第1章 专题2解直角三角形的六种常见类型-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

化简.得2.8x≥2.112. 1l.解：(1)a2+e2-2 accos B a2+b2-2 abeos C ”x为正整数，x至少为1，∴至少需要拆除一层 4解直角三角形 (2a+-2abcos C.a-5.-2.co C5 1.B ∴c2=(5)+22×5×2×9. 2.解：在R1△ABC中，∠C=90°，AC=6,AB=23, 即c'=5, .BC=(25)-(W6)=√6. 解得c1=5,c:=一5（舍去）， A-瓷- =1, c=5. .∠A=45, 专题二 解直角三角形的六种常见类型 ,.∠B=90-∠4=90°-45°=45 1 3.A 1. 4.解：(1)∠A=90°-∠B=90-60°=30°. 2.解：：在R△ABC中，BC=√AB-AC=√13-12=5， 由amB-台，得方=a·m招=m6矿=5 in∠BMC-S-高过点B作BELMC,.香足是E,如图 由csB=,得c=“ 4 cs B cos 608. 所示.∴.BE=BC·sin∠BCE=BC·sin∠BAC=5X 525 (2)∠B=90°-∠A=90°-60°-30 1313 由sinA=2,得a=c·smA=(2+5×5 3 2 =+ 由mA-2得6-c·mA-2+5)x1+复 5.A6.C7.C8.27 20 M E 9.25或43或6解析：本题需分精况诗论：如国①所示，当3.(1)：ADLBC于点D, 点P在线较AC上时，：∠ABP=30°，若∠BCA=60°，则 .△ABD和△ACD均为直角三角形. ∠ABC=30°，此时点P与点C重合，不符合题意， 在R△ABD中，∠B=45°，BD=25, ∴∠ABC=60°，∠ACB=30.BC=6.∴AB=3,AC=35.在 itan∠B=AD BD' R△BAP中an∠ABP-ASAP=ABn广3X点 ,.AD=BD·tan∠B=2,5·tan45=23. 5,∴CP=AC-AP=35-5=23 在Rt△ACD中，AD=23,DC=2, imc-20-2g-, .∠C=60°， (2)在Rt△ACD中，AD=2√3，DC=2, 由勾股定理得AC=√AD+CD=4. 点E,F分别为ABBC的中点， 如图②所示，当点P在线段CA的延长线上且∠ABC=60°时， .EF是△ABC的中位线， 易知AB=3,AC=35.又，∠ABP=30,.AP=3. BEF=号AC=2. ∴.CP-AC+AP=35+3-45: 4.B5.A6.A 如图③所示，当点P在线段CA的延长线上且∠BCA=60° 时：2ABC=∠ABP二0，∠BAC0.÷∠C=∠P,.14(24 ∴BC=BP,∠C=60.∴△CBP是苹边三角形. 8.解：(1)设AC=3m. ,CP=BC=6,另外，若，点P在线段AC的廷长线上，无法 满足∠ABP=30°，枚此类情况不存在. BD-4,BC-CD+BD,∠C-90,in∠ABC-3 10.解：如图所示，过点C作CO⊥DE于点O. 2 ∠DAC=-3· .CD=2m,.4m=2m十4，解得n=2,,.AC=3m=6. (2)作DE⊥AB于点E.如图所示.由(1)知.AB=5m=10, AC-6.BD-4.AB DE-BD AC.:10XDE-X6 2 2 2 B 架得DE=号.：AC=6,am∠DAC-号CD=4 51 .∠CDE=45°，CD=1.2米，∴.CO=CDsin∠CDE=CDX ∴AD=√6+4=213 sn45°_32米.AB=MN+C0+FG.FG=3-1.8 5 AE=AD-DE=2-（T- 3-(g8）米aG1.2-884-051米 12 DE 5 6 0.3516米=35.16厘米.，35.16<40，∴.小茗妈妈不能把 :an∠BAD=AE37 包裹从右侧车门取出. 5 阶段检测一 (1~4) 1c2D3A4B5C6A72958>9 10期：n。-号且e是锐角， .a=45, ,∴.3c0s2a十sin(a-15°)tan(a+15)-√/3cos(a-15) 9.A10.C1L2612.9或1 =3cos245'+sin30°tan60°-√3c0s30 13.解：(1)如图所示，过点A作AD⊥BC于点D 'AB=AC=10, -3×(号)+×5-5×9 2 .BC=2BD. 在R△ABD中，：simB=AD。 AB =+ 六AD=ABsin B=10X5=8, 2 ∴，BD=√/AB-AD=√/10-8=6 则BC=2BD=12, 1.解：在R△ABC中，mC=∠C=30,AB= (2)如图所示，过点B作BH⊥AC于点H zAC-3.Bc-AC·cos30°-6x5 -33,∠CAB=60, :Sar=AC·BH=专BC·AD, ∴∠DAB=60°-15=45，.DB=AB=3,∴.CD=BC- :BH=CB·AD-12X8_48 BD=3√3-3. AC 10 5 12.解：(1)如图所示，过点A作AE⊥BC于点E.在R△ABE AH=AB-B=10-()-共 中.a∠AE-能-头AB=AE-3,E-. 14 ,CE=BC一BE=5一4=1.在R1△AEC中，根据勾股定 AH 5 ∴.cos∠BAC 理，得AC=√3+1下=√10. AB1025 (2)如图所示，DF垂直平分BC,连接 CD.DF垂直平分BC,.DB=CD, BF=CF=”nZDBF--B-g DF=15 ·在R△BFD中，根据勾股定B 14.解：(1)20cm 得DB=√（+（得-D=5-装- 8 (2)如图所示，过点D作DG⊥AB,垂足 为G,作DF⊥BC,垂足为F,过点F作 …0-号 FM⊥AB,垂足为M,过点D作DN⊥ 13.解：如图所示，过点C作CM⊥DF,垂足为M,连接AC,过 FM,垂足为N,在Rt△CDF中，CD= 点A作AH⊥CM,交MC的延长线于点H. 0 一B 202cm.:∠CFD=90°，∠C=45, .CF=DF 20 em.BC 40 em. ∴.BF=BC-CF=40-20=20(cm). B中，FM=BFsin60°=20×s=】 '∠FMB=90°.∠ABC=60°，∴.∠BFM=90°-∠ABC= 地面 30,∴.∠DFM=∠DFB-∠BFM=90°-30°=60. ,CD∥AB,AB与水平地面所成的角的度数为35°，.CD 在R△FDN中，FN=FDcos60°=20X2=10(cm 与水平地面所成的角的度数为35°·∴∠DCM=35. :.MN=FM FN (10 3 -10)em.DGB CE=2ED.bC=5cm,CE=号cD=10cm.0为 ∠FMG=∠DNM-90°..四边形DNMG是矩形，∴.DG MN=(103-10)cm,∴.点D到AB的距离为(103 AB的中点，0A=号AB=10cm.∴0A=CE=10cm 10)cm OA∥CE,.四边形ACEO是平行四边形.OE⊥AB, 15.解：作DH⊥BC于H,设DH■x米.∠ACD=90,.在 .∠AOE=90,,四边形ACE)是矩形，.∠ACE=90, 直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x米，AH= AC=OE=10cm.·∠DCM=35',.∠ACH=180° DH÷an30°=√3x米，在直角△BDH中，∠DBH=45°， ∠ACE-∠DCM=55°，.∠HAC=90°-∠ACH=35.在 R1△AHC中，AH=AC·cos35°≈10×0.82=8.2(cm). BH=DH=x米，BD=√2x米.，AH一BH=AB=14米， '点C到地面的距离为60cm,.镜头A到地面的距离约 3x一x=14,x=7(5+1),小明此时所收回的风筝 为8.2+60=68.2(cm). 的长度为AD一BD=2x一2x=(2一√2)×7(3十1)≈14.解：(1)，AE是△ABC的边BC上的中线，BC=8,∴.BE= (2-1.4)×7×(1.7+1)=11.34(米).答：小明此时所收同 的风筝线的长度约是11.34米 BC=专BC=4.:AD是△ABC的边BC上的商，∠C 5专题二解直角三角形的六种常见类型（答案P4) 类型1已知两直角边解直角三角形 (2)若点E,F分别为AB,BC的中点，求EF 1.如图所示，在直角三角形ABC中，∠ACB= 的长 90°，AC=3,BC=4,点D在AB上，且AD= AC,AE⊥CD,垂足为F,与BC相交于点E, 则tan∠CAE D 类型2已知一直角边和斜边解直角三角形 2.几何直观◆如图所示，∠ACB=90°，AB=13, AC=12,∠BCM=∠BAC,求sin∠BAC和点 类型4：已知斜边和一锐角解直角三角形 B到直线MC的距离. 4.推理能力如图所示，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，在△ABC中，点C(一1,0).点 A在x轴正半轴上，点B在第一象限内， ∠ACB=30°，AC=AB=23,过点B作 BD⊥x轴于点D,AE平分∠BAD交BD于 点E,则点E的坐标为( A.(23-1,1) B.(33-1,1) C.(3,2) D.(3,1) 类型5目已知边和一锐角的三角函数值解 直角三角形 5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D和 点E分别在BC,AB上，若AC=8,CD=2, DE⊥AB,smB-等，则ED的长度为() 类型3己知一直角边和一锐角解直角三角形 3.(2024·福建石狮期末)如图所示，在△ABC 中，AD⊥BC于点D,∠B=45°，BD=2W3, DC=2. (1)求∠C的大小. A.3.2 B.4 C.4.5 D.4.8 一列鲜级卡西数学的 17 6.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°， 曲类型6腊已知非直角三角形中的边（或角或三 AB=4,BC=6,对角线BD平分∠ABC,若 角函数)解直角三角形 cos∠ABD-青，则△BCD的面积为( 9.(2024·扬州邗江区模拟)如图所示，在△ABC 中，若∠A-∠C=90°，AB=1,BC=3,则AC 的值为() A.9 B.12 C.15 D.18 B 7.几何直观◆如图所示，在Rt△ABC中，斜边 4 AB=10,血A=5,点P为边AB上一动点（不 A丽 与A,B重合)，PQ平分∠CPB交边BC于点Q, DiV5 QM⊥AB于点M,QN⊥CP于点N. 10.运算能力如图所示，在四边形ABCD中， ∠B=60°，∠C=90°，E为边BC上的点， △ADE为等边三角形，BE=8,CE=2,则 tan∠AEB的值为() (1)当AP=CP时，线段CQ的长 是 (2)当CP⊥AB时，线段CQ的长 是 8.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°， 46 5 sin乙ABC=,点D在边BC上，BD=4,连 号 接AD,tan∠DAC= 3 (1)求边AC的长. IL.如图所示，在△ABC中，os∠ACB- (2)求tan∠BAD的值. AC=8,点D,E分别是AB,AC的中点，点 F在DE的延长线上，连接AF,CF, ∠AFC=90°，则线段CF的长为 12.在△ABC中，AB=13,AC=4√10， an∠ABC=12 ,则BC的长为 18 忧十学课时通一 13.(2024·池州青阳期末)如图所示，在△ABC15.应用意识◆风筝由中国古代劳动人民发明于东 中，AB=AC=10,sinB=等 周春秋时期，距今已2000多年，放风筝是大 家喜爱的一项户外运动，周末小明在公园广 (1)求边BC的长度. 场上放风筝.如图所示，他在A处不小心让风 (2)求cosA的值. 筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此 时风筝线AD与水平线的夹角为30°，为了便 于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离 A处14米的B处，此时风筝线BD与水平线 的夹角为45°.已知点A,B,C在同一条水平 直线上，请你求出小明从A处到B处的过程 中所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝 线AD,BD均为线段，2≈1.4,3≈1.7) D 14.如图①所示是护眼灯的实物图，图②是它的 侧面示意图，其中CD长为20√2cm,BC长 为40cm,∠B=60°，∠C=45°. (1)点D到BC的距离为 (2)求点D到AB的距离. 一九详级卡伊数学 19