第17章 特色素养专题(三)传统文化专题&数学活动-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（人教版）

特色素养专题（三） 传统文化专题（答案9） 1.数学文化，(2024·忻州期末)在《天工开物》这 图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周 部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机 长（图②中的实线）是() 械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用 的名为“矩尺”的测量工具如图所示，这种工具 的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述 的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边 比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直 角边的长为( A.52 B.48 C.72 D.76 5.(2024·许昌襄城期末)我国是最早了解勾股 5尺 定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定 ?尺 理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又 A.12尺B.13尺 C.24尺D.26尺 称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋 2.(2024·承德平泉期末)勾股定理在《九章算术》中 铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并 的表述是：“勾股术日：勾股各自乘，并而开方除 给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证 明勾股定理的是( 之，即弦”.即c=√a+b(a为勾，b为股，c为 弦)，若“勾”为3，“股”为4，则“弦”是() A.5 B.6 C.10 D.4 3.(2024·哈尔滨南岗区月考)“赵类弦图”巧妙地利 用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的 骄做.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直 角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形， 设直角三角形较短的直角边长为a,较长的直角 边长为b.若小正方形的面积是1，大正方形的面 积为13，那么(a十b)2的值为( 6.(2024·眉山中考)如图所示，图①是北京国际 数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家 赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼 成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形 的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②， 则图②中大正方形的面积为( A.13 B.19 C.25 D.169 4.(2024·阜阳界首期末)如图①所示是我国古 代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全 等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中，若直 1 2 角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边 A.24 B.36 C.40 D.44 长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如 一八件级卡新数学同 37 数学活动（答案P9) 活动1 画活动2 1.应用意识如图所示，同学们想测量旗杆的高度 2.(2024·聊城阳谷期末)如图①所示，在△ABC (单位：米)，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂 中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别记为 到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度 a,b,c. 未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出 解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米， 如图①所示； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部 的距离AC=4米，如图②所示. 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然 实验一： 后举起绳结拉到如图③所示的点D处(BD= 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了 BC),作DF⊥AC于点F,DF=EC 如图②所示的正方形， (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度BC. (1)在图②中，正方形CDEF的面积可表示 (2)在(1)的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆 为 ,正方形JKL的面积可表示 的距离DE=4.5米，求此时绳结到地面的高 为 ,(用含a,b的式子表示) 度DF (2)请结合图②，用面积法说明(a十b)2,ab, (a一b)2三者之间的等量关系. 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成 A2i--- 了如图③所示的图形.他们根据面积法得到了 3 一个关于边a,b,c的等式，整理后发 现a2+b2=c2. (3)请你用面积法证明a2+b2=c2 38 优学案课时通2十1. 在Rt△CDH中,有DH+CH=CD. BC$=(n-1)=n-2n$+1,AC=(2n)=4 n .(5)(1{) 则BC+AC-n'-2n+1+4n-'+2n{}+1. '.AB=BC+AC.△ABC是直角三角形。 综上,7-2或11或2.5或1.4. (2)当n-2时,AB-5.BC-3.AC-4. 特色素养专题(三)传统文化专题 ①如图①所示,BD平分 ABC,过点D作DE AB,垂足为 1. A 2. A 3.C 4.D 5.D 6.D E.又' C-90..'CD=DE. 数学活动 BD-BD. 在Rt△BCD和Rt△BED中. 1.解:(1)设旗杆的高度BC为x米,则绳子的长度为(x十1)米, CD-ED. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得:+4一(r十1). '.Rt△BCDRt△BED(HL)...BE-BC-3. 解得r-75. 设CD-DE-x.,AD-4-x,AE-5-3-2. 答:旗杆的高度BC为7.5米. 在Rt△AED中,有DE+AE-AD*. (2)由题意可知,BD=BC-7.5米,DE-4.5米,DF-EC. .+2-(4-x).r= -2-1.5. 在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE=BD一DE= 此时,AB+BC+CD-5+3+1.5-9.5. 7.5-4.5r-6(米). .1-9.5-1-9.5. '.FC-BC-BE=7.5-6-1.5(米). .DF-EC-1.5米. 答:此时绳结到地面的高度DF为1.5米. 2.解:(1)(a十b):(a-b)* (2)由图②可以看出,正方形CDEF的面积一正方形1K1 的面积一4个矩形的面积. '.(a+b):-(a-b)?-4ab. (3)'Snm arrar -Srxm nzp+Srr Hrr. +Sam+ S.n-SrrEAno+Sac+SMis. a+b+-a+-ab-+ 1 ② l .十- ②如图②所示,DD”垂直平分AB. 点D可能在点D处,也可能在点D”处。 本章综合提升 【本章知识归纳】 当点D在点D处时,AD'-1 2AB-2.5. 十6一C平方和 平方 【思想方法归纳】 1-2.5-1-2.5. 【例1】解:·AB一BD一5厘米,动点P 当点D在D处时. 从A出发(A→B→D)到D,速度为 连接BD”..DD”垂直平分AB。'BD”-AD" 2厘米/秒. n 设CD"为x,则BD”-AD”-4-x. .5秒时P点运动路程为2×5一 在Rt△BCD”中,有BC+CD”-BD”}. 10(厘米). 而AB十BD-10厘米...此时P与D *.AB+BC+CD-5+3+0.875-8.875. 重合: .1-8.875-1-8.875. ·AB-BC-CD-5厘米,动点Q从点D出发(D→C+ B→A)到A,速度为2.8厘米秒, 综上,t-2.5或.-8.875 ③当点D在AB上:BD-BC时, 2.5秒时Q点运动路程为2.8×5一14(厘米). 而DC+CB+BA-15厘米, 此时AD-5-3-2....-2-1-2. .Q在AB边上,且BQ一4厘来,如图所示. 当点D在AC上,BC-CD时. 在△BPQ中,.BQ-4厘米,PQ-3厘米,BP-5厘米, 此时AB+BC+CD-5+3+3-11...7-11-1-11. 当点D在AB上,且过BC的垂直平分线,BD-CD时,如图 *.BQ+PQ=BP.△BPQ为直角三角形, BQP= ③所示, 90...AQP-180*- BQP-90°。 .△APQ为直角三角形. *$ B= DCB: B+ A= DCB+ DCA=90 $$$ .AD-CD...BD=AD. 【变式训练1】B .AD-2.5. 【例2】A解析:由题意可得,BC- 3十4^-5,AB-5. '.1-2.5-1-25. AC-+9-310. 1 '.AB一BC..BD是ABC的平分线. B .BDAC.AD-CD= 【变式训练2】45* ③ ④ 【例3】解:(1).·CD-10.DE-7...CE-10-7-3. 当点D在AB上,BC-CD时. 在Rt△CBE中,BE-BC+CE-5. 如图④所示,过点C作CH AB,垂足为H (2)当 BPE-90*时,AP-10-3-7,则1-7-1-7. 当 BEP-90*时,BE+PE-BP',即5+4+(7-) (10一),解得!- 5 当(-7或时,△BPE为直角三角形. 2. 【变式训练3】解:分两种情况: 0