22.3 三角形的中位线-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（冀教版）

AB=AC. ∴.△BED≌△CFD(AAS). ∴.∠ABD=∠ACB.∴.∠ACB=∠ACE. .ED=FD.,BD=CD,.四边形BECF是平行四边形， :EM∥BC,.∠EMC=∠ACB, (2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF. .∠ACE=∠EMC,.ME=EC △BEC,△BFC. .DB=ME.又EM∥BD. 14.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ,四边形MBDE是平行四边形 16.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 0A=3AC=6,0D-2BD=7. ,.DC∥AB,∠DCB=∠DAB=6O°，∠ADE=∠CBF= 在△AOD中，OD-OA<AD<OD+OA, 60°.，AE=AD.CF=CB,∴.△AED.△CFB都是等边三 即7-6AD<7+6, 角形. .1<AD<13. 在ABCD中，AD=BC,DC∥AB且DC=AB, (2)AC=BC,∠ACB=40°， .ED=BF.∴，ED十DC=BF+AB,即EC=AF ∴∠CAB=∠ABC=号180-∠ACB)=70 又，DC∥AB,即EC∥AF, .四边形AFCE是平行四边形. :四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ADC=∠ABC=70. (2)上述结论还成立， (3)证明：，“四边形ABCD是平行四边形， 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC.OB=OD. .AD/∥BC,∠ADC=∠ABC,AD=BC,DC∥AB,DC=AB. ,点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE .∠ADE=∠CBF. AE-AD.CF=CB. CF,点G,H均在线段BD上，且BG=DH, ..OE-OF.OG-OH. .∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF. ,∴，四边形EGFH是平行四边形 .∠AED=∠CFB. 15.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 又·AD=BC..△ADE≌△CBF .DC=AB,AD=BC,∠B=∠D. ED=FB. AE=AH-CG=CF,.AB+AE=CD+CG.BC- DC=AB,..ED+DC=FB+AB.EC=FA. CF=AD-AH. 又·DC∥AB,.四边形AFCE是平行四边形. 即EB=GD,BF=DH, 第2课时平行四边形的判定（二）】 EB-GD. 1.B2.C 在△BFE和△DHG中，∠B=∠D 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 BF=DH. 4.证明：，△ADE≌△CBF,AD=BC,AE=CF, ,△BFE≌△DHG(SAS),.EF=GH. E,F分别为边AB,CD的中点， ,∠DAB=∠DCB,.∠EAH=∠FCG.同理△EAH≌ ..AB=2AE.CD=2CF...AB=CD. △(GCF(SAS),∴EH=FG,.四边形EFGH是平行四 ,,四边形ABCD是平行四边形， 边形. 5.B6.12 7.证明：，CE∥AB, (2)△AEH的面积=四边形EFGH的面积.理由如下： ,.∠ADE=∠CED 如图所示，设AC与GH交于点P,连接PE,PF ∠ADE=∠CED, AH=AE=CF=CG,∠BAD=∠AEH+∠AHE,AC 在△AOD与△COE中，（∠AOD=∠COE, 平分∠DAB, OA=0C. .∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠BAC. .△AOD2△COE(AAS), .EH∥AP, .OD=OE. .△AEH的面积=△PEH的面积， ∴四边形ADCE是平行四边形. 同理，可得△GCF的面积=△PFG的面积. 8.C9.C10.①②③ :由(1)得△EAH≌△GCF, 11.(5,3)或(1，-3) .△EAH的面积=△GCF的面积， 12.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ,△AEH的面积+△PFG的面积=2△AEH的面积= ..AO=CO.BO=DO. 专平行因边形EGH的面积， E,F,G,H分别是AO,BO,C),D)的中点 B0=2A0.G0=200.F0=7B0,H0=2D0 ∴△AEH的面积-四边形EFGH的面积 .EO=GO.FO=HO. .四边形EFGH是平行四边形. 13.解：(1)证明：D是BC的中点，BD=CD, BE⊥AE,CF⊥AE,.∠BED=∠CFD=90, 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD, 22.3三角形的中位线 ∠BDE=∠CDF, BD=CD. 1.B2.23.D4.C5.D6.A 19 7.解：(1)证明：，P,Q分别是BG,CG的中点 12.证明：如图所示，取BC的中点M,连接EM,FM. ,M,F分别是BC,CD的中点， PQ为△GBC的中位线，PQ/BC,PQ=zBC. BE,CF为△ABC的中线，∴.EF为△ABC的中位线， ∴MF/BD.MF=2BD, :.EF/WC.EF-C.EF/PQ.EF-PQ. 同理：ME/AC,ME=2AC ∴四边形E下PQ是平行四边形. .AC=BD...ME=MF. (2)BG=2GE.理由如下： .∠MEF=∠MFE, 四边形EFPQ是平行四边形，.GP=GE. 'MF∥BD,.∠MFE=∠COGH, P为BG的中点，∴BG=2PG,.BG=2GE 同理，∠MEF=∠OHG,,∠(OGH=∠OHG, 8.C9.C10.2 .OG=OH. 11,解：，点D,E分别是边AC,AB的中点， 13.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .DE是△ABC的中位线， .AB∥/DC,AB=DC, DE-=×19-号 .∠BAE=∠DF. 2 在△ABE与△CDF中， 在△ABF中， AB-CD. ,AF+BF9=52+122=169=132,AB2=13, ∠BAE=∠DCF :.AF+BF=AB, AE-CF. .∠AFB=90, ∴.△ABE≌△CDF(SAS). -4-×18- .∠AEB=∠CFD, .∠BEF=∠DFE. DF-DE-EF-3 .BE∥DF」 (2)由(1)知，△ABE≌△CDF,BE∥DF. 12.解：【定理证明】如图所示，延长DE至点 .BE=DF. F,使EF=DE,连接CF. .四边形BEDF是平行四边形，∴.DO=BO, ,'E为AC的中点，AE=CE OM⊥BD..DM=BM 在△ADE和△CFE中， :△BFM的周长为12， AE=CE, .BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12. ∠AED=∠CEF ∴四边形BEDF的周长为24. DE=FE, .△ADE≌△CFE(SAS),.AD=CF,∠EAD=∠ECF, 专题五构造三角形的中位线解决问题 ∴.ADCF,即BD∥CF. 1.解：(I)证明：连接PM,PV,如图所示，：M,P分别是边 又，BD=AD=CF,∴四边形DBCF是平行四边形， AB,BC的中点， ∴DE/BC,且DF=BC.DE/BC,且DE=2BC. AM=BM,BP=CP∴PM=ZAC 【合作交流】D 【定理应用】(2b一a) DN-CN.BP-CP.-.PN-BD. 阶段检测三（22.1~22.3)】 又，AC=BD ..PM=PN. 1.C2.B3.C4.C5.D6.C7.D8.2 ,.P在MN的中垂线上， 9号解析：取E的中点H,连接FH,CH,如图所示 MQ-NQ. ,∴.PQ⊥MN F是AE的中点，H是BE的中点， (2)△OEF的形状是等腰三角形， ,FH是△ABE的中位线， 理由如下： .FH/AB.FH-AB. :PM∥AC, ,.∠PMN=∠EFO. ,四边形ABCD是平行四边形，，AB=CD PN∥BD, E是CD的中点BC=CD。 .∠OEF=∠FNP, 又：∠PMN=∠PNM, ,FH∥EC,FH=EC,.四边形FHCE是平行四边形， .∠EFO=∠OEF, .GE-GH-EH. ,.△OEF的形状是等腰三角形 BE=3,H是BE的中点， 2.证明：(1)，E,G分别是BC,CD的中点 .EG是△BDC的中位线，.EG∥BD, Bh=号GE=是 .∠CGE=∠BDC. IO.EF=HG.EF∥HG :∠BDC=∠ACD+∠CAD, 11.(2,2)或(-2,10) ∠CGE=∠ACD+∠CAD. (2)如图所示，连接FG,E,F,G分别是BC,AD,CD的 2022.3 三角形的中位线（答案P19) 通基础 EF=3,则BC的长为() A.11 B.12 C.12.5 D.14 知识点1三角形中位线的概念 1.如图所示，D,E分别是△ABC的边AB,AC的 中点，则图中是△ABC中位线的是() A.线段CD B.线段DE 第5题图 第6题图 C.线段BE D.以上都不是 6.如图所示，在△ABC中，D,E,F分别是BC, AC,AB的中点.若AC=5,四边形BDEF的 周长是10，则△ABC的周长是( A.15 B.10 C.12.5 D.17.5 第1题图 第2题图 7.如图所示，△ABC的中线BE,CF相交于点 2.如图所示，在△ABC中，线段DE是△ABC G,P,Q分别是BG,CG的中点 的中位线，则图中相等的线段有 对 (1)求证：四边形EFPQ是平行四边形. 知识点2三角形的中位线定理 (2)请写出BG与GE的数量关系，并说明 3.(2024·秦皇岛青龙期末)如图所示，每个小 理由 正方形的边长为1，在△ABC中，点D,E分 别为AB,AC的中点，则线段DE的长 为( A.5 C.5 D.V7 2 通能力》9n999999999 第3题图 第4题图 8.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,E, F,G分别为AD,BD,BC的中点.若 4.如图所示，在△ABC中，D是AB上一点， AD=AC,AE⊥CD,垂足为E,F是BC的中 ∠FEG=25°，∠ABD=20°，则∠BDC的度 点，若BD=12,则EF的长为( 数为( A.24 B.12 C.6 D.3 5.(2024·泰安泰山区期末)如图所示，在 △ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，点 F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=8, A.45 B.50 C.70 D.65 优学嫌说的温 9.(2024·保定涿州期末)如图所示，四边形 平行于第三边，并且等于第三边的一半 ABCD中，E,F分别是AB,CD边的中点， 已知：如图所示，在△ABC中，D,E分别是 G,H分别是对角线BD,AC的中点，若 AB,AC的中点.求证：DE∥BC且DE= EG=6,则线段FH的长是() A.3 B.4 C.6 D.12 nc. 【定理探究某数学小组有甲，乙、丙、丁四位 同学 甲同学思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长DE至点F,使EF=DE,连接CF 第9题图 第10题图 【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到 10.如图所示，在□ABCD中，∠C=45°，BC= 上图中，并根据他的思路证明三角形中位线 8,DC=4,E是AD边上任意一点，F是DC 性质定理， 边上任意一点，M,N分别为EF和BF的中 【合作交流】通过交流，乙、丙、丁三位同学又 点，则MN的长的最小值是 给出了三种不同的添加辅助线的方法： 11.(2024·北京海淀区期中)如图所示，在 乙：延长DE到点F使EF=DE,连接FC, △ABC中，点D,E分别是边AC,AB的中 DC.AF 点，点F在线段DE上，AF=5,BF=12, 丙：过点A作AH⊥DE,延长HD使DG= AB=13,BC=19,求DF的长度 HD,延长HE,使EF=HE,连接BG,CF. 丁：过点E作EG∥AB,交BC于点G,过点 A作BC的平行线交GE的延长线于点F, 则三位同学所作的辅助线能证明三角形中 位线性质定理的是 A.乙、丁 B.丙、丁 C.乙、丙 D.全正确 【定理应用】如图所示，C, B两地被池塘隔开，不能 直接测量它们之间的距 离.测量员在地面上选了点A和点D,使 AD∥BC,连接AB,DC,并分别找到AB和 0素养》9999992999539929999>8 DC的中点M,N.若测得AD=am,MN= bm,则C,B两地间的距离为 m. 12.模型观念◆数学课上大家 起研究三角形中位线性质定 理：三角形两边中点的连线 一八年级下能数学刀 93