第6章 综合与实践平面图形的镶嵌-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

综合与实践平面图形的镶嵌（答案29） 1.(2024·重庆沙坪坝区期末)人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活 中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法， 探究一：从五边形一个顶点出发，有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为 180°X3=540,正五边形每个内角的度数为180X3=108 5 从n边形一个顶点出发有 条对角线，正n边形内角和为 ,正n边形每 个内角的度数为 探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数m乘它的内角度数x 加上另一个正多边形的个数n乘它的内角度数y°等于360°，即m.x°+ny°=360°：若正三角形有 个，正方形有b个(a>0,b>0),求a,b为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由. 探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边 形有 ①正五边形：②正六边形：③正八边形；④正十二边形 2.(2024·运城盐湖区期末)阅读下列材料，并完成相应任务. 关于同一种多边形的平面密铺. 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此 之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌 止方形 止入六边形 二角形 四边形 ① 任务一：探究同一种正多边形的密铺。 如图①所示，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成 了一个周角 一八年领下甜+数学部 145 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 。,并使相等的边重合时，该图形就可 以进行密铺. 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由. 任务二：探究同一种一般多边形的密铺. 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图②所示. 问题③观察图②，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺。 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形 不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图③所示为其中一种五边形的密铺图. 问题④图④为图③中抽象出的一个五边形，其中∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D,则∠A的 度数为 3.(2024·深圳福田区期末)【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图 案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图 形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌， (1)如图①所示，在口ABCD中，AB=2,AD=3,∠BAD=60°，图②右侧的阴影部分可以看成是 左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是 .同理，再进行一次切割平 移，可得图③，即图④可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成.我们可以用若干个如图①所 示的图形，平面镶嵌成如图⑤所示的图形，则图⑤的面积是 (2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图⑥所示的空白，经测量可以按如图⑦所示，全部用边长 为1的正三角形瓷砖镶嵌.小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六 边形瓷砖便宜40元：用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等， ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷 砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 元 146 优种学素说时进①当15<m≤20时，4000m+4500(30一m)十15×100+ 去分母，得2500x=500(x十40)， 200(m-15)≥127500， 解得x=10, 解得m≤20， 经检验，x=10是原分式方程的解 m是正整数， x+40=10+40=50(元). .m可以为16,17,18,19,20， 答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边 ,此种情况下共有5种种植方案： 形瓷砖每块50元. ②当20<m<30时，4000m+4500(30-m)+15×100+200× ②520 5+300(m-20)≥127500， 限时训练 解得m≤20（不符合题意，舍去） 综上可知：总共有5种种植方案 第一章三角形的证明 3.解：任务1：设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘 1第1课时三角形全等和等腰三角形的性质 礼盒每件的售价为(x十20)元， 1.解：(1)证明：AD=BE, 由题意，得25x+15(x+20)■3500， ∴.AD+BD=BE+BD,即AB=DE. .x=80, 在△ABC和△DEF中， .x+20=100. AB=DE, 答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的 ACDF, 售价为100元. BC=EF, 任务2：设箭售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒 ∴.△ABC≌△DEF(SSS) 为(1000一m)盒， (2),∠A=55°，∠E=45°， 由题意得m≤1.51000-m), 由(1)可知△ABC≌△DEF, (50m+60(1000-m)≤54050， .∠A=∠FDE=55, .595≤m≤600. .∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45）=80° 设收益为u元， 2.解："AB=AC,AE平分∠BAC,'.AE⊥BC(等腰三角形顶 由题意，得世=(80一50)m+(100一60)(1000一m)= 角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合)， -10m+40000, .∠ADC=130°，.∠CDE=50°，.∠DCE=180°-90° -10<0. ∠CDE=40°.又CD平分∠ACB,.∠ACB=2∠DCE= .w随m的增大而减小， 80°.又：AB=AC,∴∠B=∠ACB=80°，∴∠BAC=180° ∴当m=595时，e有最大值，地=-10×595+40000=34050， (∠B+∠ACB)=20. 此时，1000一m=1000-595=405. 第2课时等边三角形的性质 答：要使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为 解：(1)证明：，△ABC为等边三角形，BD是中线， 595盒，B种柑橘礼盒405盒，农户在这次农产品展销活动中 的最大收益为34050元. .DC-TAC-BC. 综合与实践平面图形的镶嵌 1.解：探究一：(n一3)(n一2)×180° 又CE-号BCDC-CE, 180°(n-2) ∴.∠E=∠CDE,而∠DCB=∠E+∠CDE=6O°， ∴∠E=30° 探究二：，正三角形每个内角的度数为60°，正方形每个内角 的度数为90°， DA=DC,AB=BC.∴∠DBC=号∠ABC=30 .60a+90b=360",即2a+3b=12, .DB=DE. 你2 DE⊥BC,,BF=EF (2),△ABC为等边三角形， 探究三：②④ .AC-AB-BC-10. 2.解：任务一：问题①360 问题②正五边形不可以进行密铺，理由如下 CE-BC..CE-5. :正五边形的每一个内角度数为5-2)X180=108,360÷ 第3课时等腰三角形的判定与反证法 1.解：(1)：AB=AC,∠BAC=36 108=3*…36, 1 ,正五边形不可以进行密铺。 六∠ABC=∠C=2180°-∠BAC)-72 任务二：问题③三角形四边形 BD平分∠ABC, 问题④120 3.解：(1)3185 ∠DBC- 1 ∠ABC-36°， (2)①设一块正三角形瓷砖的单价为x元，则一块正六边形 ∴.∠ADB=∠C+∠DBC=72°+36°=108 瓷砖的单价为（红十40）元， (2)证明：：AE∥BC, 由题意，得500-2500 ,∠EAC=∠C=72. x x十401 ∠C=72,∠DBC=36°， 29