第17章 专题2应用勾股定理解决最短路径问题&专题3应用勾股定理解决折叠问题-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

专题二应用勾股定理解决最短路径问题（答案） 翻类型1平面图形上的最短路径 两点间距离为AB引=|x2一x1|: 1.(2024·保定阜平期末)如图所示，一段斜坡上 若A,B两点在y轴上或直线AB与y轴平 有两棵树，两棵树之间的水平距离为12m,竖 行，A,B两点的纵坐标分别为y1y2,则A,B 直距离为5m,树的高度都是2m.一只小鸟从 两点间距离为|AB=y2一y1. 一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要 据此，小烨猜想：对于平面内任意两点 P,(x1y1),P,(x2,y:),P1,P两点间的距 飞() 离为P,P:|=√(x2-x1)十(y2-y1) (1)请你利用下图，试证明：P,P。= W2-x1)2+(y2-y1). 12m (2)若A(一1,1)，B(2,3),试在x轴上求一点 A.12mB.13m C.14m D.15m M,使MA十|MB的距离最短，并求出|MA+ 2.如图所示，已知A村庄与B村庄相距12km, MB的最小值. A村庄的土地灌溉点在C处，B村庄的土地 灌溉，点在D处.已知∠BAC=∠ABD=90°， AC=2km,DB=3km,现要在线段AB之间 选一点建一水站E,使得水站E分别到灌溉点 C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是 ()km. A.10 B.17 C.14 D.13 3.如图所示，在等边三角形ABC中，D是BC的 中点，点E,P分别是线段AC,AD上的一个 动点，已知AB=2,AD=3,则PC+PE的 最小值是 4.小烨在探究数轴上两点间距离时发现： 若A,B两点在x轴上或直线AB与x轴平 行，A,B两点的横坐标分别为x1,x2,则A,B 30 优计学棒说的益 瞄类型2腊立体图形上的最短路径 体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的 5.如图所示的正方体中，Q,R,S是棱PB上的 截面是半径为4m的半圆，其边缘AB= 点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面 CD=20m,点E在CD上，CE=4m,一滑行 爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁 爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短 所爬行的路线最短，那么P,Q,R,S四个点 距离为 m.(π的值取3) 中，它最有可能经过的点是( A.P B.Q C.R D.S 10.葛藤是一种“刁钻”的植物，它自已腰杆不硬， 为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上， 它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路 第5题图 第6题图 线，总是沿着最短路线盘旋前进的.难道植物 6.如图所示，一圆柱高BC为20cm,底面周长是 也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一 10cm,一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食，且 种方法解决下列问题吗？ PC=BC,则最短路线长为( (1)如图所示，若树干为一底面周长是 A.20 cm B.13 cm C.14 cm D.18 cm 30cm的圆柱，从点A绕一圈到B点，葛藤 7.如图所示，一大楼的外墙面ADEF与地面 升高40cm,则它爬行的路程是多少厘米？ ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=AB= (2)若树干为一底面周长为80cm的圆柱，绕 10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁 一圈爬行100cm,则爬行一圈升高多少厘 要从点P爬到点B,它的最短行程是()米 米？若爬行10圈到达树顶，则树干高多少 厘米？ D A.20 B.85 C.24 D.610 8.在一个长为5米，宽为3米的长方形草地 ABCD上，如图所示堆放着一根正三棱柱的木 块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD,木块的 主视图是边长为1米的正三角形，一只蚂蚁从 点A处到C处需要走的最短路程是 米. B 9.空间观念如图所示是一个供滑板爱好者使 用的U型池，该U型池可以看作是一个长方 一八年级下的+数学：划 31 专题三 应用勾股定理解决折叠问题（答案） 类型1三角形的折叠问题 类型2四边形的折叠问题 1.如图所示，在Rt△ABC中，AB=6,BC=4, 4.如图所示，将一张正方形纸片 ∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中 ABCD对折，使CD与AB重 点D重合，折痕为MN,则线段BN的长 合，得到折痕MN后展开，E 为() 为CN上一点，将△CDE沿 B号 DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN D.5 上的点F处，连接AF.若AB=2,则CE的长 度为( A.4-23 B.2-√3 D.3-1 第1题图 第2题图 c 2.如图所示，已知直角三角形ABC,∠B=90°， 5.探究拓展(1)【操作发现】如图所示，在长方 点D是BC边上一点，连接AD,把△ABD沿 形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿 着AD翻折，得到△AED,连接BE交AD于 BE折叠后得到△GBE,且点G在长方形 点F.若AB=3,AD=5,则点E到BC的距离 ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F, 为 认为GF=DF,你同意吗？说明理由 A号 D. (2)【问题解决】保持(1)中的条件不变，若 3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点E,F DC=3DFP,求A8的值 在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落 (3)【类比探究】保持(1)中条件不变，若 在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折， 使点B落在CD的延长线上的点B'处，且点 DC=mF,求把的位 C,D,B在同一直线上 (1)求∠ECF的度数. (2)若CE=4,B'F=1,求线段BC的长和 △ABC的面积. 32 优学棒课时温一②如图②所示，当BP=AB=10cm时，.t=10÷1=10. ③如图③所示，当AP=BP时， 设AP=BP=xcm,则CP=BC-BP=(8-x)cm. 在Rt△ACP中，CP+AC=AP2,即(8-x)2+62=x2, 解得x25, ,即BP 空cm,则-空÷1-约 25 然上，1的值为16或10或25 .∠BME=90°. 4 在直角三角形ABD中，∠B=90°，AB=3,AD=5, 9.C10.B11.B12.-1-√22√2 .BD=√AD-AB=4 ",把△ABD沿着AD翩折，得到△AED, 13.解：(1)由折叠可知DE=GE.设DE=x,则AE=8一x, BD=ED,BE⊥AD,BF=EF,∴∠BFD=9O 在Rt△AEG中，AG+GE2=AE, .16+x2=(8-x)2,解得x=3,.DE=3. SAm=号AB,BD=名AD·BF,中3X4=5,BF,将得 (2)如图所示，过点F作FH⊥AD于点H,则FH=4. 在Rt△ABF中， BF-12 AF=FC,由勾股定理，得BF2=AF2一AB2,即BF1= (8-BF)2-16,∴.BF=AH=3. ∴BE=2BF-DF=√BD-F- 5 AE=AD-DE=5,..EH=AE-AH=2, ,∴.EF2=42十22=20，.EF-25(负值合去). Saae-号BE,DF-专BD,ME,∴ME-器 3解：I由折叠可得∠ACE-∠DCE-号∠ACD,∠BCF D ∠BrCF-∠BCB. :∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCB'=90 B ∴∠BCD+∠PCD=名×90=45，即∠BCF=45 (3)如图所示，过点G作GM⊥AD于点M. (2)由折叠可得∠DEC=∠AEC=90°，BF=B'F=1, :2 AGXGE=--AEXGM.*.GM-=号 .∠EFC-45=∠ECF,∴CE-EF-4,∴BE=4+1-5, ∴，Rt△BCE中，BC=√BE+CE=√I. Sam=名XGMXDE=-g 设AE=x,则AB=x十5. .在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2, 专题二应用勾股定理解决最短路径问题 在Rt△ABC中，AC=AB2-BC2, 1.B2.D3.3 AE+CE=AB-BC3 4.解：(1)如图所示，从点P1,P:分别向x轴和y轴作垂线 P,M,PN1和P,M,P,N2,垂足分别为M(x1,0), 即x2+=(红+5)一1，解得工=5 N,(0,y1),M2(x2,0),Na(0,y), ∴5Ae=2 ABXCE=-2×(+5)X4-82 P 4.A 5.解：(1)同意.理由：如图所示，连接E℉，则根据翻折不变性， M M 得∠EGB=∠A=9O°，EG=AE=ED,EF=EF,∠EGF= ∠D=90,在R△BGF和R△EDF中，-EP: P .Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),.GF=DF. 其中直线P,N,和P,M相交于点Q 在Rt△P1PQ中，lPQ-|MMl-x-x1l, IP:QI=INN:l=ly:-x1l, PiP:=PQ1+PQ1=x-+ly:-y11= (x1-x1)2+(y2-y)°， .1P,P,|=√x-x1)+(y-y) (2)作点A(-1,1)关于x轴的对称点A1(-1,一1)，连接 (2)由(1)知，GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x, AB,A1(-1,一1)与B(2,3)两点间的距离即为所求的最小 AD=y. 值，直线A,B与x轴的交点为所求的M点， I MA II MB I =I MA,MB I =I A,BI DC=3DF,..CF=2x,DC=AB=BG=3x, .BF=BG+GF=4x √[2-(-1)]+[3-(-1)]=√3+4=5. 在Rt△BCF中，BC+CF=BF, 5.C6.B7.D8.359.20 10.解：(1)若树干的底而周长为30cm,绕一圈升高40cm,则葛 甲y+r-ey-2铝-2-2 3 藤绕树爬行的最短路线为√30+40-50(cm). (3)由(1)知，GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x, (2)若树干的底面周长为80cm,绕一圈爬行100cm,则爬行 AD=y. 圈升高√100一80=60(cm).若爬行10圈到达树顶，则树 DC=mx,..CF=(m-1)x,BF=BG+GF=(m+1)x. 干高为10×60=600(cm). 在Rt△BCF中，BC2+CF=BF2, 专题三应用勾股定理解决折叠问题 即y2+[(m-1)x]=[(m+1)x]子， 1.C 2.D解析：过点E作EM⊥BD于点M,如图所示， -红而治-酒-2