第1章 4 阶段检测二(3～4)&专题3角平分线中三种常用作辅助线的方法-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（北师大版）

阶段检测二(3~4)（答案7） 一、选择题 5.如图所示，在△ABC中，AB边的垂直平分线 1.如图所示，电信部门要在公路1旁修建一座移 DE,分别与AB,AC边交于D,E两点，BC边 动信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个 的垂直平分线FG,分别与BC,AC边交于F, 城镇M,N的距离必须相等，则发射塔应该建 G两点，连接BE,BG.若△BEG的周长为 在() 16,GE=1,则AC的长为() A.A处 B.B处 A.13 B.14 C.C处 D.D处 C.15 D.16 B D 第5题图 第6题图 第1题图 第2题图 6.如图所示，在△ABC中，AC和BC的垂直平 分线l1和1，分别交AB于点D,E,若AD= 2.如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC,BC 3,DE=4,EB=5,则S△A等于() 的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连 A.36 B.24 C.18 D.12 接CF.若∠A=50°，∠ABD=26°，则∠ACF 7.(2024·泰安东平期末)如图所示，在△ABC 的度数为( 中，∠ABC、∠FCA的平分线BP、CP交于点 A.66 B.52° P.延长BA、BC,PM⊥BE于点M,PN⊥BF C.46 D.42 于点N,则下列结论：①AP平分∠EAC: 3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，边AB ②∠ABC+2∠APC=180°；③∠BAC= 的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连 接BE,CD,若BC=5,CD=6.5,则△BCE的 2∠BPC;④S△PAc=S△MP+S△NP.其中正 确结论的个数是( ) 周长为( A.1个 B.2个 A.17 B.18 C.3个 D.4个 C.19 D.20 第3题图 第4题图 4.如图所示，在△ABC中，∠B=30°，AB的垂 第7题图 第8题图 直平分线交BC于点E,交AB于点D,连接 二、填空题 AE,若AE平分∠BAC,BE=4,则CE的长 8.如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高 为( ) 线，∠ABC的平分线交CD于点E,当BC= A.8 B.6 4,△BCE的面积为2时，DE的 C.4 D.2 长为 一八年级，下领+数学：的 9.如图所示，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的 12.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直 平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点 平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且 O,连接OB.如果∠ABO=20°，那么∠ACB BD=DE,连接AE. 的度数为 (1)若∠BAE=40°，求∠C的度数 (2)若△ABC的周长为13cm,AC=6cm,求 DC的长. 公 第9题图 第10题图 10.(2024·扬州邗江区期末)如图所示，在 △ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂 直平分线PE交于点P,垂足分别为D,E,连 接PA,PB,PC,若∠PAD=45°，则∠ABC= 13.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别 三、解答题 交BC,CD于点E,F. 11.推理能力如图所示，已知：E是∠AOB的 (1)求证：△CEF是等腰三角形 平分线上一点，EC⊥OB,ED⊥OA,垂足分 (2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上， 别是C,D,连接CD,且交OE于点F. 猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说 (1)求证：OE是CD的垂直平分线， 明理由 (2)若∠AOB=60°，请你探究OE,EF之间 (3)在(2)的条件下，若CF=2,求△ABE的 有什么数量关系？并证明你的结论。 面积. 32 优学棒课时温一 专题三角平分线中三种常用作辅助线的方法（答案7） 国类型1国作垂线段构造对称图形 类型2补形法构造对称图形 1.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，3.如图所示，在△ABC中，AB=BC,∠ABC= AB∥CD,M为BC边上的一点，且AM平分 90°，D是AB上一点，AE⊥CD交其延长线于 ∠BAD,DM平分∠ADC.求证： 点E.且AE=CD,BD=8cm,求点D到 (1)AM⊥DM (2)M为BC的中点. AC的距离. 2.一题多解如图所示，点C是∠MAN的平分 线上一点，CE⊥AB于点E,B,D分别在 AM,AN上，且2AE=AD+AB.求证：∠1+ ∠2=180°. D 类型3折叠法构造对称图形 4.如图所示，在△ABC中，AD是∠CAB的平分 线，且AB=AC+CD,求证：∠C=2∠B. 一八年级下做数学$ 33'∠BCD+∠ACD=60°，∠ACE+∠ACD=6O'. BE=AE=4. ∴.∠BCD=∠ACE..△CAE≌△CBD(SAS), .BD=AE=4,∠CDB=∠CEA=60', “△ABE的面积为2BE·AC=2×4×2尽=45. .∠CDE=∠CDB,∴.DC平分∠ADB. ∴△ABE的面积为43 SAADE AFAD21 由2)知部一册了2 专题三角平分线中三种常用 2 作辅助线的方法 1.证明：(1)，AB∥CD,.∠BAD十∠AIC=180,,AM平分 AG1CcG-号c-, ∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°， ∴∠MAD+∠ADM=90°，.∠AMD=90°，即AM⊥DM. ∴AG=√AC-CG=√(2V7)-(7)2=√2I, (2)如图所示，作MN⊥AD交AD于 ∴5ar=2B0…AG=号×2万XVI=7, 点N.:∠B=90°，AB∥CD,.BM AB,CM⊥CD.,AM平分∠BAD, DM平分∠ADC, :.Sancr=3 ×7g=143 3 .BM=MN,MN=CM,∴.BM= CM,即M为BC的中点. 2.证明：方法1：如图①所示，作CF⊥AN于点F, :AC平分∠MAN.∠3=∠4. ,'CE⊥AM,∴.CF=CE,∠CFA=∠CEA=90, .△ACF≌△ACE(AAS),.AF=AE 2AE-AD+AB.AE-(AD+AB)-(AF-DF+ 阶段检测二(3~4) 1.C2.B3.A4.D5.B6.C7.D8.19.72 AE+EB)-AE+(BE-DF).BE-DF-0. 10.45 ,.BE=DF,.△DFC≌△BEC(SAS),.∠5=∠2 1L.解：(1)证明：：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB, :∠1+∠5-180°.∴∠1+∠2=180°. ED⊥OA, 方法2：如图②所示，在AM上截取AG=AD,连接CG, ∴.DE=CE.,OE=OE,.Rt△(ODE≌Rt△OCE(HL), ,∠3=∠4.AC为公共边，∴.△ADC≌△AGC(SAS), .OD=OC,∴.△DC是等腰三角形. ∴∠1=∠5. ,OE是∠AOB的平分线，.OE是CD的垂直平分线. 2AE-AD+AB.AE-(AD+AB)(AG+AE+ (2)OE=4EF.证明：：OE是∠AOB的平分线，∠AOB= 60,.∠AOE=∠B0E=30°， EB)-(AE-EG+AE+EB)-AE+(EB-EG). ,EC LOB,ED⊥OA,.OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°， .EB-EG=0,.EG=EB.又，CE⊥AB,∴.BC=GC, ∴∠EDF=30,.DE=2EF,.OE=4EF .∠2=∠6.，∠5+∠6■180°，，∴.∠1+∠2=180 12.解：(I):AD⊥BC,BD=DE,∴AD垂直平分BE.又：EF 垂直平分AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE. N :∠BAE-40.∠AED-70,∴∠C-号∠AED=35 (2):△ABC的周长为13cm,AC=6cm, DA D ∴.AB+BE+EC=7cm.即2DE+2EC=7cm, .DE+EC=DC=3.5 cm. 13.解：(1)证明：AE平分∠CAB.∴∠CAE=∠BAE. :∠ACB=90°，.∠CAE+∠CEA=90. ① CDLAB,∴∠ADC=90°，∴∠BAE+∠AFD=90°， 3.解：如图所示，延长AE交CB .∠AFD=∠AEC, 的延长线于点F,作DG⊥AC ∠AFD=∠CFE,∴.∠AEC=∠CFE,∴CE=CF, 于点G. ,△CEF是等腰三角形. ,AE⊥CD,.∠AED=90° (2)AB=2AC,理由：，∠ACB=90°， ,∠ABC=90°，∠ADE= .∠CAE+∠EAB+∠B=90°. ∠CDB,∴.∠EAD=∠DCB. :点E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB, 在△ABF和△CBD中， ∴，∠EAB=∠B. I∠FAB=∠DCB, :∠CAE=∠BAE.·∠CAE=∠EAB=∠B=30°， AB-CB, ..AB=2AC. ∠ABF=∠CBD, (3)∠ACE=90°，∠CAE=30,CF=CE=2, .△ABF≌△CBD(ASA),∴.AF=CD ∴.AE=2CE=4,由勾股定理，得AC=23, 1 AE=CD,AE=AF,即AE=EF ∴.∠DEF=∠ABC 在△BAC与△EDF中， :AE⊥CD,.△AFC为等腰三角形，.CD平分∠ACF I∠ABC=∠DEF, DG⊥AC,DB⊥BC,.DG=DB=8em ∠BAC=∠EDF, 即点D到AC的距离为8cm AC=DF, 4.证明：在AB上截取AE=AC,连接DE,如图所示， .△BAC≌△EDF(AAS),,.AB=DE AB=AC+CD. ..CD=EB 【例或或号 :AD是∠CAB的平分线， 【变式训练3】85或115 .∠CAD=∠EAD 【通模拟】 在△CAD和△EAD中， 1.D2.D3.A4.C5.a<b26.25-2 AC=AE. :∠CAD=∠EAD, 7.23或2或6 AD=AD. 8.解：(1)证明： ①.AD∥BE .△CAD≌△EAD(SAS), ∴.∠C=∠AED.CD=DE=BE,.∠B=∠EDB. .∠ADB=∠DBC. :∠AED=∠B+∠EDB=2∠B.∴.∠C=2∠B. :BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC, 本章综合提升 ∴∠ABD=∠ADB,AB=AD. ②@，AD∥BE,·∠ADC=∠DCE. 【本章知识归纳】 由①知AB=AD, 等角平分线中线高线相等等边相等相等60° 又'AB=AC,AC=AD, 相等相等等腰三角形一半平方和平方直角三角 .∠ACD=∠ADC, 形相等相等相等相等相等相等结论条件 .∠ACD=∠DCE, 【思想方法归纳】 .CD平分∠ACE 【例1】A 【变式训练1】D (2)∠BDC=专∠BAC,证明： 【例2】 BD.CD分别平分∠ABE,∠ACE. 解：如图①所示。 (1)FE=FD. ∴∠DBC=∠ABC,∠DCE= 2∠ACE. (2)成立.证明：如图②所示，过点F作FG⊥AB于点G,作 :∠BDC+∠DBC=∠DCE, FH⊥BC于点H,作FK⊥AC于点K, :AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线， i∠BDC+∠AC=∠ACE. ∴.FG=FK=FH, ,∠BAC+∠ABC=∠ACE, 在四边形BGFH中，∠GFH=360°一60°-90°×2=120°. :AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，∠B=60, ·∠BDC+ 2∠ABC= 2∠ABC+ 2∠BAC, ∴∠FAC+∠FCA=2(180-609=60. 六∠BDC-号∠aAC 在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=180°- 9.C10.B11.B12.(1.4)13.314.60 60°=120°，.∠EFD=∠AFC=120°=∠GFH. 第二章一元一次不等式与 ∴.∠EFG=∠DFH I∠EFG=∠DFH, 一元一次不等式组 在△EFG和△DFH中，《FG=FH, 1不等关系 ∠EGF=∠DHF=90°， 1.A2.(1)>(2)<(3)≥(4)>(5)>(6) ∴.△EFG≌△DFH(ASA)..FE=FD 3.D 4.(1)b≥0(2).x-3≤5(3)a2-62≥5 (4)5x-3>4x 5.D6.B7.B8.A9.B10.D11.C 12.①x≤5.5②y≤300h3.5④12 13.10.x-5(20-r)>160 2 14.租用x辆45座客车和y辆30座客车的总载客量不少于 【变式训练2】解：他的说法正确，理由如下： 500人 :AC⊥BF,ED⊥BF, 15.解：(1)为响应“绿色生活，美丽家同”号召.某社区计划种植 ,∴.∠BAC=∠EDF=90°， 甲，乙两种花弃来美化小区环境.若种植甲种花卉xm',乙 ,.∠DEF+∠DFE=90 种花齐ym,且种植两种花卉的面积不超过5m,则这两 又∠ABC+∠DFE=90°， 种花卉的面积应满足什么条件？（答案不唯一）