第7章 专题三与平行线有关的证明问题-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(人教版2024)

专题三与平行线有关的证明问题（答案P6》 类型1证明角相等 类型2证明两直线平行 1.(2024·珠海月考)如图所示，AE∥BC,∠B= 3.如图所示，已知AD交BE于点F,点C在AB ∠2，求证：∠1=∠2. 的延长线上，∠A=∠ADE. (1)若∠EDC=3∠C,求∠C的度数. (2)若∠C=∠E.求证：BE∥CD. 2.(2024·西安二模)课堂上同学们独立完成了 这样一道问题：“如图所示，已知AB∥CD, AD∥BC,求证：∠1=∠2.” 4.(2024·西安一模)如图所示，B,F,E,C在同 小莲同学解答如下： 一条直线上，∠A=∠D .AB//CD, (1)若∠A=78°，∠C=47°，求∠BFD的度数. ∴.∠1+∠BCD=180° (2)若∠AEB+∠BFD=180°，求证：AB∥CD. ,AD∥BC, ∴.∠2+∠BCD=180°， ∴.∠1=∠2. 小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打 “/”:若错误，请写出你的证明过程. 28 优学案课时通 类型3证明两直线垂直 曲类型4综合问题 5.(2024·恩施期中)如图所示，已知：AE平分 7.(2024·济宁期中)如图所示，已知点E,F在 ∠BAC,CE平分∠ACD,且AB∥CD.求证： 直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交 AE⊥CE. 于点H,∠MCD=∠3，∠1=∠2. (1)求证：CEGF. (2)试判断∠AED与∠CDE之间的数量关 系，并说明理由。 (3)若∠EHF=88°，∠CDE=28°，求∠AEM 的度数 6.(2024·天水三模)如图所示，已知AD∥BC,AB∥ CD,E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD.连 接DE,∠ADE=3∠CDE (1)若∠AED=60°，求∠CDE的度数. (2)若∠AEB=60°，探究DE与BE的位置关 系，并说明理由 一七详级用数学厅 29∴.AC∥BF.∴.∠E=∠F ∴.P,F∥PG(同旁内角互补，两直线平行)： 条件是：①ABCD:③∠E=∠F:结论是：@∠B=∠C.此 .AB∥CD 命题是真命题， 5.解：∠3+∠1=∠2+∠4，理由 A 证明：，ABCD,.∠C=∠BAE 如下： ∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠B=∠BAE,∴∠B=∠C. 如图所示，过点E,F分别作EG∥ 条件是：②∠B=∠C:③∠E=∠F:结论是：①AB∥CD.此 AB.FH//CD. ------3F 命题是真命题， 'EG∥AB,FHCD 证明：∠E=∠F.,CE∥BF,.∠B=∠BAE .∠1=∠BEG,∠I=∠CFH. ,∠B=∠C,∴.∠C=∠BAE,.ABCD. ∠GEF=∠EFH, 12.解：(1)小明的结论错误，正确的结论是∠2与∠3互余，理由 .∠3=∠2-∠1+∠4， 如下： .∠3+∠1=∠2+∠4. BE⊥FD, 6.解：如图所示，过点E作EM∥AB, .∠DGE=90 过点F作FN∥AB, ∠C=∠1..BE∥CF, 过点G作GQ∥AB, .∠CFD=∠DGE=90°， ,AB∥CD, .∠2+∠3=180°-∠CFD=180°-90°=90°， ,∴.AB∥EM∥FN∥GQCD. 即∠2与∠3互余. ,∴.∠1=∠BEM,∠EFN=∠FEM, (2)小强的结论正确，理由如下： ∠GFN=∠FGQ,∠5=∠DGQ, G- :∠DGE=90'· ,.∠1+∠EFN十∠GFN+∠5= .∠1十∠D=180°-∠DGE=180°-90°=90°， ∠BEM+∠FEM+∠FGQ+∠DGQ, ∠2+∠D=90°， ∴·∠I+∠EFG+∠5=∠BEF+∠FGD. .∠1=∠2. 即∠1+∠3+∠5=∠2+∠4. ∠C=∠1， 专题二平行线与三角尺结合问题 .∠2=∠C,ABCD 1.D2.D3.C4.C5.①②③6.D7.B8.A9.D 专题一平行线中的拐点问题 专题三与平行线有关的证明问题 1.证明：如图所示，过点E作 1.证明：：AE∥BC,∴∠1=∠B, EF∥AB, ∠B=∠2.∴∠1=∠2. ∠1=∠AEF. 2.解：小莲的证法是错误的. ∠1+∠2=∠AEC, 证明：AB/CD,.∠1+∠BAD=180, ∠AEF+∠CEF=∠AEC. 2 ,ADBC,∴.∠2+∠BAD=180°，.∠1=∠2. .∠1十∠2=∠AEF十 3.解：(1)：∠A=∠ADE,∴AC∥DE,∴.∠EDC+∠C=180. ∠CEF, 又：∠EDC=3∠C,.4∠C=180°， .∠2=∠CEF, 即∠C=45. .EF∥CD. (2)证明：：AC∥DE,∠E=∠ABE. EF∥AB,∴ABCD. 又：∠C=∠E,∴∠C=∠ABE,.BECD. 2.证明：如图所示，过点E作EF∥AB,则∠A十∠1=180° 4.解：(1)：∠A=78°，∠A=∠D,.∠D=78 ∠A=120°， :∠C=47,.∠CFD=180°-∠C-∠D=55, .∠1=60°. ∴.∠BFD=180-∠CFD=125 又：∠AEC=120°， (2)证明：.·∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD= .∠2=60°， 180°，∴.∠AEB=∠CFD .∠2+∠C=180°， :∠A=∠D,∴.(180°-∠A-∠B)+(∠C+∠D)=180°， ∴.EFCD,.ABCD .∠B=∠C,∴.AB∥CD 3.解：如图所示，作BM∥AE,CN∥BM 5.证明：如图所示.ABCD, .AE∥BM∥CN, E ∴.∠BAC+∠ACD=180°. ∴.∠A=∠ABM,∠CBM= :AE平分∠BAC,CE平 ∠BCN. B< 分∠ACD. :∠A-∠ABC+∠BCD+∠D= 180°. 4=号 ∠BAC,∠2= .∠A-(∠ABM+∠CBM)十 D 1 ∠BCN+∠NCD+∠D=18o, ∠ACD. ∴∠NCD+∠D=180", .CN∥DF.∴.AE∥DF ·∠1+∠2=2（∠BAC+∠ACD)=2×180°=90 4.解：AB∥CD.理由如下： .∠E=180°-（∠1+∠2）=90°.即AE⊥CE. 如图所示，过点P,作P,FAB。 6.解：(1)：∠ADE-3∠CDE, 过点P,作P,GCD, ∴.设∠CDE=x,∠ADE=3r, .∠ABP,+∠BP,F=180, 即∠ADC=∠ADE-∠CDE=2x. ∠CDP+∠DP:G=180°. .AB//CD. ∠B+∠BPP,+∠PP,D+ .∠BAD=180°-∠ADC=180°-2.x. ∠D=540°. :AE平分∠BAD, ∠FP,P,+∠PP,G=180, ∠EAD=2∠BAD=90- .CF=BE.CF=2BD...BE=AD=2BD. 'AB-AD++BD-3BD=6..BD-2. .AD//BE. ..AD=BE=4,..AE=AD+BE+BD=4+4+2=10. .∠BEA=∠EAD=90°-x,∠ADE+∠BED=180°. 阶段检测二(7.2.3~7.4)】 又，'∠DEA=60°，∠BEA十∠DEA=∠BED, 1.A2.A3.C4.B5.B6.B .90°-x+60°+3r=180°， 7.如果两数同号，那么这两个数的积是正数 x=15,.∠CDE=15. 8.80解析：如图所示，过点E作EF∥AB (2)DE⊥BE,理由如下： .AB//CD. :∠AEB=60°，AD∥BC, G .AB∥CD∥EF 3 ·∠DAE=∠AEB=60 ∴.∠FEG=180°-∠1= F------ AE平分∠BAD. 30°，∠FEH=180° .∠BAD=2∠DAE=120° ∠2=70°， .ABCD,.∠ADC=180'-∠BAD=60 ,.∠3=180°-∠FEG-∠FEH=80 :∠ADE=3∠CDE,∠ADE=∠ADC+∠CDE, 9.12 ∠ADE-∠ADC=90g 10.①②③④解析：①：∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∠1■∠3，故①结论正确： 又，AD∥BC, 2②.∠2=30，.∠1=90-∠2=60 .∠BED=180°-∠ADE=90°，.DE⊥BE. .∠E=∠1=60°，.AC∥DE 7.解：(1)证明：，∠1=∠2，CEGF 故②结论正确： (2)∠AED+∠CDE=180°. ③：∠2=45.∴.∠3=90°-∠2=45. 理由：CEGF,.∠C=∠FGD .∠3=∠B=45”,.BC∥AD.故③结论正确： 又：∠C=∠3，∴∠FGD=∠3， ④如图所示，”∠4=∠C, ∴.AB∥CD,∴.∠AED+∠CDE=180 .AC∥DE..∠EFA+∠CAF=180°. (3)∠2=∠EHF=88°，∠CDE=28° .∠EFA=90°.∴.∠2+∠E=90°， ∴.∠CGF=180°-∠FGD=180°-(180°-∠2-∠D)= .∠2=90°-∠E=90°-60°=30° ∠2+∠D=88°+28°=116 故④结论正确 又，CE∥GF,∴.∠C+∠CGF=180, .∠C=180°-116°=64. B 又.ABCD. .∠AEC=∠C=64°，∴.∠AEM=180°-64=116 7.4平移 1.B2.A3.B 4.解：如图所示。 1I.解：(1)：△DEF是由△ABC沿箭头方向平移得到的， .∠DFE=∠ACB=70°. (2),'△DEF是由△ABC沿箭头方向平移得到的， DF=AC=10 cm,BC=EF=6 cm, ∴，BE=BC+CE=8cm, ∴，B点移动的距离为8cm, 5.A解析：A.垂线段最短。 12.解：(1)证明：：DE平分∠ADC,∠ADE=∠2. .平行四边形的另一边一定大于6m, :∠1=∠2..∠1=∠ADE,.AD∥BC 2(10+6)=32(m), (2)由(1)知AD∥BC, 周长一定大于32m,故特合题意： .∠A十∠B=180°， B.周长=2(10十6)=32m.故不种合题意： 又∠B=80°，.∠A=100° C.周长=2(10+6)=32m,故不符合题意： 13.解：(1)命题1：，ABCD,AM∥EN,.∠BAM=∠CEN: D.周长=2(10十6)=32m.故不符合题意. 命题2：：ABCD,∠BAM=∠CEN,∴AM∥EN: 6.解：(1)如图所示，三角形DEF即为所求. 命题3：AM∥EN,∠BAM=∠CEN,∴.AB∥CD. (2)三角形ABC可先向右平移4个单位长度，再向下平移 (2)答案不啡一，如：证明命题1：AB/CD.∴∠BAE=∠CEA. 1个单位长度，或先向下平移1个单位长度，再向右平移4个 .AM∥EN,.∠3=∠4，∠BAE-∠3=∠CEA-∠4， 单位长度.（答案不唯一） 即∠BAM=∠CEV. 数学活动 L.垂直垂直C 2.解：(1)如图①所示，直线11即为所求 7.解：(1)CF∥BECF=BE (2)由平移可得：AD=BE ②2