综合与实践 哪条路径最短-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（青岛版）

8.C9.80 即最短路径为FG十AF十BG,DD',EE'即为两座 10.解：(1)证明：由题意得∠BDF=60°，BD=DF, 桥的位置. ∴.△BDF是等边三角形，.∠DBF=∠ABE=60°， ∴.∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF, .∠ABD=∠EBF BD=BF. 在△BDA和△BFE中，∠ABD=∠EBF, 6.100+505 AB=EB. 7.解：(1)如图所示，△A'BO即为所求。 ∴.△BDA≌△BFE(SAS). (2)①7 ②证明：由(1)得△BDF为等边三角形， 即∠BFD=60 ,C,D,F,E共线时，CD十DF+FE最小， ∴.∠BFE=120. ,△BDA2△BFE,.∠BDA=120°， .∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60， (3,8) ∴.∠ADF=∠BFD,∴.AD∥BF. (3)∠MPN的大小是定值： 22 如图所示，连接MN. 8.解：(1)= M,N,P分别是DF,AF,AE (2)木木的方法正确，理由如下：由平移性质知 的中点， BD=EC,亮亮的方法，从A到B的路程为AC+ CD+BD=AC十EC+CD.木木的方法，从A到B G.MN/AD.MN-Z4D. 的路程为AE+BE=AE+CD,,AE<AC十CE, PN/EF.PN-EF. ∴.AE+CD<AC+EC十CD,∴木木的方法正确. (3)如图所示，①作AD⊥1：交11，l2于C,D两点. △BDA≌△BFE,AD=EF,∴NP=MN. ②把CD平移至BE,连接AE,交I,于点F. ,AB=BE且∠ABE=60°， ③作FG⊥l,于点G.在FG处建桥，使从村庄A经 .△ABE为等边三角形. 桥过河到村庄B的路程最短.理由：由作图FG∥ 设∠BEF=∠BAD=a,∠PAN=B, BE,FG=BE,GF可以看作BE平移的结果， 则∠AEF=∠APN=60°-a,∠EAD=60°+a, .BG=EF.若设另在HI处架桥，同理可得EH ∴.∠PNF=60°-a+3,∠FNM=∠FAD=60°+ BI,BI+HI+HA=EH+HI+HA>EA+ a-3. GF,.在FG处建桥，使从村庄A经桥过河到村庄 .∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-a+B+ B的路程最短 1 60°+&-B=120°，÷∠MPN=2(180° ∠PNM)=30°. 综合与实践哪条路径最短 1.A2.1003.164./13 限时训练 5.解：如图所示，作法如下： 6.1第1课时平行四边形的性质 (I)过点A作AF垂直于河岸，AF等于河宽：过点 定理1,2(1) B作BG垂直于河岸，则AF=BG=河宽，即相当于1.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 将桥平移到AF,BG位置. .DC=AB,DC∥AB.∴.∠DCE=∠F. (2)连接GF,分别与河岸相交于点E',D' E为AD的中点，DE=AE. (3)过点D'作D'D垂直于河岸于点D,过点E'作 ∠DCE=∠F, EE垂直于河岸于点E,由作图可知AD十DD'十 在△DEC和△AEF中，∠DEC=∠AEF, D'E'+EE'+BE=AF+FD'+D'E'+GE'+BG. DE=AE. 34综合与实践 哪条路径最短(答案P34) #通基础 盖正方体铁盒(不计铁皮厚度),有一只蚂蚁在 铁盒上爬行,已知蚂蚁从点C出发,沿着外壁面 1.如图所示,直线,/。表示一条河的两岸,目 正方形ABDC爬行,爬到边AB上再在边AB上 7/。,现要在这条河上建一座桥(桥与河的两 爬行3cm:最后再沿着内壁正方形ABDC爬行 岸相互垂直),使得从村庄A经桥过河到村庄 最终到达内壁的中点P,蚂蚁所走的最短路程 B 的路程最短,现两位同学提供了两种设计方 是 cm. 案,下列说法正确的是( ) #.# 方案一 方案二 4.如图所示,点P是等边三角形ABC的边BC ①将点A向上 .B ①连接AB交/ 的中点,点M是△ABC内一点,且PM一2,连 平移d得到A'; 于点M; 接AM,线段AM绕点A逆时针旋转60*得到 ②连接BA'交/。 ②过点M作 线段AN,连接NC,若AB-6.当CN的长是 A 于点M: MN1/.交/。 时,AV最短. ③过点M作 于点N.MN即 MN1.交/。 桥的位置. 于点N,MN即 桥的位置. A.唯方案一可行 5.如图所示,某护城河在CC处直角转弯,河宽 B.唯方案二可行 均为5m,A,B到外河岸的距离都为5m,从 C.方案一、二均可行 A处到达B处,需经两座桥DD,EE'(桥宽不 D.方案一、二均不可行 计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向 2.如图所示,园区入口A到河的距离AE为 的,如何架桥可使从A处到B处所走的路程 100米,园区出口B到河边的距离BF为200 最短? 来,河流经过园区的长度EF为400来,现策 划要在河上建一条直径CD为100米的半圆 形观赏步道(C在D左侧),游览路线定为 A-C-D-B,则步道入口C应建在距离E 米处,才能使游览路线最短 口 园区 3.数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这 样一个问题;如图所示,一个校长为8cm的无 一八年级:下航·数学:0D 通能力 8.图①表示一条两岸彼此平行的河,直线/,/ 表示河的两岸,且//。,现要在这条河上建一 6.如图所示,线段BC为一个通信公司,该公司 座桥(桥与河岸垂直),“桥”用线段表示 与两个通信点A,D恰好围成一个正方形 ABCD,公司BC长度为100米,公司准备在正 方形ABCD内建设一个通信中转站点P,在通 ① ② 信公司的BC边上架设一个通讯中心点Q,在 (1)如图①所示,在河岸C,E两点建两座桥 通信中转站点P到两个通信点A,D和通讯中 CD,EF,则CD 和 EF 的大小为 心点Q之间铺设通信光缆,则铺设光缆的最短 CD EF. 长度为 米. (2)如图②所示,现要在这条河上建一座桥,析 建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸 B的路程最短? 亮亮的方法是:作AD11。交/,1。于C,D两 点,在CD处建桥能使从游乐场A经过桥到河 7.(2024·天津西青区期末)如图所示,在平面直 对岸B的路程最短. 角坐标系中,点O是原点,点A(5,0),点B(0 木木的方法是:作AD)/。交1,/。于C,D两 3).把△ABO绕点B逆时针旋转90^{},点A,点 点,把线段CD平移至BE,在BE处建桥能使 0旋转后的对应点分别是点A',点0 从游乐场经过桥到河对岸B的路程最短,你认 (1)画出旋转后的△ABO,其中点A'的坐 为谁的方法正确?并说明理由. 标为 (3)如图③所示,现要在这条河上建一座桥,桥 (2)边OA上一点P旋转后对应点为点P',当 建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B OP十BP'取得最小值时,点P的坐 的路程最短?画出示意图,并用平移的原理说 标为 明理由. 138