17.3 一元二次方程根的判别式 导学案 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

17.3　一元二次方程根的判别式 【素养目标】 1.能熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 2.会根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围. ◎重点:根的判别式及其应用. 【预习导学】 知识点 一元二次方程根的判别式 阅读课本本课时内容,解决下列问题.(阅读时注意思考:为什么要对b2-4ac的取值情况进行讨论) 完成下列推导过程,任何一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),移项,得ax2+bx=-c,二次项系数化为1,得x2+x=-, 配方,得x2+x+2=-+2,即x+2=. 因为a≠0,所以4a2>0, 所以(1)当b2-4ac>0时,x1=　 　,x2=　 　;  (2)当b2-4ac=0时,x1=x2=　 　;  (3)当b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 【参考答案】(1)　 (2)- 归纳总结:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由　 　来确定. 　 　叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“　 　”来表示.  (2)当Δ>0时,方程有　 　个　 　的实数根;当Δ=0时,方程有　 　个　 　的实数根;当Δ<0时,方程　 　实数根.反之,当方程有两个不相等的实数根时,Δ　 　0;当方程有两个相等的实数根时,Δ　 　0;当方程没有实数根时,Δ　 　0.  (3)利用根的判别式判断方程根的情况的一般步骤:①化方程为一般形式,确定a,b,c的值;②计算　 　的值;③判断方程根的情况.  【参考答案】(1)b2-4ac　b2-4ac　Δ　(2)两　不相等　两　相等　没有　>　=　< (3)b2-4ac 对点自测 1.在一元二次方程x2-3x=1中,根的判别式b2-4ac的值为 ( ) A.5 B.13 C.-13 D.-5 2.一元二次方程3x2+5x+1=0根的情况是 ( ) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法判断 3.若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值有可能是 ( ) A.2021 B.2 C.1 D.0 【参考答案】1.B　2.B　3.D 【合作探究】 任务驱动一 根据根的判别式判断方程根的情况 1.不解方程,判断下列方程根的情况. (1)x-2x2=0;(2)x(2x-4)=5-8x. 【参考答案】1.解:(1)原方程变形为2x2-x=0,a=2,b=-1,c=0,b2-4ac=(-1)2-4×2×0=1>0, ∴原方程有两个不相等的实数根; (2)原方程变形为2x2+4x-5=0,a=2,b=4,c=-5,b2-4ac=56>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. 【变式演练】不解方程,判断方程(2m2+1)x2-2mx+1=0根的情况. 【参考答案】解:Δ=(-2m)2-4(2m2+1)×1=-4m2-4,无论m取何值,Δ都小于0,所以方程无实数根. 任务驱动二 根据方程根的情况求字母系数的取值范围 2.已知关于x的方程x2-3x+k=0,问k取何值时,这个方程: (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根? 【参考答案】2.解:b2-4ac=(-3)2-4×1×k=9-4k.(1)因为此方程有两个不相等的实数根,所以9-4k>0,所以k<;(2)因为此方程有两个相等的实数根,所以9-4k=0,所以k=;(3)因为此方程无实数根,所以9-4k<0,所以k>. 【变式演练】(1)关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,则k的取值范围是　 　.  (2)(易错题)已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　 　.  【参考答案】(1)k≤1 (2)k<2且k≠1 【方法归纳交流】(1)一元二次方程有实数根的条件是　 　.  (2)在已知一元二次方程根的情况下确定方程中的字母的取值时,要注意字母的取值不能使方程的　 　为0.  【参考答案】(1)Δ≥0　(2)二次项系数 素养小测 1.不解方程,判断关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况为 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.已知关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 ( ) A.a≥-4 B.a>-4 C.a≥-4且a≠0 D.a>-4且a≠0 3.已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 4.关于x的一元二次方程(a+1)x2+bx+1=0有两个相等的实数根,则代数式8a-2b2+6的值是　 　.  【参考答案】1.A　2.D　3.A　4.-2 学科网（北京）股份有限公司 $$