17.3 一元二次方程根的判别式 同步练习 2024-2025学年 沪科版八年级数学下册

17.3 一元二次方程根的判别式 同步练习 　班级__________姓名____________总分___________ 本节应掌握和应用的知识点 一元二次方程根的判别式 (１)定义对于一元二次方程ax２ ＋bx＋c＝０(a≠０)的根的情况由b２ －４ac 来确定,把b２－４ac叫做一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的根的判别式,通常用符号Δ来表示,即 Δ＝b２－４ac ． (２)应用①当Δ＞０时,方程有 两个不相等的实数根;②当Δ＝０时,方程有两个相等的实数根;③当Δ＜０时,方程没有实数根． (３)逆应用 ①当方程有 两个不相等 的实数根时,Δ＞０;②当方程有两个相等的实数根时,Δ＝０;③当方程没有实数根时,Δ＜０． 基础知识和能力拓展精练 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A. 两个实根和为5 B. 两个实根之积为7 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 2．关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 4．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5． y=x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 6．关于x的方程mx2﹣4x﹣m+5=0，有以下说法：①当m=0时，方程只有一个实数根；②当m=1时，方程有两个相等的实数根；③当m=﹣1时，方程没有实数根．则其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7．下列方程中，无实数根的是（ ） A. x2=4 B. x2=2 C. 4x2+25=0 D. 4x2-25=0 8．关于的方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值是（　　） A. B. C. ﹣ D. ﹣ 10．关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则m的范围是（   ）. A. B. C. 且 D. 且 二、填空题 11．方程x2-4x+4=0的根的情况是__________________. 12．等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为__________ 13．若关于x的一元二次方程kx2-x-3=0有实数根，则k的取值范围为____________. 14．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 15．若关于x的方程有两个相等实根，则代数式的值为________． 16．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC是 ____三角形． 三、解答题 17．不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）x2+2x﹣2=0． （2）4x2﹣x+4=0． 18．若关于x的一元二次方程没有实数解，求的解集（用含的式子表示）． 19．已知关于x的方程(k－2)x2－(k－2)x＋＝0有两个相等的实数根．求k的值． 20．已知关于x的方程3x2－(a－3)x－a＝0(a>0)． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0． （1）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根； （2）对于任意的实数k，判断原方程根的情况，并说明理由． 22．已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为三边的长. (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由. (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由. (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 参考答案 1．D 【解析】∵a=1，b=-5，c=7， ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0， ∴方程没有实数根， 故选D. 2．C 【解析】试题解析：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0的两根为y1、y2． ①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2， ∵y1、y2均为负整数， 不妨设y1=-3，y2=-5 ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=7，不在-1与1之间。 故-1≤2m-2n≤1错误． 综上所述：成立的结论有①②． 故选C． 3．C 【解析】试题分析：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，解得x=； 当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1． 故选C． 考点：根的判别式． 4．B 【解析】试题分析：已知点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0， 所以ac＜0， 即可判定△=b2﹣4ac＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选B． 考点：根的判别式；点的坐标． 5．A 【解析】∵y=x+1是关于x的一次函数, ， ∴. ∴. ∴方程没有实数根； 故选A. 6．A 【解析】当m=0时，x=，方程只有一个解，①正确； 当m＝1时，方程为：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×1×4=0，方程有两个相等的实数根，②正确； 当x=-1时，方程为：-x2-4x+6=0，△=(-4)2-4×(-1)×6>0，方程有两个不相等的实数根，③错误， 故选A. 7．C 【解析】解：A． x2=4，x=±2，∴方程有两个不相等的实数根； B． x2=2，x=，∴方程有两个不相等的实数根； C． 4x2+25=0 ，△=02-4×25=－100＜0，∴方程没有实数根； D． 4x2-25=0，△=02-4×（－25）=100＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 故选C． 8．A 【解析】∵关于x的方程（1-m）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根， ∴1-m≠0，且△＞0，即4+4（1-m）＞0，解得m＜2， ∴m的取值范围是：m＜2且m≠1， ∴整数的最大值是0， 故选A. 9．B 【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=（﹣3）2﹣4×4m=9﹣16m=0，解得：m=， 故选B． 10．C 【解析】试题解析：根据题意列出方程组 ， 解之得m＞且m≠2． 故选C． 11．有两个相等的实数根 【解析】Δ=b2－4ac=（－4）2－4×1×4=0，所以方程有两个相等的实数根. 点睛：一元二次方程解的情况： （1）b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数根； （2）b2－4ac=0，方程有两个相等的实数根； （3）b2－4ac＜0，方程没有实数根. 12．10 【解析】试题解析：当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去； 当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10， 所以n为10． 点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 13．k>且k≠0 【解析】∵关于x的一元二次方程kx2−x−3=0有实数根， ∴， 解得：k⩾−且k≠0. 故答案为：k⩾−且k≠0. 14．c＜1. 【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论． ∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0， 解得：c＜1． 故答案为c＜1． 考点：根的判别式. 15．1 【解析】试题分析：∵关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根， ∴△＝(－m)2－4m＝m2－4m＝0， ∴2m2－8m＋1＝2(m2－4m)＋1＝1． 故答案为：1． 点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 16．直角 【解析】∵方程由两个相等的实数根，∴Δ=b2－4ac=0，∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形. 故答案为直角. 点睛：一元二次方程根的情况： （1）若b2－4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根； （2）若b2－4ac=0，则方程有两个相等的实数根； （3）若b2－4ac＜0，则方程没有实数根. 注：若一元二次方程有实数根，则b2－4ac≥0. 17．(1) 有两个不相等的实数根；（2）方程没有实数根． 【解析】试题分析：分别计算根的判别式，利用根的判别式的符号进行判断即可． 试题解析：（1）∵△=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵△=（﹣1）2﹣4×4×4=﹣63＜0， ∴方程没有实数根． 18． 【解析】试题分析：方程没有实数根，则建立关于的不等式，可以求出的取值范围，再解不等式即可. 试题解析：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴，∴． ∵即，∴． ∴所求不等式的解集为． . 19．3. 【解析】试题分析:根据一元二次方程根的情况可得: , 可列出(k－2) 2－4×·(k－2)＝0,且k－2≠0,即可求解. 试题解析:因为方程(k－2)x2－(k－2)x＋＝0有两个相等的实数根, 所以(k－2) 2－4×·(k－2)＝0, 解方程,得k 1＝2,k 2＝3, 又因为k－2≠0,所以k ＝3. 20．(1)证明见解析；（2）a>6. 【解析】试题分析：（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用公式法求得方程的两个解为x1＝－1，x2＝，再由方程有一个根大于2，列出不等式，解不等式即可求得a的取值． 试题解析： （1）证明：Δ＝（a－3）2－4×3×（－a）＝（a＋3）2. ∵a>0， ∴（a＋3）2>0，即Δ>0. ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵Δ＝（a＋3）2＞0，由求根公式得x＝， ∴x1＝－1，x2＝. ∵方程有一个根大于2， ∴>2. ∴a>6. 点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 21．（1）k=1；另一根为x=2；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）把x=1代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程，然后利用因式分解法解方程求出方程的另一根； （2）计算判别式得到△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2 ， 根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 试题解析：（1）∵x=1是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的一个根， ∴1﹣（k+2）×1+2k=0， 解得k=1， ∴原方程为x2﹣3x+2=0， 解得x1=1，x2=2， ∴原方程的另一根为x=2； （2）对于任意的实数k，原方程总有两个实数根．理由如下： ∵△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0， ∴对于任意的实数k，原方程总有两个实数根． 22．（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2) △ABC是直角三角形，理由见解析；（3）x1=0或x2=－1. 【解析】试题分析: （1）将x=-1代入方程中，化简即可得出b=c，即可得出结论； （2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△=0建立方程，即可得出a2+c2=b2，进而得出结论； （3）先判断出a=b=c，再代入化简即可得出方程x2+x=0，解方程即可得出结论． 试题解析：（1）△ABC是等腰三角形， 理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0， ∴b=c， ∴△ABC是等腰三角形， （2）△ABC是直角三角形， 理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0， ∴a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a=b=c， ∴原方程可化为：2ax2+2ax=0， 即：x2+x=0， ∴x（x+1）=0， ∴x1=0，x2=-1， 即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$