17.3 一元二次方程根的判别式-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

17.3 一元二次方程根的判别式(答案P9) 通基础 知识而3利用根的判别式确定字母的值或取 值范围 知短三1-一元二次方程根的判别式的概念 6. 抽象能力若关于x的一元二次方程x^*+ 1.(2024·烟台期末)用公式法解方程:③x^②十 (m十2)x一0有两个相等的实数根,则实数” 4$2x-23,其中判别式62-4ac的 的值为( ) 值是( A.2 ) B.-2 C.4 A.56 B.16 D.8 C.-2或2 D.-1或3 2.已知方程x②十bx-1-0的根的判别式的值 7.若关于x的一元二次方程ax}+2x十1-0有 为5,则-__. 两个不相等的实数根,则a的取值范围 是( 短识2利用根的判别式判断一元二次方程 ) A.a<1 根的情况 B.a<1 C.a≠0 3.(2024·阜阳月考)关于x的一元二次方程 D.a<1且a0 2xr*+bx-1=0的根的情况是( ) 8.已知关于x的一元二次方程(-1)x^*+$ 2x-1一0有解,则的取值范围是( A.实数根的个数由5的值确定 ) A.b>0 B.有两个不相等的实数根 B.^<2 C.<2且去1 C.有两个相等的实数根 D.b>0且b1 D.没有实数根 9.若关于x的一元二次方程x{}-2x-b-0没$ 4.(2024·阜阳阜南期末)若正比例函数y=kx 有实数根,则的取值范围是 的图象过第二、四象限,则关于x的一元二次 10.已知关于x的方程(m-1)x^{}十x十1=0有 方程x一x十一0的根的情况是( ) 实数根,求n的取值范围 A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能确定 5.不解方程,判断下列方程的根的情况 (1)5x*+x-7; (2)25x2+20x+4-0; (3)(x+1)(4x+1)-2x. 通能力 17.(2024·济宁汶上二模)已知关于x的一元二 次方程(m十1)x②+2mx+m-3=0有两个 11.已知关于x的一元二次方程x^}十2x十n 不相等的实数根 2-0有两个实数根,n为正整数,且该方程 (1)求m的取值范围. 的根都是整数,则符合条件的所有正整数” (2)当n取满足条件的最小奇数时,求方程 的和为( ) 的根. A.6 B.5 C.4 D.3 不相等的实数根,则满足条件的最小整数a 的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 13.若。,b,c分别是△ABC的三边长,则关于x 18.关于x的一元二次方程x一(n十3)x+ n十2-0. ) 是( (1)求证:方程总有两个实数根 A.无实数根 (2)若方程的两个实数根都是正整数,求。 B.有两个相等的实数根 的最小值. C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 14.小刚在解关于x的方程ax*十bx十c=0 (a去0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中 个根是x三一1.他核对时发现所抄的c比原 方程的c值小2.则原方程的根的情况 是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x二-1 D.有两个相等的实数根 15.若关于x的一元二次方程a*x*十(2a- 1)x十1一0有两个实数根,则a的取值范围 是 个相等的实数根,则点P(a一2,二a十3)在 第 象限. 40 19.应用意识已知a,b,c为三角形的三边长,求 21.已知关于x的方程x*-(十2)x十2^=0 证:方程a^{x2}-(a^{②}+c^{②}-^{})x十c^{-0没有$ (1)求证:无论为何值,方程总有实数根。 实数根. (2)若等腰三角形一腰长为5,另外两边长度 为该方程的两根,求等腰三角形的周长。 20.若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+ 22.已知关于x的一元二次方程x2一(十1)x十 m一2有实数根 2-2-0. (1)求n的取值范围 (1)求证:此方程总有两个实数根. (2)如果n是符合条件的最小整数,且一元 (2)求此方程的两个根(若所求方程的根不是 二次方程(页十1)x2十x十k一3=0与方程 常数,就用含的式子表示) (m-1)x?-2mx十m=2有一个相同的根 (3)如果此方程的根刚好是某个等边三角形 求此时的值 的边长,求的值解得x=一1+，x:=一1一2、 17.3一元二次方程根的判别式 1.A2.±13.B4.C (4)x-6x一9=0，移项，得x”一6x=9 5.解：(1)原方程化为一般形式5x+x一7=0， 配方，得x2-6.x+9=9十9， :△=12-4×5×(-7)=141>0， 即(x-3)2=18,x-3=±3W2, 方程有两个不相等的实数根， 解得x1=3+3W2,x2=3-32. (2),△=20-4×25×4=0， 6.C7.x1=1,x:=8 .方程有两个相等的实数根. 8.解：(1)x2+5.x十6=0， (3)原方程化为一般形式4.x2+3.x+1=0, 分解因式，得(x十2)(x十3)=0， :△=32-4×4×1=-7<0， 解得x1=一2，x=一3. ,方程没有实数根. (2)(x-2)(2x-3)=2(x一2)， 6.B7.D8.D9.k<-1 移项，得(x-2)(2x-3)-2(x-2)=0, 10.解：当m一1=0，即m=1时， 因式分解，得(x-2)(2x-3-2)=0, 方程变形为x十1=0，解得x=一1： ∴.x-2=0或2x-3-2=0, 当n-1≠0且△=1一4(m-1)≥0时， 5 解得x1=2,￥=2 (3)(y+2)2=(2y+1)2, 方程有两个实数根，解得m<且加≠1， 移项，得(y十2)2一(2y十1)2=0， 所以m的取值范围为m≤4 ∴.(y+2+2y+1)(y+2-2y-1)=0, ∴.3y+3=0或-y+1=0, 11.B12.D13.C14.A 解得y1=一1，y:=1. 15.a≤且a≠016三 (4)3x-13.x十14=0. 因式分解，得(x-2)(3.x一7)=0， 17.解：(1)，关于x的一元二次方程(m十1)x2十 2m.x十m一3=0有两个不相等的实数根， r-2=0或3x-7=0,解得x1=2x:-3 ..m十1≠0且△>0. 9B10.A1L.x=-1±V图 ,△=(2m)2-4(m十1)(m-3)=4(2m十3)， 3 6 .2m+3>0.解得m>一 12.解：(1)a=2,b=-7,c=3, b2-4ac=(-7)-4×2×3=25>0, ∴.m的取值范围是m>一 代人求根公式，得x=7±2西_7±5 且m≠-1 2×2 4 3 (2)在m> 且m≠-1的范围内，最小奇数m 1 六x1=2=3. 为1. (2)a=1,b=3,c=1, 此时，方程化为x十x一1=0. b2-4ac=3-4×1×1=5>0, ,△=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5, 代人求根公式，得x=一3±5 = -1±5-1±√/5 2 2×1 2· x1= 2x,=3-6 -3+5 2 六方程的根为x,=二1十6 2 w,=15 2 13.解：(1).x2-10.x+25=9, 18.解：(1)证明：依题意，得 配方，得(x一5)2=9. △=[-(m十3)]2-4(m十2)=m2十6m十9 即x一5=士3，x1=8,x4=2. 4m-8=(m+1)2.(m+1)≥0，∴.△>≥0. (2)4(3x-1)2-9(3x+1)=0, 方程总有两个实数根 [2(3x-1)+3(3.x+1)][2(3x-1) (2)解方程，得x1=1,x2=m十2. 3(3x+1)]=0,15x十1=0或-3x一5=0， ,“方程的两个实数根都是正整数， 1 5 六x=一62=一3 .m十2≥1..m≥-1.∴.m的最小值为一1. 19.证明：，a,b,c为三角形的三边长，∴a”≠0. (3)3x2-4x-1=0,a=3,b=-4,c=-1. ∴.△=[-(a2+e2-b2)]2-4a2c2 b3-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=16+12= =(a2+c*-b2+2ac)(a*+c2-b2-2ac) 28>0, =[(a+c)2-b2][(a-c)2-b2] 代人求根公式，得r=一（一4)士√282士7 3, =(a+c+b)(a+c-b)(a-c+b)(a-c-b). 2×3 又三角形任意两边之和大于第三边， 2+72-√7 a+b+c>0,a+c-b>0,a-c+b>0,a-c- 3: 3 b<0. (4)2x2+3.x+1=0, ∴.(a+b+c)(a+c-b)(a-c+b)(a-c-b)<0. 因式分解，得(2x+1)(x+1)=0, △<0.原方程没有实数根 即2x十1=0或x十1=0x1=-2x:=-1 20.解：(1)化为一般形式，得 (m一1）x一2mx十m一2=0， 9 m-1≠0， 1L.解：(1)，关于x的一元二次方程x”一(2m-1).x十 △=(2m)2-4(m-1)(m-2)≥0， m=0有实数根， .△=b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×m2≥0，解 解得m≥号且m≠1 1 2 得m≤4 (2)由(1D得m≥且m≠1，又m是符合条件的最 (2)关于x的一元二次方程x°一(2n一1)x十 小整数，∴.m=2. m=0的两个根分别为x1,x:, 将m=2代人(m-1)x2-2m.x+m=2,得 ,x:十xe=2m一1，x1r2=m. x2一4.x=0,解得x1=0,x:=4. x1十xe=2-x1x:,即2m-1=2-m, ,(k+1)x2十x+k-3=0与(m-1).x2-2mx十m=2 整理，得m2+2m一3=0， 有一个相同的根， ∴.(m十3)(m一1)=0， .当x=0时，此时k一3=0，k=3: 解得m1=一3，n2=1(不合题意，舍去). 当x=4时，16(k+1)+4+k-3=0, 故m的值为一3. k=一1.又：k十1≠0，.k=一1舍去， 12.B13.C14.B15.-2,316.1 综上所述，k的值是3. 17.解：(1)证明：在关于x的一元二次方程x” 21解：(1)证明：△=[一(k+2)]一4×2k=(k一2)2 (m十2)x十m=0中，a=1,b=-(m十2)，c=m, 所以△=m2+4m十4一4m=m2十4>0， (k一2)≥0，即△≥0， 所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实 无论k为何值，方程总有实数根 数根. (2)等腰三角形一腰长为5， (2)因为a和b是这个一元二次方程的两个根， ∴.另外一腰长为5， 所以a十b=-[-(m+2)]=m+2,ab=m, ∴.方程：x2一(k十2)x+2k=0的其中一个根为5 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(m+2)2-2m=m2+ ,,25一5(k十2)十2k=0,解得k=5, 2m+4=(m+1)2+3. ,.方程为x2一(5十2)x十2×5=0， 因为无论m为何值，(m十1)≥0， .(x-5)(x一2)=0，解得r1=5,x2=2, 所以a2+b2的最小值为3. 故△ABC的周长为5+5十2=12. 18.解：(1)8 22.解：(1)证明：依题意，得 (2)由一元二次方程nx2-(21+m)x+2m=0,得 △=[-(k+1)]2-4×1×(2k-2) =k+2k+1-8k+8 (x-m)(x-2)=0,x="或x=2. n =k2-6k十9 :一元二次方程nx-(2n十m)x十2m=0(n≠0) =(k-3)2≥0， 是“倍根方程”，”=4或”=1. ,此方程总有两个实数根 (2)将方程左边因式分解，得(x一2)[x一(k一1)门=0， 4十n5 即x-2=0或x-(k一1)=0， 当=4时m=4n,心2m-12X4n—7分， 解得x1=2,x2=k-1. 当=1时，m=n, ,m十=n十=2. (3)此方程的根刚好是某个等边三角形的边长， 71 2m-n 2n-n .k-1=2,∴.k=3. 17.4一元二次方程的根 综上所述，%的值为或2 与系数的关系 17.5一元二次方程的应用 1.A2.B3.D4.D 第1课时图形面积问题 5.解：由题意，得x1十x2=一3，t1x2=一1. 1.B (1)x1+x=（x1+x:)2-2.x1x:=(-3)2- 2.解：(1)设AB=xm,则BC=(38-2.x)m. 2×(-1)=9+2=11. 根据题意，得x(38一2x)=180. (2)1+1=十=-3 解得x1=10,.x2=9. T1 T:12 -1 3 当x=10,38-2x=18,符合题意. 6.D7.B8.B9.A 当x=9,38一2x=20,因为墙长19m,不合题意，所 10.解：(1)：关于x的一元二次方程x2十 以x=10,38一2.x=18. 2(m+1)x+m2一1=0有实数根，∴.△=[2(m+ 答：若围成的面积为180m2,自行车车棚的长和宽 1)]2-4(m2-1)=8m+8≥0， 分别为18m,10m. 解得m≥一1， (2)不能围成面积为200m”的自行车车棚.理由如 当方程有实数根时，实数m的取值范围为 下：根据题意，得x(38-2x)=200, 整理，得x一19x十100=0. m≥一1. (2)方程两实数根分别为x12 △=b2-4ac=361-400=-39<0, 故此方程没有实数根. ∴x1+x2=-2(m十1)，x1x:=m3-1. 因此不能围成面积为200m的自行车车棚. :x十x2=(x1+x:)-2.x1x2=16+x1x, 3.A .[-2(m+1)Y-2(m2-1)=16+(m2-1). 4.解：设扩充后广场的长为3x米，宽为2x米 整理，得m2十8m一9=0，解得m1=一9，m2=1. 依题意.得3x·2.x·100+30(3x·2.x-50×40)= 又，m≥一1，.实数m的值为1. 642000. 10