C到工作台EF的距离,(结果精 确到0.1米) ① (参考数据:sin43{}~0.68,cos43{*}~0.73 tan 43*~0.93,sin 53{~0.8,cos53{}~0.6 tan53*~1.33) 类型2 构造双直角三角形 一、叠合型-一直角三角形在直线的同侧 2.如图所示,一艘渔船正以 避风港 60海里/时的速度向正 东方向航行,在A处测 得岛礁P在东北方向 上,继续航行1.5时后到达B处,此时测得岛 礁P在北偏东30{}方向,同时测得岛礁P正东 方向上的避风港M在北偏东60{}方向,为了在 台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立 刻加速以75海里/时的速度继续航行 时即可到达.(结果保留根号) 二、叠合型--直角三角形在直线的两侧 5.某种落地灯如图①所示,AB为立杆,其高为 4. 新情境祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主 84cm;BC为支杆,它可绕点B旋转,其中BC 体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直 长为54cm;DE为悬杆,滑动悬杆可调节CD 线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种 的长度,支杆BC与悬杆DE之间的夹角 象征,某数学“综合与实践”小组的同学把“测 之BCD为60”. 量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活 (1)如图②所示,当支杆BC与地面垂直,且 动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借 CD的长为50cm时,求灯泡悬挂点D距离地 助该桥斜拉索完成了实地测量,测量结果如 面的高度. 下表。 (2)在如图②所示的状态下,将支杆BC绕点B 内容 顺时针旋转20{,同时调节CD的长(如图③所 项目 课题 示),此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为 测量斜拉索顶端到桥面的距离 90cm,求CD的长.(结果精确到1cm,参考数 说明:两侧斜拉索AC. 据:sin20~0. 34,cos 20~0.94,tan 20*~ BC相交于点C,分别与 测量 0.36,sin40{}~0.64,cos 40{}~0.77,tan40*~ 桥面交于A,B两点,且 示意图 0.84) 一## 点A,B,C在同一竖直 平面内 AB的 乙A的度数 测量 /B的度数 长度 数据 38。 28{ 234米 ① ._ (1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉 索顶端C到AB的距离.(参考数据:sin38{*}~ 0.6,cos 38~0.8,tan38~0.8,sin28*~0.5. cos 28*~0.9,tan28~0.5) (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告 除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项 目。(写出一个即可) =类型3 构造多直角三角形 7. 探究拓展如图所示,小敏在观察大风车时,想 6. 应用意识如图所示,海上观察哨所B位于观 测一下风叶的长度(风叶完全相同).她首先通 察哨所A正北方向,距离为25海里,在某时 过C处的铭牌简介得知风车杆BC的高度为 刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位 98米,然后沿水平方向走到D处,沿着斜坡 置C位于哨所A北偏东53^{}的方向上,位于哨 DE走了35米到达E处观察风叶,风叶AB 所B南偏东37*的方向上. 在如图所示的铅垂方向,测得点A的仰角为 (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的 68^{,风叶AB在如图所示的水平方向,测得点 距离. A'的仰角为45{*}若斜坡DE的坡度i-1: (2)若观察哨所A发现走私船从C处以 0.75,小敏身高忽略不计.(结果精确到1来 16海里/时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉 参考数据:sin68{*~0.93,cos68{*}~0.37, 私艇沿北偏东76{的方向前去拦截,求缉私艇的 tan68~2.48) 速度为多少时,恰好在D处成功拦截走私船 (1)求小敏从D到E的过程中上升的竖直 高度. (结果保留根号) (2)求风叶的长度 5,cos37*- sin53~4. ~5,tan37*~3 ~.,tan76{~4) A76