第22章 专题五构造三角形的中位线解决问题-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（冀教版）

专题五 构造三角形的中位线解决问题(答案P20) 类型1 连接两点构造三角形的中位线 类型2 利用角平分线十垂直构造三角形的 1.(2024·保定清苑区期末)如图所示,在四边 中位线 形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O. 3.如图所示,在△ABC中,AD平分BAC, AC=BD,M,P,N分别是边AB,BC,CD的 ADIBD于点D,点E为BC的中点,AB 中点,Q是MN的中点. 5.AC一7,求线段DE的长 (1)求证:PQIMN (2)判断△OEF的形状 2.如图所示,在△ABC中,点D在AB上, 4.如图所示,在△ABC中,AD是中线,AE是 BD=AC,连接CD,E,F,G 分别是BC. 角平分线,点F在AE上,CFA=90{*,试判 AD.CD的中点,连接EG,EF,CA的延长线 断DF与AB的位置关系,并说明理由。 相交于点H. 求证:(1) CGE= ACD十CAD (2)AH-AF. 96 类型3 倍长法构造三角形的中位线 类型4已知一边中点,取另一边中点构造 5.推理能力(1)【问题探究】如图①所示,已知 三角形的中位线 AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使 6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中 DE=AD,连接BE,CE,可得四边形ABEC 线,点F在AC上,AF- FC,AD与BF交 求证:四边形ABEC是平行四边形,请你完善 2 以下证明过程: 于点E.求证:点E是AD的中点 .AD是△ABC的中线 .. .DE-AD, :.四边形ABEC是平行四边形 (2)【拓展提升】如图②所示,在△ABC的中线 AD上任取一点M(不与点A重合),过点M. C分别作ME/AB:CE/AD:连接AE 求证:四边形ABME是平行四边形。 (3)【灵活应用】如图③所示,在△ABC 中, B=90*,AB=4,B$C=6,点 D是B$C的$ 中点,点M是直线AD上的动点,且ME/ 7.如图所示,AH是△ABC的高,CD是△ABC AB,CE/AD,当ME+MC取最小值时,求 的中线,AH=CD,DE/AC,BE/CD,连接 线段CE的长. CE.延长AH交CD干点M,交CE干点N (1)求证:四边形BDCE是平行四边形 (2)求/BCD的度数 ① ③7.解：(1)证明：，P,Q分别是BG,CG的中点. 12.证明：如图所示，取BC的中点M,连接EM,FM. ,M,F分别是BC,CD的中点， PQ为△GBC的中位线，PQ/BC,PQ=2BC. ,BE,CF为△ABC的中线，∴EF为△ABC的中位线， ∴MF/BD,MF=BD. :.EF/BC.EF-C.EF/PQ.EF-PQ. 同理：ME∥AC,ME=2AC 1 ∴四边形EFPQ是平行四边形。 'AC=BD,∴.ME=MF, (2)BG一2GE.理由如下： ∴.∠MEF-=∠MFE. 四边形EFPQ是平行四边形，.GP=GE. MF∥BD,∴.∠MFE=∠OGH, ,P为BG的中点，.BG=2PG,,BG=2GE 同理，∠MEF=∠OHG,.∠OGH=∠OHG, 8.C9.C10.√2 ∴.OG=OH 11.解：，点D,E分别是边AC,AB的中点， 13.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .DE是△ABC的中位线， .AB∥DC,AB=DC, DE-C=×19-号 ∴∠BAE=∠DCF. 2 在△ABE与△CDF中， 在△ABF中， (AB=CD, AF2+BF2=52+122=169=132,AB2=132, ∠BAE=∠DCF, ∴AF2+BF=AB, AE-CF, .∠AFB=90°， ,∴.△ABE≌△CDF(SAS), B-AB-71-号 .∠AEB=∠CFD, ∴.∠BEF=∠DFE, DF-DE-EF-3 ∴.BE∥DF (2)由(1)知，△ABE≌△CDF,BE∥DF, 12.解：【定理证明】如图所示，延长DE至点 ∴BE=DF, F,使EF=DE,连接CF, 四边形BEDF是平行四边形，.DO=BO. :E为AC的中点，AE=CE. .OM⊥BD,.DM=BM 在△ADE和△CFE中， :△BFM的周长为12， AE=CE, ..BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12. ∠AED=∠CEF ∴.四边形BEDF的周长为24. DE=FE, ∴.△ADE≌△CFE(SAS),.AD=CF,∠EAD=∠ECF, 专题五构造三角形的中位线解决问题 .ADCF,即BD∥CF. 1.解：(1)证明：连接PM,PN,如图所示，：M,P分别是边 又，BD=AD=CF,.四边形DBCF是平行四边形， AB,BC的中点， ∴DE/BC,且DF=BC,DE/BC,且DE=2BC. :.AM-BM.BP-CP.:.PM-TAC. 【合作交流】D 【定理应用】(2b-a) DN-CN.BP-CP.:.PN-BD. 阶段检测三（22.1~22.3) 又"AC=BD, ∴.PM=PN, 1.C2.B3.C4.C5.D6.C7.D8.2 ∴.P在MN的中垂线上 9子解析：取BE的中点H,连接FH,CH,如图所示。 MQ-NQ, ∴.PQ⊥MN F是AE的中点，H是BE的中点， (2)△OEF的形状是等腰三角形， ,FH是△ABE的中位线， 理由如下： ∴FH/AB,FH=7AB. 'PM∥AC, ,∠PMN=∠EFO. 四边形ABCD是平行四边形，AB=CD *PN∥BD, :E是CD的中点，EC=CD。 .∠OEF=∠FNP 又'∠PMN=∠PNM, FH∥EC,FH=EC,.四边形FHCE是平行四边形， .∠EFO=∠OEF, .GE-GH-EH. .△OEF的形状是等腰三角形. BE=3,H是BE的中点， 2.证明：(1)：E,G分别是BC,CD的中点， .EG是△BDC的中位线，.EG∥BD, BH-号GE= .∠CGE=∠BDC. 10.EF=HG,EF∥HG '∠BDC=∠ACD+∠CAD, 11.(2,2)或(-2,10) '.∠CGE=∠ACD+∠CAD. (2)如图所示，连接FG.E,F,G分别是BC,AD,CD的 20 中点， 在Rt△CMF中，由勾股定理，得MF=√CF-CM= .G-BD,FG-TAC. .BD=AC..GE=GF, 6.证明：如图所示，取CF的中点M, .∠GFE=∠GEF. 连接DM. FG∥HC,∠GFE=∠H. :∠GEF=∠BFE=∠AFH, AF-FC..AF-FM-CM. ∠H=∠AFH,∴.AH=AF :AD是BC边上的中线， 3解：如图所示，延长BD交AC于点F .BD=CD,.DM是△BFC的中 :AD平分∠BAC, 位线， .∠BAD=∠CAD. .DM∥BF AD⊥BD于点D, .EF∥DM,且AF=FM, ∴∠ADB=∠ADF AE=DE,即点E是AD的中点. :AD=AD,∴.△ABD≌△AFD, 7.解：(1)证明：DE∥AC,∠CAD=∠EDB. AF=AB.BD=DF.AB=5.AC=7, ,BE∥CD,.∠CDA=∠EBD. .CF-AC-AF-AC-AB-7-5-2. CD是△ABC的中线，，AD=DB. 点E为BC的中点， 在△ADC和△DBE中， DE为△BCF的中位线，：DE= 2 FC=1. |∠CAD=∠EDB, AD-DB, 4.解：DF∥AB.理由如下：如图所示，延 ∠CDA=∠EBD, 长CF交AB于点G. ,.△ADC≌△DBE(ASA),,CD=BE :AE是角平分线， :BECD,∴.四边形BDCE是平行四边形. ∠GAF=∠CAF (2)如图所示，取BH的中点G,连接DG, 在△AGF和△ACF中， CD是△ABC的中线， I∠GAF=∠CAF, ,.DG是△ABH的中位线， AF=AF, ∠AFG=∠AFC=90°， DG-AH.DG/AH. ∴△AGF△ACF(ASA),.GF=CF,即点F是GC的 AH是△ABC的高，.DG⊥BC, 中点. .∠CGD=90 :AD是△ABC的中线，点D是BC的中点， DF是△BCG的中位线，.DF∥AB, AH=CD,∴DG=2CD, 5.解：(1)BDCD ∠DCG=30°，即∠BCD=30 (2)证明：如图①所示，延长AD到点F,使 DF=AD,连接CF. 22.4矩形 ,AD是△ABC的中线，.BD=CD 在△ADB和△FDC中， 第1课时矩形的性质 AD=FD. 1.(2)平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∠ADB=∠FDC, (3)矩有一个内角是90度的平行四边形是矩形 BD=DC. 2.B3.C4.D5.6 .△ADB≌△FDC(SAS), 6.解：(1)证明：解法一：在矩形ABCD中，OA=OB=OC. .CF=BA,∠DCF=∠DBA,.AB∥CF ∠BOC=120°，∴∠A0B=60°， ABME,∴.MECF. ,△AOB是等边三角形，∴，AB=AO,∴，AC=2AB. ,CE∥MF,.四边形CEMF是平行四边形， 解法二：四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°， ..ME=CF,.ME=AB. ∠B0C=120°，OB=0C, ,.四边形ABME是平行四边形. ,.∠OCB=30°，.AC=2AB. (3)如图②所示，延长AD到点F,使DF=AD,连接CF (2),AB=6,AC=2AB,.AC=2AB=12. 由(2)知，ME=AB=4,CE=MF, 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，DC=AB=6,AC=BD=12. 则ME+MC取最小值时，CM最小，故 根据勾股定理，得BC=√BD一CD=√2一6=65， CM⊥AD时，CM最小. 1 ,AD是△ABC的中线，.BD=CD=3, 5am=2×6×6,5=185. .由勾股定理，得AD=5, 利用等面积法，得宁×5×CM- DE-OD,SADeE-2SAcD-93. 2 ×3×4, 解得CN-号 S△sE=SAcm+S6c=273. 设点E到BC的距离为h, 则56m-2BCA,即27月-号×65h,A-9. 21