19.4 综合与实践多边形的镶嵌-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

19.4 综合与实践 多边形的镶嵌(答案P26) #通基础 >>>>>>>>>>>>>>>>>→>>>>>> 7.用正十二边形、正六边形、正方形这三种多边 形结合在一起能否镶嵌地面?怎样镶嵌? 知识点多边形的镶嵌 1.在下列4种正多边形的瓷砖图案中,不能铺满 地面的是( ) ##2## ##7# B A C D 2.若用规格相同的正六边形地砖铺地板,则围绕 在一个顶点处的地砖的块数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 通能力 3. 元何直观如图所示,一个正方形水池的四周恰 8.用一批相同的正多边形地砖铺地,要求顶点聚 好被4个正n边形地板砖铺满,则n是( _ 在一起,且砖与砖之间不留空隙,这样的地砖 A.四 B.六 可以是( ) C.八 D.十 A.正五边形 #ln# B.正三角形、正方形、正五边形 正n边形正a边形 C.正三角形、正五边形、正六边形 正a边 D.正三角形、正方形、正六边形 第3题图 第4题图 9.用三种正多边形铺设地面,其中的两种是正方 4.我们知道,正五边形无法密铺平面,即便正五 形和正五边形,则第三种正多边形的边数可以 边形与正十边形组合,也只能密铺平面的某个 是( ) 局部,无法延伸至整个平面,如图所示,缝隙 A.12 C.18 B.15 D.20 之AOB的度数是( ) 10.如图所示是某广场用地板铺设的部分图案, A.30* B.25* C.32* D.36* 中央是一块正六边形的地板砖,周围是正三 5.用三种不同的正多边形地砖铺满地面,若其中 角形和正方形的地板砖,从里向外的第1层 有正三角形、正八边形,则另一个为正 包括6个正方形和6个正三角形,第2层包 边形. 括6个正方形和18个正三角形,依次递推; 6.如图所示,图中是三个完全相同的正多边形拼 第9层中包括正三角形( - 成的无缝隙、不重叠的图形的一部分,这种多 边形是正 边形. A.54个 B.102个 C.90个 D.114个 ·年级:下始·数学: 115 11.如图所示的地面由正五边形和正”边形两种 地砖镶嵌而成,则ABC的度数 为 15. 应用意识小明家准备装修厨房,打算铺设如 图①所示的正方形地砖,该地砖既是轴对称 图形也是中心对称图形,铺设效果如图②所 示.测量图①发现,砖面上四个小正方形的边 长都是4cm,AB=IN=2cm,中间的多边 12. 运算能力用边长相等的正三角形和正六边 形CDEFGHIK是正八边形 形铺满地面,一个顶点周围有块正三角 (1)求MA的长度. 形,n块正六边形,则n十n三 (2)求正八边形CDEFGHIK的面积 13.某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺 (3)已知小明家厨房的地面是边长为3.14m的 设,一个顶点处每种多边形只用一个,设这三 正方形,用该地砖铺设完毕后,最多形成多少 种正多边形的边数分别是x,y,.求 个正八边形?(地砖间缝隙的宽度忽略不计) 一的值. x 2 ① ② 14.如图所示,有一边长为8/2米的正方形大厅, 它是由黑自完全相同的正方形方砖密铺 而成. (1)图中黑白方砖共有 块. (2)求一块方砖的边长。 1116得DE=DG,AD=DC. 在Rt△AOB中，A0=√5-32=4， :∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， .AE=2AO=8. ∴∠CDG=∠ADE. 5.解：(1)在正方形ABCD中，∠BCD=90°， 在△ADE和△CDG中， ∠DBC=45°.：BE=BC,.∠BCE=∠BEC= (AD=CD, ∠ADE=∠CDG, 2180°-∠DBC)-67.5, DE-DG. ∴.∠DCE=∠DCB-∠BCE=90°-67.5°=22.5°. .△ADE≌△CDG(SAS), (2)如图所示，连接BP,作EF⊥BC于点F,则 ∴.AE=CG,∠DAE=∠DCG=45° ∠EFB=90°.∠EBF=45°， ,∠ACD=45°， ∴.△BEF是等腰直角三角形. ∴.∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°， BE=BC=1, .CE⊥CG, ∴.BF8+EF2-12, ∴.CE+CG=CE+AE=AC=√2AB=92. ,CG=3√2，.CE=62. BF-EF 2 连接EG,如图②所示， ,PM⊥BD,PN⊥BC, ∴.EG=√CE+CG=√72+18=3/10， S△BPE+S△BPC=S△BE, DE-号G=35. BE·PM+BCPN=BC.ER. 1 .正方形DEFG的边长为35」 BE-BC,.PM+PN-EF 2 专题七四边形中的计算与最值问题 6.B 1.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， 7.解：连接BP,如图所示. ∴.AD∥BC,ABCD,∴.∠DAF=∠AEB 又：AE平分∠BAD,.∠DAF=∠BAE, ∴∠AEB=∠BAE,∴.AB=BE=4,.EC= BC-BE=6-4=2. (2)∠EAD=50°，AE平分∠BAD .∠BAE=50°，∠BAD=100°.，AB∥CD, .∠D+∠BAD=180°，.∠D=180°-100°=80 :点B与D关于AC对称， 2.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ..PD=PB, ∴.AD∥BC,AD=BC,AB∥CD,CD=AB, .PD+PE=PB+PE.设BE交AC于点P' ∴.∠AEB=∠CBF,∠ABE=∠F=20°， 由两点之间线段最短可知，当点P在点P'处时， ,∠ABC的平分线交AD于点E, PD+PE有最小值，最小值为BE的长. ∴∠ABE=∠CBF,∠AEB=∠ABE=20°， ,正方形ABCD的面积为12， .∠A=180°-20°-20°-140. ∴.AB=I2=2W3(负值含去). (2),∠AEB=∠ABE,∴.AE=AB=5. 又△ABE是等边三角形， 又AD=BC=8,CD=AB=5, ∴DE=AD-AE=3.,CE⊥AD, ∴.BE=AB=23..PD十PE的最小值为25. ∴.CE=√CD2-DE=√5-32=4， 8.3+32 2 9.3 .□ABCD的面积为AD·CE=8×4=32. 3.解：，△DEF为等腰直角三角形， 19.4综合与实践 多边形的镶嵌 ∴.DE=EF,∠FEB+∠AED=90 1.C2.A3.C 又：∠AED+∠ADE=90°， 4.D5.二十四6.六 .∠FEB=∠ADE.又，四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠A=90°，∴.△ADE≌△BEF(AAS). 7.解：用公式n-2)·180 得正十二边形的内角是 ..AD=BE...AD+CD=AD+AB=AD+AD+ 150°，正六边形的内角是120°，正方形的内角是90°， 2=10.解得AD=4. 150°+120°+90°=360°， 4.解：(1)证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得 ∴用正十二边形、正六边形、正方形结合在一起能镶 AB=AF,∠BAE=∠FAE, 嵌地面 ,四边形ABCD是平行四边形， 用一个正十二边形、一个正六边形、一个正方形一起 .AD∥BC,.∠FAE=∠AEB, 镶嵌， .∠BAE=∠AEB, 8.D9.D10.B11.14412.4或5 .AB=BE,..BE=FA, 13.解：由题意，得一2)×180°+y-2)×180+ ,.四边形ABEF为平行四边形 y :AB=AF,.四边形ABEF为菱形 (x-20X180°=360， (2),四边形ABEF为菱形， AE⊥BF,B0-号FB=8,AE=2A0 1-2+1-2+1-2=2, y 26 是+号+是1…++日 .BQ=4+4=4√2(cm). y x y z 2 4√2≠16，∴.BQ≠DQ, 14.解：(1)32 故平行四边形PBQD不能为菱形，即不存在. (2)设一块方砖的边长为a米. (2)分类如下：当点P在AD上时，显然PQ>5,不 由题意，得32×a2=8√2×82， 符合题意，舍去： .a=2(负值舍去)， 当点P在AB上时，过点Q作QH⊥AB于点H, .一块方砖的边长为2米」 15.解：(1)连接BK和NC交于点O,如图所示. PH=√52-4=3(cm), ,四边形BCKN是正方形，M .∠NOB=90°， OB=ON..BN=4 cm, 由勾股定理，得BO=ON= (i)如图③所示，若P在Q左侧，则41一4十3 2√2cm. 20-2t, ,JN=2cm,∴.AM=JO= =号，符合题盘 (2+2√2)cm. (i)如图④所示，若P在Q右侧，则4t一4一3= (2)如图所示，作小正方形的对角线，组成正方形 ORZQ,则正方形的边长为(2√2+4+2√2)cm,即 20-24,4=号，符合题意 为(4√2+4)cm, 当P在BC上时，6s≤t≤7s,则CQ≥12cm, 所以正八边形CDEFGHIK的面积为 :5<12≤CQ≤PQ,.不符合题意，舍去. S正方形0QzR一4S△0c 当P在CD上时， =(42+4)2-4X2×22×22 :0≤t≤10，即t=10时，Q到终点D停止， 而此时P距终点D为48-4×10=8(cm), =(32+32√/2)cm2. .点P始终不能追上点Q,若PQ=5cm,则CQ一 (3)正方形地砖的边长为2×(2+2√2)十(4√2+ CP=5 cm, .2t-(4t-28)=5,解得t=11.5>10,不符合题 4)=(8+8√2)(cm).:3.14m=314cm, 意，舍去， .3142÷(8+8√2)2≈264（块）. ,162<264,∴.(2×16-1)2+(2×16-1)×2+ 综上所述，当：=号或号时，PQ=5em 1=1024(个). 【通模拟】 答：用该地砖铺设完毕后，最多形成1024个正八 1.B2.D3.D4.B5.A6.D7.B8.36 边形. 9.90√210.123 本章综合提升 11.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， 【本章知识归纳】 ∴.AD∥BC,∴.∠DAE=∠FGA. 分别平行分别相等平行且相等互相平分 半 ,∠FAE=∠DAE,.∠FGA=∠FAE, 360°相等直角 垂直且平分一半平行四边形 ..FA=FG. 【思想方法归纳】 ,点E为CD的中点，DE=CE 【例1】 60 由题意可得∠ADE=∠GCE=90°， 13 在△ADE和△GCE中， 【变式训练1】 3√65a I∠DAE=∠EGC, 13 ∠ADE=∠GCE, DE-CE. 【例2】√34 【变式训练2】10 .△ADE≌△GCE(AAS),.AD=CG, 【例3】D 同理：△DEH≌△CEF,.DH=CF, 【变式训练3】解：(1)①如图①所 .AH=AD+DH,GF=CG+CF,..AH=FG. 示.四边形APQD为矩形， ,AH∥FG,.四边形AFGH为平行四边形. ∴AP=DQ. FA=FG,∴.四边形AFGH为菱形. 又，AP=(4t-4)cm,DQ= (2)设AB=AD=CD=x, (20-2t)cm, 由(1)知FC=DH=1, .AF=AH=AD+DH=x+1.BF=BC-FC= ∴.4t-4=202t, 解得t=4,即当t=4时，四边形APQD为矩形， x-1, ②不存在 Q 在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AF2=AB十 理由如下：如图②所示，若四边 BF2,.(x+1)2=x2+(x-1)2, 形PBQD为平行四边形，则 解得x=4,x=0(舍去)， 2 ∴.AF=FG=x+1=5, PB=QD. ∴.20-(4t-4)=20一2t,解得t=2, .菱形AFGH的面积为FG·DC=5X4=20. 而当t=2时，DQ=20-2t=16cm,CQ=2t= 【通中考】 12.C 4 cm, 13.45 27