第1章 本章 综合提升-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

本章综合提升(答案P8) 本章知识归纳 定理:等边对___ 性质 定理的推论:等腰三角形项角的_、底边上的_及底边上的_互相重合 定义:有两个角 的三角形是等腰三角形 判定 等腰三角形 定理:等角对__ 等边三角形的三条边都_ 性质 等边三角形的三个内角都__,并且每个角都等于_ 等边三角形 三条边都_的三角形 判定 三个角都的三角形 有一个角等于60的 全等的判定定理:SSSSASASA.AASHL 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30^},那么它所对的直角边等于斜边的 性质 直角三角形 勾股定理:直角三角形两条直角边的__等于斜边的___ 判定 勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是。 叫 性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_ 性质定理的逆定理:到一条线段两个端点距离 的点,在这条线段的垂直平分线上 线段的直平分线 三角形垂直平分线定理:三角形三条边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点 的距离 性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离___ 性质定理的逆定理:在一个角的内部,到角的两边距离 的点在这个角的平分线上 角平分线 三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离 反证法 先假设命题的结论不成立,然后推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而 证明命题的结论一定成立 互谥命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_和_,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个 定理的逆定理 思想方法归纳 2.转化思想 转化思想是指一种研究对象在一定条件 1.数形结合思想 下转化为另一种研究对象的思维方式,转化思 数形结合思想是把数量关系与图形变换 想是数学思想方法的核心,其他数学思想方法 结合起来分析与探究.“数”与“形”是数学中的 都是转化的手段或策略,初中数学中诸如化繁 两个最基本的概念,每一个几何图形中都蕴含 为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思 着一定的数量关系;而数量关系又常常可以通 想的具体体现. 过几何图形直观地反映和描述出来 链接意 ”链接章 在本章中证明线段相等、角相等等的问 本章中涉及三角形的有关角的大小或 题常用转化思想转化为证明三角形全等的 线段的长短等问题时,我们可以借助数形结 问题来解决,将一些实际问题转化为数学问 合思想解答: 题来解决. ... 【例2】 【例1】 如图所示,以正方形一边为斜边向 如图①所示,OP是MON的平分 外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边 线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到 称轴的全等三角形,请你参考这个作全等三角形 的方法,解答下列问题; “勾股树”的部分图形,设大正方形N的边长为 (1)如图②所示,在△ABC中,ACB是直 定值n,小正方形B,C的边长分别为,c.已知 角, B=60*,AD,CE分别是 BAC, BCA 1= 2- 3=a,当a(0{}<a<90”)变化时,b$ 的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断并写出 与c满足的关系式是( ) FE 与FD之间的数量关系。(不需证明) A.b十c-n B.6^{十c2-n*} (2)如图③所示,在△ABC中,B一60*, C.bc-n D.bc-n2 AD,CE分别是 BAC,BCA的平分线,AD. CE相交于点F,请问,在(1)中所得结论是否仍 ## 然成立?若成立,请证明:若不成立,请说明 理由. x #_#_#_分# 【例1】图 【变式训练1】图 【变式训练1】 (2024·临沂一模)如图所示,△ABC是等 边三角形,以点B为圆心,任意长为半径画孤,交 AC于点E,F.再分别以点E,F为圆心,大于 1 AC于点G,ABG度数为( ) C.25。 B.20{ A.15{ D.30{ 【变式训练2】 墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板,点 (2024·西安新城区期末)如图所示,已知两 B.在DE上,点A和C分别与木块墙的顶端重 个滑梯BC和EF的倾斜角 ABC和 DFE互 合,则两堵木块墙之间的距离DE为( ) 为余角(即 ABC十 DFE-90),且左边滑 的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相 等,AC BF,ED1BF,小明说:“只要量出左侧 滑梯水平方向的长度AB就可以知道右侧滑梯 的高度DE了.”他的说法正确吗?请你说明 A. 48 cm B. 42 cm C. 38 cm D. 36 cm 理由. 2.(2024·阜新彰武期末)如图所示,在△ABC ## 中,AB=4,AC=6,ABC和 ACB的平分 线交于O点,过点O作BC的平行线交AB于 M点,交AC于N点,则△AMN的周长 为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 3.分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不 能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标 准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最 后综合各类结果得到整个问题的解答 第2题图 第3题图 C”链接本章 3.(2024·泰安泰山区期末)如图所示,△ABC 本章中涉及等腰到三角形的角度或边 是等边三角形,D为AC的中点,DE AB,垂 长时要注意分类讨论思想的运用,分类时必 足为E.若AE=3,则△ABC的边长为 ) 须遵循两个原则:(1)分类标准一致;(2)分 C.8 A.12 B.10 D.6 类的情况不重不漏, 4.(2024·武威二模)如图所示,△AOB的外角 【例3】在Rt△ABC中,乙ACB=90{, CAB,DBA的平分线AP,BP相交于点 AC=2③,BC=2,D为AC中点,E为边AB上 P,PE OC于点E,PF OD于点F,下列结 一动点,当构成的四边形BCDE有一组邻边相等 论:①PE=PF;②点P在 COD的平分线 时,则AE的长可以是 上;③ APB三90{*}一O,其中正确 【变式训练3】 的有( ) 在△ABC中, B三40{},AB的垂直平分线 交直线BC于点D.若 DAC=15*,则 ACB的 度数为 #通模拟 B.1个 C.2个 A.0个 1.(2024·济南期末)如图所示,小李用若干长方 D.3个 体小木块,分别垒了两堵与地面垂直的木块 5.(2024·济宁任城区期末)用反证法证明:“若 墙,其中木块墙AD=24cm,CE=12cm.木块 ab>0,则a二”,应先假设 6.(2024·威海一模)如图所示,已知乙ABC= 10.(2024·泰安中考)如图所示,直线1/m,等边 EAD=90*,D是线段AB上的动点且AC 三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线 ED于点G,AB=AE=4,则BG 的最小值为 1,m上,若 ABE=21*,则 ACD的度 数是( ) C.290 A.45* B.39{ D.21{* 11.(2024·南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积 关系证明了勾股定理,如图所示的“赵爽弦 图”是由四个全等直角三角形和中间的小正 方形拼成的一个大正方形,设直角三角形的 第6题图 第7题图 两条直角边长分别为m,n(n>n).若小正方 7.(2024·北京朝阳区期末)如图所示,在 形面积为5,(n十n)}=21,则大正方形面积 为( Rt △ABC中. C=90*.A=30*$AB-4.P ) A.12 B.13 C:14 为射线AB上一点,若△ACP是等腰三角形, D.15 则AP的长为 8.(2024·淄博沂源期末)如图所示,已知点A,C 分别在 GBE的边BG,BE上,且AB=AC AD/BE,/GBE的平分线与AD交于点D, 连接CD. 第11题图 (1)求证:①AB=AD;②CD平分ACE. 第12题图 (2)猜想 BDC与 BAC之间有何数量关系? 12.(2024·临夏州中考)如图所示,在△ABC 并对你的猜想加以证明 中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4; 1).点C的坐标为(3,4),点D在第一象限 (不与点C重合),且△ABD与△ABC全等 点D的坐标是 13.(2024·镇江中考)如图所示,△ABC的边 AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若 AC-8.CD-5,则BD= 通中考 9.(2024·济南中考)如图所示,已知△ABC △DEC. A=60*, B-40{*,则 DCE的度$ 数为( ) 第13题图 第14题图 A.40* C.80。 B.60 D.100* 14.(2024·映西中考)如图所示,在△ABC中; AB=AC,E是边AB上一点:连接CE,在 BC的右侧作BF/AC,且 BF=AE,连接 CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的 第9题图 第10题图 面积为 一八年级:下册·数学5 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 大单元建构 等式(方程) 等式的基本性质 1类比 定交 基本性质! 不等关系 不等式的基本性质 基本性质2 不等号 类比 基本件质3 定义 定义 不等式的解集 一元一次不等式与 表示 一元一次不等式 一元一次不等式组 定义 关系 法 一元一次不等 元一次不等式组 应l 用 式句一次函数 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型,通过具体例子渗透三者 之间的内在联系,从整体上认识不等式,感受三者的作用,体会解决问题方法与策略的多样性,从 模型观念 不同角度思考解决问题的方法,函数中的问题可转化为不等式问题来解决,不等式问题也可转化 为函数问题来解决,渗透转化思想和数形结合思想,优化方法解决问题 突出知识之间的内在联系,专设“一元一次不等式与一次函数”,意在引导学生初步体会从整体中 几何直观 把握部分的思维方法,从式、形多角度体会其异同,渗透函数、方程、不等式等重要的数学思想,发 展几何直观 理解不等式从一种形式变形为另一种形式的算理,通过数轴能够快速准确地确定不等式组的解 运算能力 集,发展代数变形能力、说理能力和数形结合能力,养成步步有据、准确表达的良好的数学学习 习惯 应用意识 初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的 实际问题,增强应用意识,提高实践能力2AF,即AF-FF. .AE= '. DEF= ABC 在△BAC与△EDF中. ·AE1CD..△AFC为等腰三角形...CD平分ACF 乙ABC-乙DEF. ·DG AC.DB BC..'$DG=DB-8 cm. BAC- EDF. 即点D到AC的距离为8cm. AC-DF. 4.证明:在AB上截取AE一AC,连接DE,如图所示, '.△BAC△EDF(AAS)..$AB=DE .:AB-AC+CD. 【例3】2或3或1 'CD-FB. ·AD是CAB的平分线, 【变式训练3】85*或115* .CAD-EAD B 【通模拟】 在△CAD和△EAD中 1.D 2. D 3.A 4.C 5.h* 6.25-2 AC-AF: . CAD-EAD 7.23或2或6 AD-AD. 8.解:(1)证明: ..△CAD△EAD(SAS). ①:AD/BE. '$ C= AED.CD=DE-BE.'$ B- EDB ' ADB=/DBC. AED= $B+ EDB=2 B.C=2 B$ .BD平分乙ABC,..ABD= DBC ' ABD= ADB.'AB-AD. 本章综合提升 ②:AD//BE... ADC- DCE 【本章知识归纳】 由①知AB-AD. 等角 平分线 中线 高线 相等 等边 相等 相等 60{ 相等 又"AB-AC...AC=AD. 相等 等腰三角形 一半 平方和 平方 直角三角 .乙ACD=乙ADC. 形 相等 相等 相等 相等 相等 相等 结论 条件 '. ACD- DCE. 【思想方法归纳】 .CD平分乙ACE. 【例1】A (2)BDC- 【变式训练1】D 乙BAC,证明: 【例2】 ·BD.CD分别平分乙ABE,乙ACE 解:如图①所示。 (1)FE-FD. .DBC- (2)成立.证明:如图②所示,过点F作FG1AB于点G,作 . BDC+ DBC= DCE. FH1BC于点H,作FK]AC于点K. . BDC+ABC-ACE. ·AD.CE分别是BAC.BCA的平分线. .'.FG-FK-FH. : BAC+ABC= ACE. 在四边形BGFH中, GFH-360$-60*-90$$2-12 0\$ .AD.CE分别是 BAC,乙BCA的平分线,乙B-60{。 $. FAC+ FCA-(180-60°)-60”。 .BDC-乙BAC. 在△AFC中,乙AFC=180*-(FAC+FCA)=180* 9.C 10. B 11.B 12.(1,4) 13.3 14.60 $ $*=120*。'$ EFD= AF[C-120*- GF$H.$ 第二章 一元一次不等式与 . EFG- DFH. 一元一次不等式组 EFG= DFH. 在△EFG和△DFH中,FG=FH, 1 不等关系 EGF- DHF-90*. 1.A 2.(1)(2)<(3)(4)(5)(6)> '. EFGS△DFH(ASA)...FE=FD 3.D 4.(1)b>0 (2)-3<5 (3)*-b>5 (4)5x-3>4r 5.D 6. B 7. B 8.A 9. B 10. D 11.C 12.①x<5.5 ②y<30 ③h<3.5 ④/2 13.10-5(20-r)>160 ① 14.租用x辆45座客车和y辆30座客车的总载客量不少于 【变式训练2】解:他的说法正确,理由如下: 500人 . AC BF.ED 1 BF. 15.解:(1)为响应“绿色生活,美丽家园”号召,某社区计划种植 . BAC- EDF-90* 甲、乙两种花弃来美化小区环境,若种植甲种花卉xm,乙 . DEF+ DFE-90 种花弃ym,且种植两种花弃的面积不超过5m,则这两 又 ABC+DFE-90*. 种花弃的面积应满足什么条件?(答案不唯一) 。