第1章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（北师大版）

5m68C-沿号2,48，解得30，经检30 .BE=8 cm,AE=16 cm. 在Rt△AEG中，AE=16cm,∠AEG=10°， 是原方程的根，AB≈30米 .EG=AE·cos10°16X0.98≈15.7(cm)=CD. 答：风叶的长度约为30米. 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm, 特色素养专题（一） 新定义题型专题 (2)如图所示，过点B分别作BH⊥DE,BP⊥FC,垂足分别 1.解：(1)②③ 为H,P. (2)①sin75°-sin(30°+45)=sin30°·cos45°+co530°， 在Rt△BEH中，BE=8cm,∠EBH=10°， .HE=EB·sin10°≈1.36(cm),BH=EB·cos10°≈7.84 如5-×号+x号-5+2， (cm), 4 ②sin15°=sin(45°-30） ∴.HD=DE-HE=28.36-1.36=27(em)=BP =sin45°·co830°-cos45°·sin30 :∠ABF=145, ,.∠PBF=145°-90°-10°=45°， -号×号×号 ∴BP=PF=HD=27cm 'MN⊥CF,∠NMF=45,MN=8cm, =6-2 MN=NF=8 cm, 4 DN=DP+PF-NF 2.解：(1)等腰 =7.84十27-8 (2)∠B=30°，∠C=45,AB=4,AE⊥BC, 27(cm). AE-号AB-2,BE-号AB-25,BC-AE, 答：线段DN的长度约为27cm. .EC=AE=2. IE B :AD为BC边上的中线， CD=7Bc-号×(25+2)=5+1. D PN F .DE=CD-CE=√5+1-2=√3-1. 本章综合提升 3.解：(1)由题意可知∠ACB=60°，∠ABC=150°-75°=75°， 【本章知识归纳】 BC=60×0.5=30(海里)， ∠A的对边 ∠A的邻边 ∠A的对边 .∠A=180°-60°-75°=45 斜边 斜边 ∠A的邻边 由材料结论知 60如5，即49-30， AB BC 1 √3√2 22222z3 15 22 ∴.AB=15V6(海里) a2+b=c2∠A+∠B=90°cosB4sinB 答：此时货轮距灯塔A的距离AB为15√6海里。 【思想方法归纳】 (2)过点B作BF⊥AC于点F,如图所示. 【例1】 E 解：有两种情况：过点A作AD⊥BC于点D,如图①所示. 75 北 南 在Rt△BCF中， :AB=5,sinB=亏-AB' 3 AD CF=号BC=15(海里)，BF=BC·s血60=155（海里D. ∴AD=3,由勾股定理，得BD=4,在Rt△ADC中，CD= √JAC-AD=7,∴BC=BD+CD=4十7.同法可求 在Rt△ABF中， 图②：BC=4一√7. ∠A=45°， ∴.AF=BF=153(海里). ,.AC=AF+CF=(15√5+15)海里. 由材料结论知n45一m7行， BC AC 即30_15V3+15 2 v② sin75°1 综上所述，BC的长是4+√7或4一√T, 2 【变式训练1】D 【例2】 解得sn75°-5+2 解：(1)：四边形ABCD是矩形，∠B=∠BAD=90, 4 EF⊥AM,.∠AFE=∠B=∠BAD=90°.∴∠BAM+ 特色素养专题（二） 跨学科专题 ∠EAF-∠AEF+∠EAF=9O°.，∴·∠BAM=∠AEF, 1.128 2.A 2在R△ABM中，∠B=90,AB=4,Ds∠BAM=言， 3.解：(1)如图所示，过点E作EG⊥AC于点G. AM=5.'F为AM中点，.AF=2.5.∠BAM=∠AEF, AB=24cm,BE-=子AB, icos∠BAM=co∠ABF=手in∠AEF-是 5 在Rt△AEF中，∠AFE=9O,AF=2,Sin∠AEF 证明：延长BC交EF于点G,如图①所示. 5 :左、右两边的滑梯BC,EF的坡度分别为112和1：0.5， AE-要DE-AD-AE=G-要-告 指器- 【变式训练2】A ..AB=2AC.DE=2DF. 【例3】解：如图所示，过点B作BE⊥AD于点E,过点B作 BC EF,BC2=AB*+AC2 =5AC2,EF2 DE2+ BF⊥CD于点F. DF-5DF 二龙潭瀑布)C ∴.AC=DF 三龙潭瀑布B卵 又.∠BAC=∠EDF=90° ,'.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL), '.∠ABC=∠DEF (仇孔桥A48。 :∠DFE+∠DEF=90°， E D '∠DFE+∠ABC=90°， 在R1AABE中，n∠BAE=AE,BE=AB·Sh∠BAE .∠BGF=90°， .BC⊥EF 92×sin48°=92×0.74=68.08(m),在Rt△CBF中， Sin∠CBF-8E,CF=BCXm∠CBF=30X0.60=180o(, ,FD=BE=68.08m, ∴.DC=FD+CF=68.08+18.00≈86.1(m). 答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭澡布上升的高度DC约为 86.1米， 【变式训练3】 (3)他与C处距离的最小值为2√5米。 解：(1)由题意得AB⊥BC,在Rt△AD'B中，∠AD'B=32°， 理由：小亮（看成点P)从点E沿滑柳EF下滑，他与C处距 A3-L5米AD-*2.米.AD的长度 离的最小值就是CG的长. 延长BC交EF于点G,连接BE,如图②所示. 约为2.83米. 由(1)(2)知AB=DE=8米，AC=DF=4米，BC=EF= AB 45米， (2)在Rt△ACB中，∠ACB=20,AB=1.5米，AC= sin 20" .BF=AB+AD+DF=8+3+4=15(米). 0.344.41(米)，由题意得AD=AD'=2.83米，CD=AC 1.5 :SAm=号EP·BG=BF·DE, AD=4.41一2.831.6（米），.被折断的板子CD的长度约为 1.6米. BG BF·DE_15X8=65(米)， EF 45 【例4】解：设BD=x米，：CD=60米， ∴.CG=BG-BC=65-4W5=2W5(米)， '.BC=BD十CD=(x十60)米，在Rt△ABD中，∠ADB=60°， .AB=BDXtan60°=√3x米，在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴他与C处距离的最小值为25米. 【通中考】 .AB=BCX tan45°=(x十60)米，√3x=x十60，解得x=30 5.A6.(6-25)7.51 3+30,∴.AB=x+60=90+30V3≈142（米），∴.主塔AB的高 8.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6, 度约为142米 【变式训练4】 ∴BD=√AB-AD=√10-6=8. 解：由题意得CH=BG=1.5m,BC⊥AH,设CD=xm,: "'tan∠ACB=1, BD=168m,.BC=CD十BD=(x+168)m,在Rt△ECD中， .CD=AD=6, ,.BC=BD+CD=8十6=14. ∠EDC=60°，.EC=CD X tan60°=v3xm.,AE=48m, (2)AE是BC边上的中线， '.AC=AE十CE=(48十√3x)m,在Rt△ABC中，∠ABC 26°，.AC=BC X tan26°≈0.5(x+168)m,,.48+5x= cE=号BC=7, 0.5(x十168)，解得x30,.EC=√3x=30√3m,.AH= ∴.DE=CE-CD=7-6=1. AE+EC+CH=48十303+1.5≈100.5(m),∴立柱AH的长约 ,AD⊥BC, 为100.5m. ∴AE=√AD+DE=√6+1平=√37， 【通模拟】 1.C2.1+3 DaE-器-有哥 9.解：(1)如图①所示，过点C作CE⊥AD,垂足为E 由题意得AB=CE=10cm,BC=AE=20cm. 4.解：(1)在Rt△ACD中， AD=50 cm, AD=3米，CD=5米， ∴.ED=AD-AE=50-20=30(cm). ∴.AC=√CD-AD=√5-3=4（米）. 在Rt△CED中，CD=√CE+DE=√10+30= 滑梯BC的坡度为1：2， 10√/10(cm), ,.AB=2AC=8(米). 在Rt△ABC中， .可伸缩支撑杆CD的长度为10√10cm. BC=√AB+AC=√8+4=45（米）. D 答：滑梯的长为45米 (2)两个滑梯BC,EF的位置关系：BC⊥EF」 10 (2)如图②所示，过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F, 1 交AD'于点G 腰长为xcm,得y乞： 当2<x≤8时，如图②所示，重叠部分为直角梯形，梯形高 即为矩形宽为2cm,梯形下底长为xcm,上底长为(x一2) *-D cm,得y=2(x-2+x)·2=2红-2： 2 由题意得AB=FG=10cm,AG=BF,∠AGD=90°. 在R△ADG中，ana=AG=, DG 3 ∴设DG=3xcm,则AG=4xcm, 2 ∴.AD=√AG+DG=√/(4x)+(3x)7=5x(cm). 当8<x≤9时，如图③所示，重叠部分为直角梯形，梯形高 .AD=50 cm, 即为矩形宽为2cm,梯形下底长即为等腰直角三角形腰长8cm .5x=50. 解得x=10, 保持不变，则上底长为8-2=6(cm),得y=2×(6+8)× 2=14保持不变。 ∴.AG=40cm,DG=30cm, .DF=DG+FG=30+10=40(cm), x'(0<x≤2)， 1 ∴.BF=AG=40cm. 综上所述，y BC=20 cm, 2x-2(2<x8), ,.CF=BF-BC=40-20=20(cm). 14(8<x≤9) 在Rt△CFD中，CD=√CF+DF=√20+40=205 (cm), ,此时可伸缩支撑杆CD的长度为20√5cm. 第二章二次函数 1二次函数 16.解：(1)n(n+1)4n+6 1.C2.C (2)y=n2+5n+6. 3.解：：y=(m十2)xm+2是关于x的二次函数，|m=2 (3)由题意，得n2十5m十6=506，解得n1=20,m2=一25 且m+2≠0，解得m=2. (不合题意，舍去)，.n的值为20. 4.B5.y=4x+160x+1500(x>0) (4)不存在，使得黑色瓷砖与白色瓷砖块数相等，理由： 6.解：(1)y=元x2-元. 由题意，得程(n十1)=4n十6. (2)”面积扩大为原来的2倍，y=,即x”一π=π，解得 x=√2（负值舍去），∴.当半径增大到√2m时面积扩大为原来 解得m,=3+3】 2 3-3(合去). 一，n2= 2 的2倍. 7.C8.B9.D10.D11.y=30元R+R 又：3+)乐不是正整数，不存在，使得黑色瓷砖与白 2 12.解：(1)，这个函数是二次函数，.m2一m≠0， 色瓷砖的块数相等。 .m(m一1)≠0，.m≠0且m≠1. （2这个雨数是一次函数，份二。0：m=0, 2二次函数的图象与性质 m一1≠0， 第1课时二次函数y=士x2的图象与性质 m2一m=0, 1.D2.C3.C (3)不可能.若这个函数是正比例函数，则(m一1≠0， 4.向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)>0<0 2-2m=0, 5.解：(1)把A(3,m)的坐标代入y=x2,得m=3=9,∴点A 此时m不存在，，不可能是正比例函数， 的坐标为(3,9).：点B是点A关于y轴对称的点，，点B 13.解：(1)这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为 的坐标为（一3,9）. p=m(m一5)=m2-5m,是二次函数. (2),函数y=x2的图象关于y轴对称，点A在函数y=x (2)剩余的面积S(cm)与方孔边长x(cm)的函数关系为 的图象上，点B是点A关于y轴对称的点，·点B在二次函 S=100π一4x2,是二次函数. 数y=x2的图象上， (3)郁金香的种植面积S(m2)与草坪宽度a(m)的函数关系6.D 为S=(60-2a)(40-2a)=4a2-200a+2400,是二次函数. 7.解：(1)根据题意，得|m|十1=2且m≠0，解得m1=1, 14.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx十b.x=60时， m:=一1，∴满足条件的m的值为士1 y=80,x=50时，y=10,{606士6-80，解得 (2)当m=1时，抛物线的表达式为y=x,抛物线开口向上， 150k+b=100, 有最低点.最低点为(0,0).当x>0时，y随x的增大面增大 (3)当m一一1时，抛物线的表达式为y=一x2,抛物线开口 6=20y=-2z十200，根据部门规定，得30≤x≤70。 向下，函数有最大值，最大值是0.当x>0时，y随x的增大 (2)w=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450= 而减小. -2x1+260x-6000-450=-2x2+260x-6450(30≤8.D9.B10.B11.-90 x70). 12.解：(1)：点O到AB的距离为4m,∴A,B两点的纵坐标 15.解：运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分 都为-4，当一4=一x2时，x=土2，.A(一2，一4)，B(2,一4)， 面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论： .AB=4.即城门洞最宽处AB的长为4m, 当0<x≤2时，如图①所示，重叠部分为等腰直角三角形， (2)如图所示，设运货车行驶在城门洞正中，用矩形CDEF 11本章综合提升(答案P9) 本章知识归纳 sinA- cosA- (在Bt△ABC中,C-90*) 锐角三角函数的定义 tanA- sin 30= ,sin 45*= .sin 60= cos30= .cos 450= .cos 600- 特殊角的三角函数值 tan 30*= ,tan45*= ,tan 60”= 已知锐角求三角函数值 锐角三角函数的计算 已知三角函数值求锐角 直角三角形的边角关系 解直角三角形的定义 由直角三角形中已知元素,求出所有未知元素的过程 三边之间的关系: 两锐角之间的关系: 直角三角形的边角关系 边角关系:sinA-=,cosA-_ =,tanA- 仰角与俯角问题 方向角问题 解直角三角形的常见应用 坡度问题 测量物体高度问题 【例1】 几何直观已知在△ABC中,AB 思想方法归纳 5.sinB-. 3 1.分类讨论思想 求解. 当问题的对象不能进行统一研究时,就需要 对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研 究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到 整个问题的解答 “链接意 在运用三角函数定义求某个锐角的三 【变式训练1】 角函数值时,当已知条件中未明确哪条边是 运算能力 若直角三角形中有两边长分别为 斜边时,需要进行分类讨论;在需要作出三 3和4,则较大锐角的正切值为 ) A 角形的高解非直角三角形时,需要分三角形 B 的高在三角形内和三角形外两种情况进行 .# #7# 分类讨论, 2.转化思想 在研究和解决有关数学问题时,采用某种手 段将问题通过变换使之转化,进而达到解决问题 行 的一种方法,一般总是将复杂的问题通过变化转 D. 25 化为简单的问题,将难解问题通过变换转化为容 易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的 3.数形结合思想 问题. 数形结合思想是把数量关系与图形变换结 裤接章 合起来分析与探究,“数”与“形”是数学中的两个 在求三角函数值和解直角三角形时,利 最基本的概念,每一个几何图形中都蕴含着一定 用三角函数的意义,可以实现边和角的互 的数量关系;而数量关系又常常可以通过几何图 化,利用互余角的三角函数关系可以实现 形直观地反映和描述出来 “正弦”与“余弦”的互化,对于实际问题,我 链接本章 用锐角三角函数解直角三角形,主要是 们要抽象为数学问题,转化为多边形和一般 三角形的有关计算问题,通过添垂线将非直 从“数”上去研究的,在具体解题时,要画出 角三角形问题转化为直角三角形问题来 它的平面或截面示意图,按照图中边角之间 求解。 的关系进行运算. 【例3】 渔湾是国家“AAAA”级风景区, 【例2】 如图所示,在矩形ABCD中,M为 图①是景区游览的部分示意图,如图②所示,小 BC上一点,F是AM的中点,EF1AM,垂足为 卓从九孔桥A处出发,沿着坡角为48{}的山坡向 F,交AD于点E. 上走了92m到达B处的三龙潭瀑布,再沿坡角 (1)求证: BAM-AEF. 为37*的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭 求 (2)若AB=4,AD=6,cos BAM= 瀑布,求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭 瀑布上升的高度DC为多少米,(结果精确到 DE的长. 0.1m)(参考数据:sin48*~0.74,cos48* 0.67,sin37*~0.60,cos37*~0.80) (二龙潭瀑布)C (三龙潭布#。 ## .涩 h7藉 【变式训练2】 如图所示,在Rt△ABC中,ACB=90* CE是斜边AB上的中线,过点E作EFIAB交 AC于点F,若BC=4,△AEF的面积为5,则 sinCEF的值为( ) 【变式训练3】 【例4】 如图①所示,佛山奇龙大桥犹如一 模型观念如图所示,利用板子往卡车里装 架巨大的竖琴,横跨于东平水道上,是禅城区的 货,板子与地面成20{}夹角,车厢高AB=1.5米 “东大门”,大桥采用独塔斜拉桥结构,全长 在装货时,突然板子的D处折断了,板子的端点 395米,图②是其示意图,已知主塔AB垂直桥面 D落在地面上的D处,与地面成32*夹角 BC于点B,其中两条斜拉索AD,AC与桥面BC (1)求AD的长度 的夹角分别为60{和45{,两固定点D,C之间的 (2)求被折断的板子CD的长度.(精确到 距离约为60m,求主塔AB的高度.(结果保留整 0.1米,参考数据:sin20{~0.34,cos20{~0.94 数,参考数据:/2~1.41.3~1.73 tan 20{}~0.36,sin 32}~0.53,cos32*~0.85. tan32*~0.62) ① ② 4.方程思想 从分析问题的数量关系入手,通过设定未知 数,把问题中的已知量与未知量的数量关系转化 为方程或方程组等数学模型,然后利用方程的理 论,使问题得到解决 “链接意 在解直角三角形时,常常通过设未知数 列方程求解,使问题变得清楚明了,本章中 涉及解双直角三角形的问题,常构建方程进 行解答。 【变式训练4】 cos 60*-sin60。 2.(2024·河泽成武期末)计算 'sin 60{-tan45{ 应用意识 蒙城涡河五桥横跨涡河南北,为蒙 城标志建筑之一,如图①所示是大桥的实物图, 如图②所示是建造大桥设计平面图的一部分,平 3.(2024·杭州下城区模拟)如图所示,在\ABC 面图纸有桥护栏BG一1.5米,拉索AB与护栏 $中, ABC=9 0*,AB=5,BC=12,点$D在$ $$ AC上,且BD平分△ABC的周长,则 的夹角是26{,拉索ED与护栏的夹角是60{*,两 tanADB一 拉索底端距离BD为168m,两拉索项端的距离 AE-48m,请求出立柱AH的长.(tan26*~0.5. sin26*~0.4.3~1.7) 48m 4.(2024·河北模拟)如图所示,在一个建筑物两 侧搭两个长度相同的滑梯(即BC一EF),设计 60 168m 26B 1.5m 要求左、右两边的滑梯BC,EF的坡度分别为 ① ② 1:2和1:0.5.测得AD=3米,CD=5米 (1)求滑梯的长. (2)试猜想两个滑梯BC,EF的位置关系,并 证明. (3)小亮(看成点P)从点E沿滑梯EF下滑; 求出他与C处距离的最小值 ## 通模拟 1.(2024·六安金安区期末)如图所示,在 Rt △ABC中, ACB=90*,A=30*,BC=$$ 6.D为AC上任意一点,F为AB的中点,连 接BD,E在BD上目 BEC90^*,连接EF 则EF的最小值为( ) A. 3/③-3 B.2/3-3 C.33-3 D.3 通中考 8.(2024·浙江中考)如图所示,在△ABC中, ADIBC,AE是BC边上的中线,AB=10; 5.(2024·深圳中考)如图所示,为了测量某电子 AD-6,tan/ACB=1. 厂的高度,小明用高1.8m的测量仪EF测得 (1)求BC的长. 顶端A的仰角为45^{*},小军在小明的前面5m (2)求sinDAE的值. 处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰 角为53{*},则电子厂AB的高度为( ) (参考数据:sin53{~4. {,.tan53~ 5,c0s53{~ 2 A.22.7m B.22.4m C.21.2m D. 23.0m 6.(2024·湖南中考)如图所示,图①为《天工开 9.(2024·苏州中考)图①是某种可调节支撑架. 物》记载的用于春(chāng)揭谷物的工具- BC为水平固定杆,竖直固定杆AB1BC,活动 “雄(duì)”的结构简图,图②为其平面示意图. 杆AD可绕点A旋转,CD为液压可伸缩支撑 已知AB |CD于点B,AB与水平线/相交于 杆,已知 AB=10 cm,BC=20 cm,AD=$ 点O,OE11.若BC=4分米,OB=12分米 50cm. BOE=60{*},则点C到水平线 的距离CF为 (1)如图②所示,当活动杆AD处于水平状态 分米.(结果用含根号的式子表示) 时,求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留 根号). (2)如图③所示,当活动杆AD绕点A由水平 状态按逆时针方向旋转角度a,且tana= ① 7.(2024·武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅 为锐角)时,求此时可伸缩支撑杆CD的长度 (结果保留根号) 游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉,在一 次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量 黄鹤楼AB的高度,具体过程如下:如图所示, >DA.. .._” 将无人机垂直上升至距水平地面102m的C 处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45^{*},底端B的 ① ② 俯角为63{},则测得黄鹤楼的高度是 m. (参考数据:tan63{~2) 63{ :102m 地面 第二章 二次函数 大单元建构 开口方向 对称轴 定义与一般形式 图象与性质 顶点坐标 增减性 二次函数 最值 一般式 项点式 二次函数的应用 二次函数的表达式 与一元二次方程的关系 交点式 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 借助生活中的具体实例,通过自变量、因变量分析得出关系式,进而抽象出二次函数的概念,积累 抽象能力 从具体到抽象的活动经验,从生活中常见实例的角度理解二次函数的概念,把握二次函数本质特 征,养成一般性思考问题的习惯 会画二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质,知道二次函数系数与图象形状和对称轴的 几何直观 关系,理解二次函数与对应的一元二次方程的关系,增强几何直观 利用二次函数图象确定出表达式中的系数或含系数代数式的符号,感受数学知识之间的联系,形 推理能力 成有依据、有条理、合乎逻辑的思维习惯,进一步提高逻辑推理能力 运算能力 利用待定系数法确定二次函数的表达式解方程组问题或求解最值 能够用二次函数解决生活中的数学问题,比如生活中常见的几何图形问题和销售利润问题,发展 应用意识 应用意识 模型观念 结合生活中的实例构造二次函数图象的模型,利用二次函数性质解决抛物线型的实际问题,体验 数学来源于生活,并能解决生活中的很多实际问题