第1章 1 专题1“三线合一”的灵活运用&专题2分类讨论在等腰三角形中的应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

,∠BCA=90°，.BC⊥AC. ∴.∠ABK+∠K=90°，∠ACD+∠K=90°， ED⊥AC,DEBC. .∠ABK=∠ACD CD-AD, 在△BAK和△CAD中，∠BAK=∠CAD,AB=AC, BE-AE.CE-AB.CE-BE. ∠ABK=∠ACD,.△BAK2△CAD(ASA), .CD-BK,..CD=2BE,DF=2BE. ∠ACB=90°，∠A=30°， 专题二分类讨论在等腰 .∠B=90°-30°=60°， .△BCE是等边三角形. 三角形中的应用 19.解：(1) 1.D28或智 3.C4.D5.72或45 (2)= 6.解：①设等腰三角形ABC的顶角是30°，BD⊥AC于点D, 理由如下： 如图①所示.在Rt△ABD中，：∠A=30°，AB=AC=4, 过点E作EFBC,交AC于点F,,'△ABC为等边三角形， .BD=2. ∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°， ,△AEF为等边三角形，∴AE=EF=AF,∴BE=CF, 'ED=EC,∴.∠D=∠ECD. :∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, ∴.∠DEB=∠ECF. DE-EC. 在△DBE和△EFC中，{∠DEB=∠ECF, D BE-FC. ②设等腰三角形ABC的底角是30°，BD⊥AC交CA的延长 ∴.△DBE≌△EFC(SAS),.DB=EF,.AE=DB. 线于点D,如图②所示.在Rt△ABD中，：AB=AC=4, (3)当点E在AB的延长线上时，作EF∥AC,如图所示，则 ∠C=∠ABC=30°，.∠BAD=60°，∠ABD=30°，.AD △EFB为等边三角形，同理可得△DBE≌△CFE. 2.由勾股定理，得BD■√AB一AD-25.综上所述，这 个等腰三角形腰上的高是2或2√3. 7.解：(1)设点M,N运动x秒后，M,N两点重合， 则x×1+12=2x,解得x=12. 故点M,V运动12秒后，M,N两点重合. (2)设点M,N运动t秒后，可得到等边三角形AMN,如图① 所示，AM=tX1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t)cm, :△AMN是等边三角形，∴t=12一2t,解得t=4,.点 :AB=1,AE=2,.BE=1. M,N运动4秒后，可得到等边三角形AMN, .DB=FC=FB+BC=2,CD=BC+DB=3. 专题一“三线合一”的灵活运用 1c2.A3c4g15 6.解：作图：①画射线AE,在射线AE上截 取AB=a: ②作AB的垂直平分线，垂足为O,截 取CO=h; ③连接AC,CB,△ABC即为所求，如 (3)当点M,N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的 图所示。 等腰三角形，由(1)知12秒时M,N两点重合，恰好在点C 7.解：(1)证明：AD⊥BC,.∠ADB= 处，则12秒后，点N在点M下方.如图②所示，假设△AMN ∠ADC=90°. IN 是等腰三角形，，AN=AM,∴.∠AMN=∠ANM,.∠AMC DA平分∠BAC,.∠DAB=∠DAC ∠ANB.:AB=BC=AC,.△ACB是等边三角形， 在△ADB和△ADC中，：∠ADB=∠ADC,AD=AD, .∠C=∠B.在△ACM和△ABN中，AC=AB,∠C= ∠DAB=∠DAC,,.△ADB≌△ADC(ASA) ∠B,∠AMC=∠ANB,'.△ACM≌△ABN(AAS),'.CM= AB=AC,BD=DC,即D为BC的中点」 BN.设当点M,N在BC边上运动，M,N运动的时间为y秒 (2)结论：DF=2BE. 时，△AMN是等腰三角形，∴.CM=(y-12)cm,NB=(36 证明：如图所示，延长BE交CA的延长 2y)cm,由CM=NB,得y-12=36-2y,解得y=16.故假 设成立，.当点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底 线于点K, 边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为16秒. CE平分∠BCK,CE⊥BK, ∴由(1)中结论可知CB=CK, 2直角三角形 BE-KE. 第1课时直角三角形的性质与判定 :∠BAK=∠CAD=∠CEK=90°， 1.A2.A3.D4.50°5.C6.D7.24 3专题一“三线合一”的灵活运用（答案3》 类型1利用“三线合一”性质进行计算 目类型2利用“三线合一”性质作图 1.(2024·成都锦江区期中)如图所示，在△ABC 6.如图所示，已知等腰三角形底边长为a,底边 中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,点E是 上的高的长为h,求作这个等腰三角形.（要 AD上一点，DE=BD,∠ABC=70°，则 求：写出作法，用尺规作图，保留作图痕迹) ∠ACE的度数为( A.18° B.27° C.25 D.36 h 类型3利用“三线合一”巧证明 7.探究拓展(1)【探究发现】如图①所示，在 第1题图 第2题图 △ABC中，若AD平分∠BAC,AD⊥BC,可 2.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是BC 以得出AB=AC,D为BC的中点，请用所学 边上的高，E,F是AD的三等分点，若△ABC 知识证明此结论 的面积为12，则图中△BEF的面积为( ) (2)【学以致用】如图②所示，直角三角形BEF A.2 B.3 C.4 D.6 和等腰直角三角形ABC有一个公共的顶点 3.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC= B,顶点C与顶点F也重合，且∠BFE= AD,∠BAD=90°，作DE⊥AC于点E,DE= ∠ACB,试探究线段BE和DF的数量关 8,连接BE,BE=BC,则AE的长为() 系，并证明。 A.10 B.8 C.6 D.4 D 2 第3题图 第4题图 4.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5,∠A= 60°，BD⊥AC于点D,点E在BC的延长线 上，要使DE=DB,则CE的长应 等于 5.如图所示，在△ABC中， AB=AC,∠BAC=80° AD是BC边上的中线，BE 是∠ABC的平分线，AD与BE交于点O,则 ∠DOE的度数为 优学案课时通 专题二分类讨论在等腰三角形中的应用（答案3 类型1关于等腰三角形的边的讨论 5.等腰三角形的一个角是另一角的2倍，则这个 1.(2024·驻马店驿城区期末)已知等腰△ABC 等腰三角形的底角的度数是 的周长为16，其中一边长为6，AD为底边BC 6.等腰三角形的一个内角为30°，腰长为4，求这 上的高，则BD的长为() 个等腰三角形腰上的高. A.2 B.3 C.4或6D.2或3 2.乐乐在学习中遇到了这样的问题： 在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°， AC=4,BC=6,将△ABC沿某一条直线剪 开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个 三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？ 经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形 分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形 的某个顶点，请你帮助乐乐写出当这条直线经 目类型3探究题中等腰三角形的分类讨论 过点A时，剪出的等腰三角形的面 7.如图所示，在△ABC中，AB=BC=AC= 积是 12cm,现有两点M,N分别从点A,点B同时 出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一 次到达点B时，M,N同时停止运动. (1)点M,N运动几秒后，M,N两点重合？ 类型2关于等腰三角形的角的讨论 (2)点M,N运动几秒后，可得到等边三角 3.(2023·临沂郑城二模)如图所示，在△ABC 形AMN? 中，AB=AC,∠B=30°，以点C为圆心，CA (3)当点M,N在BC边上运动时，能否得到以 长为半径作弧，交直线BC于点P,连接AP, MN为底边的等腰三角形AMN？如果存在， 则∠BAP的度数是( 请求出此时M,N运动的时间. A.45 B.135 C.45°或1359 D.30或135 4.(2024·济宁任城区期末)在△ABC中，AB= AC,∠B=40°，D是BC边上的动点（不与B、 C重合)，连接AD,若△ACD为等腰三角形， 则∠ADB的度数为( A.80 B.110 C.80或120 D.80°或110° 一八件级卡新数学的 15