第7章 数学活动&特色素养专题一跨学科专题-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(人教版2024)

数学活动（答案P7) 活动1三你有多少种画平行线的方法 【折平行】现有一张长方形纸片ABCD,小明和 1.学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直 小丽分别作平行线， 线m外一点P画这条直线的平行线的新方 小明：如图③所示，折出BD,展平后再折叠纸 法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到 片，使点A,C分别落在BD所在直线上的点 的，如图①一④所示.请你观察图①④完成 A',C'处，展平纸片，得到折痕BM,DN. 下面的填空题和选择题， 小丽：如图④所示，将边MC折至MC'处，再将 第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕AB 边AD折至A'D'处，使得MC和A'D'在一条 与直线m之间的位置关系是 直线上，展平纸面，得到折痕MN,EF」 将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③ 所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位 置关系是 再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次 3 折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线 【证平行】(3)小明发现BM∥DN,小丽发现 m的平行线.从图中可知，小明画平行线的依 MN∥EF,请你选择一个证明. 据有 ①两直线平行，同位角相等：②两直线平行，内 错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错 角相等，两直线平行 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 活动2设计窗格图案 2.(2024·南京秦淮区月考)平行的思考 3.(2024·北京西城区期中)M.C.埃舍尔(M.C. 【画平行】(1)在图①所示的方格纸中，过点P Escher,1898~1972年)，荷兰科学思维版画大 画直线L1,使得l1∥AB,说明所画L1∥AB的理 师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家.他的画 由.（限用没有刻度的直尺） 被称为“迷惑的图画”，数学是他的艺术之魂 他常借助平移等几何变换进行艺术创作.以下 P 作品中，可以由一个基本图形通过平移得到的 是( ① 2四 【作平行】(2)如图②所示，过P作12∥AB.(限 用圆规和没有刻度的直尺，保留作图痕迹，不 必写出作法和理由) 一七详级卡研数学 33 特色素养专题一跨学科专题（答案P8) 1.(2024·常州中考)如图所示，推动水桶，以点 O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施 加推力F1,F2,则F1的力臂OA大于F2的力 臂OB.这一判断过程体现的数学依据是( ) A垂线段最短 第4题图 第5题图 B.过一点有且只有一 5.(2024·成都模拟)某些灯具的设计原理与抛 条直线与已知直 物线有关.如图所示，从点O照射到抛物线上 线垂直 的光线OA,OB等反射后都沿着与POQ平行 C.两点确定一条直线 的方向射出.若∠AOB=150°，∠OBD=90°， D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直 则∠OAC的度数为() 线平行 A.30° B.40 C.60 D.80° 2.(2024·深圳中考)如图所示，一束平行光线照 6.(2024·商丘月考)如图①所示，汽车前灯的反 射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角 光装置相当于凹面镜，有了它，射出的光可看 ∠1=50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度 作平行光.现对此进行逆向分析，如图②所示， 数为( 两条平行光线l1,l3通过凹面镜反射后反射光 A.40° B.50° C.60 D.70° 线会聚于焦点F,L2是过焦点F的一条辅助 线，根据图中信息，下列判断错误的是( a G 第2题图 第3题图 3.(2024·山西中考)一只杯子静止在斜面上，其 2 受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下， A.l1∥Lg B.L1∥L2 支持力F,的方向与斜面垂直，摩擦力F,的方 C.l2∥3 D.∠1=45° 向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦 7.教材P21习题7.2T14变式净如图所示，潜望镜 力F,与重力G方向的夹角B的度数为( 的两个镜片都是与水平面成45°角放置的，光 A.155°B.125°C.115°D.65 线水平射人，经镜子反射时，∠1=∠5，∠2= 4.(2024·孝感期中)光线在不同介质中的传播 ∠6，求证：ab 速度是不同的，当光线从水中射向空气时要发 生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的 光线，在空气中也是平行的，如图所示，若 ∠1=48°，∠2=158°，则∠3的度数为( A.70 B.100 C.110 D.120° 34 优十学海课时通∠EAD= 2∠BAD=90°-. .CF=BE.CF=2BD...BE=AD=2BD. AB-AD+BD-3BD=6..BD-2. .AD//BE. ..AD=BE=4...AE=AD+BE+BD=4+4+2=10. .∠BEA=∠EAD=90°-x,∠ADE+∠BED=180°. 阶段检测二(7.2.3~7.4)】 又，'∠DEA=60°，∠BEA十∠DEA=∠BED, 1.A2.A3.C4.B5.B6.B .90°-x+60°+3r=180°， 7.如果两数同号，那么这两个数的积是正数 x=15,.∠CDE=15. 8.80解析：如图所示，过点E作EF∥AB (2)DE⊥BE,理由如下： AB∥CD, :∠AEB=60°，AD∥BC, G .AB∥CD∥EF .3 ·∠DAE=∠AEB=60. .∠FEG=180°-∠1= f----- AE平分∠BAD. 30°，∠FEH=180° .∠BAD=2∠DAE=120° C- ∠2=70°， .ABCD,.∠ADC=180°-∠BAD=60 ,∴.∠3=180°-∠FEG-∠FEH=80 :∠ADE=3∠CDE,∠ADE=∠ADC+∠CDE, 9.12 ∠ADE=∠ADC=90g 10.①②8③④解析：①：∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∠1■∠3，故①结论正确： 又，AD∥BC. ②：∠2=30°，.∠1=90-∠2=60 .∠BED=180°-∠ADE=90°，.DE⊥BE. ∴.∠E=∠1=60°，.AC∥DE. 7.解：(1)证明：，∠1=∠2，，CEGF 故②结论正确： (2)∠AED+∠CDE=180°. ③：∠2=45..∠3=90°-∠2=45. 理由：CEGF,.∠C=∠FGD .∠3=∠B=45”,.BC∥AD.故③结论正确： 又：∠C=∠3，∴∠FGD=∠3， ④如图所示，”∠4=∠C, ∴.AB∥CD,∴.∠AED+∠CDE=180 .AC∥DE..∠EFA+∠CAF=180°： (3)∠2=∠EHF=88°，∠CDE=28° .∠EFA=90°..∠2+∠E=90°， ∴.∠CGF=180°-∠FGD=180°-(180°-∠2-∠D)= .∠2=90°-∠E=90°-60°=30° ∠2+∠D=88°+28°=116 故④结论正确 又，CE∥GF,∴.∠C+∠CGF=180, .∠C=180°-116°=64. 又.AB∥CD. .∠AEC=∠C=64°，.∴.∠AEM=180°-64=116° 7.4平移 1.B2.A3.B 4.解：如图所示。 1I.解：(1)：△DEF是由△ABC沿箭头方向平移得到的， .∠DFE=∠ACB=70 (2):'△DEF是由△ABC沿箭头方向平移得到的， DF=AC=10 cm,BC=EF=6 cm, ∴，BE=BC+CE=8cm, .B点移动的距离为8cm 5.A解析：A.:垂线段最短。 12.解：(1)证明：：DE平分∠ADC,∠ADE=∠2. ,.平行四边形的另一边一定大于6m, :∠1=∠2..∠1=∠ADE,.AD∥BC 2(10+6)=32(m), (2)由(1)知AD∥IBC, 周长一定大于32m,故特合题意： ∴∠A+∠B=180°， B.周长=2(10十6)=32m.故不将合题意： 又∠B=80°，.∠A=100° C.周长=2(10+6)=32m,故不符合期意： 13.解：(1)命题1：ABCD,AM/∥EN,∴.∠BAM=∠CEN: D.周长=2(10十6)=32m,故不符合题意. 命题2：：ABCD∠BAM=∠CEN,∴AM∥EN: 6.解：(1)如图所示，三角形DEF即为所求. 命题3：：AM∥EN,∠BAM=∠CEN,.AB/∥CD. (2)三角形ABC可先向右平移4个单位长度，再向下平移 (2)答案不唯一，如：证明命题1：AB/CD.∴∠BAE=∠CEA. 1个单位长度，或先向下平移1个单位长度，再向右平移4个 .'AM∥EN,.∠3=∠4，∠BAE-∠3=∠CEA-∠4， 单位长度.（答案不唯一） 即∠BAM=∠CEN. 数学活动 L.垂直垂直C 2.解：(1)如图①所示，直线11即为所求 7.解：(1)CF∥BECF=BE (2)由平移可得：AD=BE, ②2 如图①所示，取格点G,作直线PG,观察图形可知AB LPG PQ⊥PG,.PQAB. (2)如图②所示，直线1：即为所求。 (3)如图③所示. 【变式调练1】解：如图所示，利用平移，把楼梯横竖向上向左平 移，构成一个矩形，长、宽分别为6米，4米， :四边形ABCD是长方形，.AB∥CD,.∠ABD一∠CDB, .地毯的长度为6+4=10（米），地毯的面积为10×2 由翻折可知，∠ABM=∠DBM,∠CDN=∠BDN, 20(平方米)， .∠DBM=∠NDB..BM∥DN. .买地毯至少需要20×40=800（元）. 如题图①所示，设∠CMN=∠NMC=x :∠C=∠D'=90°，∴∠D'FC=∠CMC'=2x EB∥FC,EA'∥FD',.∠BEA'=∠CFD'=2x. :∠A'EF+∠EFD'=180, ∴2180°-2z)+∠EFC+2z=180. ,.∠EFC=90°-x. :∠CNM=90°-x 6米 .∠EFC=∠CNM, 【例2】解：(1)∠AOC=40°， ∴.MN∥EF .∠AOD=180°-∠AOC=140 3.C OE平分∠AOD, 特色素养专题一跨学科专题 1.A2.B3.C ∠D0E=子∠A0D=70 4.A解析：过折射点作CD∥AB,如图所示 (2):∠AOE:∠BOD=7:4, ∠1=48°，∠2=158， .设∠AOE=7x,∠BOD=4x :OE平分∠AOD. ,.∠1=∠ACD=48°， .∠DCE=158°-48°=110 .∠AOD=2∠AOE=14.x. AB∥EF,ABCD, ∠AOD+∠BOD=180°， ∴.EFCD. .14x十4x=180°， ,x=10°，.∠AOD=14.x=140 .∠DCE+∠CEF=180°， 【变式训练2】解：(1)，”∠BOD和∠AON互余， .∠CEF=180°-110°=70 ,CE∥DF, .∠BOD+∠AON=90° ∴∠3=∠CEF=70 .'∠AON=∠COM, .∠BOD+∠COM=90° 5.C ∴.∠MOB=180°-（∠BOD+∠COM)=90 6.D解析：如图所示，由题意，得 lL,故A正确： (2)设∠COM=x,则∠BC=5.x, ∠DCF=∠CFE, 459 .∠BOM■4x. .∠BOM=90°， 1儿，，故B正确： 45 ,4x=90°， ,11,故C正确， ·∠EFB不一定等于45， 解得x=22.5°. .∠1不一定等于45”，故D错误 .∠B0D=90°-22.5°=67.5. 【例3】解：存在.分三种情况： 7.证明：潜望镜的两个镜片都是与水平面成5”角放置的， 如图①所示，AB与CD在EF的两侧时， .∠1=∠2 ∠1=∠5，∠2=∠6， ∠BAF=110,∠DCF=60, .∠ACD=180°-60°-31°=120°-31°，∠BAC=110°-t. .∠1=∠5=∠2=∠6..∠3=∠4..a∥h 要使AB∥CD,则∠ACD=∠BAC, 本章综合提升 即120°一31°=110°-1”，解得1=5： 【本章知识归纳】 此时(180°-60)÷3=40，.0<1<40： 1.(1D互补相等(2)①唯一②最短2.(1)F(2)Z 如图②所示，CD旋转到与AB都在EF的右侧时， (3)U3.不相交4.有且只有5.(1)相等(2)相等(3)互 ∠DCF=360°-31°-60=300°-31°，∠B.4C=110°-1， 补(4)平行(5)平行6.(1)相等(2)相等(3)互补 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 7.(1)完全相同(2)平行相等8.关键顺次9.判断 即300°-3=110°一1°，解得1=95. 10.(1)已知(2)推出11.(1)成立证明(2)一定成立 此时(360°一60)÷3■100..40<1<100： 举反例 如图③所示，CD旋转到与AB都在EF的左侧时， 【思想方法归纳】 ∠DCF=3°-(180°-60°+180)=31°-300°，∠BAC= 【例1】解：如图所示，将黑条平移到边缘，则白色部分的边长为 t°-110°， 1.8-0.2×2=1.4(米)， 要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC, 白色部分的面积为1.4×1.4=1.96（平方米）. 即31°-300°=t°-110°，解得1=95，此时t>110,