第11章 图形的变换（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

第11章：图形的变换 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，将 先向左平移个单位，再绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是(    )    A． B． C． D． 4．如图，将沿方向平移得到．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（    ） A． B． C． D． 6．已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 7．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 9．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．如图，在平行四边形中，设，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角 ．（用含有的代数式表示） 12．在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为 ． 13．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点A恰好落在边上点F处，将沿射线方向平移得到（点，，分别与点D，E，F对应）．当点落在上时，则的长为 ． 14．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，则点的坐标是 ． 15．如图，在等边中，D是边AC上一动点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接ED，若，则的周长的最小值是 ． 3． 解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）如图，在中，为上一动点，与关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形． 17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△ ，位置如图所示 (1)分别写出点A，A'的坐标：A___________， __________ (2)若点M（m，4-n）是△ABC内部一点，则平移后对应点M的坐标为(2m-8，n-4)，求m和n的值 18．（8分）如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 19．（8分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 20．（8分）综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 21．（9分）在中，． (1)，，． ①如图1，若点P是内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 22．（13分）已知是等腰三角形． (1)如图1，若，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)如图2，若为等边三角形，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，的平分线交于点，连接． ①求的度数； ②试探究线段之间的数量关系，并证明． 23．（13分）【问题情境】已知四边形和四边形均为正方形，连接，，直线与交于点.如图1，当点在上时，不难得出线段，. 【类比探究】如图2，将正方形绕点旋转任意角度. (1)请你判断图1中得到的线段和的关系是否仍然成立，并说明理由； (2)当点在直线左侧时，连接，存在实数满足等式，请求出的值并说明理由； (3)若，，正方形在绕点旋转过程中，当点，重合时，请直接写出线段的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章：图形的变换 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； D是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2．如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】 解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 3．如图，已知，，，将 先向左平移个单位，再绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平移的性质求出平移后点的坐标，再利用旋转的性质求出点关于原点对称的点的坐标即可． 【详解】解：， 将先向左平移个单位后点坐标为， 点关于原点对称的点， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转180°的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数． 4．如图，将沿方向平移得到．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等．根据平移的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到．， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转性质，得到是旋转角是解答的关键．根据旋转性质得旋转角为可求解． 【详解】解：绕点A按顺时针方向旋转后与重合， ． 故选：D． 6．已知点与点关于原点对称，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点为对称的点的坐标及各象限点的坐标特点：第一象限的点满足横、纵坐标，第二象限的点满足横、纵坐标，第三象限的点满足横、纵坐标，第四象限的点满足横、纵坐标，关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，熟知这一规律是正确解决本题的关键． 由点与点关于原点对称，可求得a、b的值，即可知点P在第几象限． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 则点在第三象限， 故答案为：C． 7．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 故选：． 8．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题考查用数学知识解决问题，理解旋转定义、平移定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移现象，原说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：边长为2的等边三角形在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， 与点关于轴对称， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 与点关于原点对称， ． 再将绕点顺时针旋转，得到 此时点落在轴的负半轴上， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在轴的正半轴上， ． 以此类推，则，， 与点重合， 对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环， 与的坐标相同， ∴则点的坐标是． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．如图，在平行四边形中，设，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】由旋转的性质可知：平行四边形全等于平行四边形，得出，由等腰三角形的性质得出，由旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形． 12．在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为，即， 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点A恰好落在边上点F处，将沿射线方向平移得到（点，，分别与点D，E，F对应）．当点落在上时，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意画出图形，由折叠得，，勾股定理求出，进而得到，然后由平移可得，，，，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∵在矩形中，，， ∴，， 由折叠得， ∴ ∴ 由平移可得，，， ∵ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，等角对等边，平移的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减得到点，再根据轴上的点横坐标为0可得，算出的值，可得点的坐标． 【详解】解：点向左平移1个单位长度得到点，则， 即， 点在轴上， ， 解得：， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 15．如图，在等边中，D是边AC上一动点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接ED，若，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】作于F，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由旋转的性质及等边三角形的判定和性质得出，再由周长得出当最小，三角形的周长最小求解即可． 【详解】解：如图，作于F， ∵是等边三角形，， ∴， 在中， ， ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 当最小，即时， 的周长最小，最小值为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，周长最短问题及旋转的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 3． 解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）如图，在中，为上一动点，与关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握中心对称图形的性质及平行四边形的判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求证 【详解】证明：∵与关于点中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 17．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△ ，位置如图所示 (1)分别写出点A，A'的坐标：A___________， __________ (2)若点M（m，4-n）是△ABC内部一点，则平移后对应点M的坐标为(2m-8，n-4)，求m和n的值 【答案】(1)A（1，0），（-4，4） (2)， 【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； 【详解】（1）由图知A（1，0），（-4，4） （2）△ABC内M（m，4-n）平移后对应点M'的坐标为 ∵M'的坐标为（2m-8，n-4） ∴， ∴， 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 18．（8分）如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． （1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由平移得，； （2）解：由平移得，， ，， ， ． 19．（8分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 20．（8分）综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程． 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质， 对于（1），根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质得，进而得出，然后说明； 对于（2），先说明四边形是正方形，可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴． 根据旋转的性质得， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 21．（9分）在中，． (1)，，． ①如图1，若点P是内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 【答案】(1)①②7 (2) 【分析】对于（1），先说明是等边三角形，将绕点B顺时针旋转得到，连接，可得是等边三角形，即可得，再根据旋转的性质说明是直角三角形，得，然后根据得出答案；②，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，先证明，可得，接下来说明，再求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 对于（2），将绕点B逆时针旋转得到，作，先说明，进而得出是等边三角形，结合，得，再根据两点之间线段最短可知的值最小值为的长，然后分别求出，进而得，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①在中，， ∴是等边三角形． 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转的性质得． ∵， ∴是直角三角形，， ∴； ②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H， ∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长． 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 根据勾股定理，得． 的最小值是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（13分）已知是等腰三角形． (1)如图1，若，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)如图2，若为等边三角形，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，的平分线交于点，连接． ①求的度数； ②试探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，，，由即可得证； （2）①在上截取，由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，由判定，由全等三角形的性质得，即可求解； ②由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解； 【详解】（1）证明：，均是顶角相等的等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ； （2）解：①如图，在上截取，连接 为等边三角形， ， ， 线段绕点逆时针旋转90°， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ②，理由如下： 如图， 由①得： ， 在和中 ， ， ， ； 故：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出适当的辅助线，构建是解题的关键． 23．（13分）【问题情境】已知四边形和四边形均为正方形，连接，，直线与交于点.如图1，当点在上时，不难得出线段，. 【类比探究】如图2，将正方形绕点旋转任意角度. (1)请你判断图1中得到的线段和的关系是否仍然成立，并说明理由； (2)当点在直线左侧时，连接，存在实数满足等式，请求出的值并说明理由； (3)若，，正方形在绕点旋转过程中，当点，重合时，请直接写出线段的长. 【答案】(1)图1中得到的线段和的关系仍然成立，理由见解析 (2),理由见解析 (3)或． 【分析】（1）设交于O，证明，得到，由，得到，则，即可证明结论； （2）在BE上取 ，使得，连接AN、AH，证明，可得 求出，则 是等腰直角三角形，，则，根据存在实数m满足，即可得； （3）分两种情况画图，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）图1中得到的线段和的关系仍然成立，理由如下： 设交于O， 四边形和四边形是正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ∴； （2）． 理由如下：在上取N,使得,连接， 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， 即， 是等腰直角三角形， ， ， 存在实数m满足，即； （3）分两种情况： ①如图： ∵，，四边形与四边形是正方形， ， ， 直线与交于点H，且点F、H重合， 点B、E、F在同一直线上， ， ， ， ， ②如图： ，四边形 与四边形是正方形， 直线与交于点H，且点F、H重合， 点B、E、F在同一直线上， ， ， ， ， 则或． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$