专题1.6 垂直平分线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.6 垂直平分线中的几何综合 · 典例分析 【典例1】【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）直接证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得、，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答； （3）由题意可得，如图∶作线段，使， ，连接， 可证是等边三角形可得，再证明可得，进而得到的最小值为，即，即；如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则；根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可得点R在直线上；然后根据三角形的三边关系可得当共线且直线垂直于，即点R和点O重合，有最小值，最后根据等腰三角形的对称性解答即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴的周长为． （3）解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图∶作线段，使， ，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．， ∵ 的最小值为，即 ∴． 如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则 ∵平分，点F关于的对称点R， ∴点R在直线上， ∵， ∴当共线且直线垂直于， ∴点R和点O重合，即时，有最小值， ∵平分，点R在直线上，点F关于的对称点R， ∴ · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为，连接，，，若为直线上一个动点，则周长的最小值为（   ）．    A．12 B．24 C．36 D．48 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在等腰中，，，点D为的中点，连接点M是延长线上一点，点N在延长线上，当为等边三角形时，下面的结论：①；②；③；④若的面积为4，则四边形的面积为16．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，在三角形中，，，平分，交于E，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，AD是的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延长线于K，连接PD、AK，则下列结论：①；②；③；④；⑤图中有5对全等三角形；⑥．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（23-24八年级上·云南大理·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与 交于点． 则下列结论正确的有（   ） ①连接，则直平分线段；②是等边三角形：③若，则；④若，，则 ． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 10．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形点是延长线上的一个动点，连接，点是的垂直平分线与的角平分线的交点，连接，，过点作于点． 给出下面五个结论： 垂直平分，点一定是线段的中点；当时，与互相垂直平分；当时，；点在运动过程中，的大小始终为当时，上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 12．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，，与的数量关系是 ． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为，其中正确的结论为 ．（填序号） 17．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是 ．（填序号） 18．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，点E，F分别是的边、的中点，边分别与、相交于点H，G，且，，连接、、，下列四个结论；①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号）． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，点在上，垂直平分，分别交，于点，． （1）连接，求证：； （2）若，，求的长． 20．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，分别垂直平分，交线段于的延长线交于点F，设O为中点，连接． （1）求的度数； （2）证明：； （3）连接，若的周长为12，求的最小值． 21．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，为边下方一点，为线段的中点，为线段的垂直平分线上一点，． （1）如图1，若点在同一条直线上． ①求证：点在线段的垂直平分线上； ②请直接写出的度数． （2）如图2，若点不在同一条直线上，连接，先画出关于对称的图形，再求的度数． 23．（24-25八年级上·云南昭通·期末）（1）如图①，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，交于点F，连接，求证： ； （2）如图②，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，点D 是底边 的中点，求证：是线段的垂直平分线； （3）如图③，在中，，点D为上任意一点，在上找一点G，使得，请探究与的数量关系，并说明理由 24．（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，在中，，，，点和点分别是边上的两动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，到达点后停止；点从点开始沿的方向运动，速度为每秒，到达点后停止，它们同时出发，设运动时间为秒． （1）当秒时，求的面积； （2）当为何值时，点恰好在边的垂直平分线上； （3）当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 25．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．    （1）当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）． （2）点N在上时，若为直角三角形，求t的值． （3）连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值． 26．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，作射线，点C关于直线的对称点为D，连接，直线，分别交于点E，F，连接． （1）如图1，射线在的外部，当时，求的度数； （2）如图2，射线的一部分落在内部，当时， ①直接写出的度数； ②求证：． （3）当时，若是等腰三角形，直接写出的度数． 27．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于 （1）如图1，若垂直平分， ①求证：； ②判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，M是线段CE上一点，若，求证： 28．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． （1）当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 垂直平分线中的几何综合 · 典例分析 【典例1】【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）直接证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得、，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答； （3）由题意可得，如图∶作线段，使， ，连接， 可证是等边三角形可得，再证明可得，进而得到的最小值为，即，即；如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则；根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可得点R在直线上；然后根据三角形的三边关系可得当共线且直线垂直于，即点R和点O重合，有最小值，最后根据等腰三角形的对称性解答即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴的周长为． （3）解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图∶作线段，使， ，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．， ∵ 的最小值为，即 ∴． 如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则 ∵平分，点F关于的对称点R， ∴点R在直线上， ∵， ∴当共线且直线垂直于， ∴点R和点O重合，即时，有最小值， ∵平分，点R在直线上，点F关于的对称点R， ∴ · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出． 【解题过程】 解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于， ∴，，， ∴， 此时取得最小值， ∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ，， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为，连接，，，若为直线上一个动点，则周长的最小值为（   ）．    A．12 B．24 C．36 D．48 【思路点拨】 如图：连接，利用对称的性质得到垂直平分，则，然后证明可得；然后证明为等边三角形，所以，再利用垂直平分，则，所以 (当且仅当P、A、E共线时取等号)，于是可判断P点运动到B点时，的是小值为24,然后求出的最小周长即可． 【解题过程】 解：如图：连接，    ∵点A关于射线对称点为， ∴垂直平分， ∴， 在和中，、、, ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴ 当且仅当P、A、E共线时取等号，即点P点运动到B点时，的最小值为24，此时周长的最小值为36． 故选C． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明，根据性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解题过程】 解：连接，， ∵，的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点与点恰好重合， ∴，, ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和定理即可得到结论． 【解题过程】 解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故选∶D． 5．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，平行线的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，延长到T，使得，连接，构造半角模型，证明②；利用线段垂直平分线的判定和性质，可证③；无法证明，也就无法证明，从判断①④错误，解答即可． 【解题过程】 解：延长到T，使得，连接 ∵是等边三角形， ∴， ， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故②正确． 连接，交于点Q， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 无法证明，也就无法证明，从判断①④错误， 故选C． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在等腰中，，，点D为的中点，连接点M是延长线上一点，点N在延长线上，当为等边三角形时，下面的结论：①；②；③；④若的面积为4，则四边形的面积为16．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 先说明是线段的垂直平分线，于是可得，，再根据等边三角形的性质可得，，即可判断结论①；然后说明点A，N，C，M共圆，即可判断结论②；在上取点F，使得，利用可证得，于是可得，即可判断结论③；过点C作，交延长线于点E，利用可证得，然后根据，的关系即可判断结论④；综上，即可得出答案． 【解题过程】 解：如图， ∵，点D是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 故结论①正确； ∵，， ∴点A，N，C，M共圆， ∴， 故结论②正确； 如图，在上取点F，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：， 故结论③正确； 如图，过点C作，交延长线于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 但是不能判断，的关系，所以不能得出， 故结论④不正确； 综上，正确的结论有：，共3个， 故选：C． 7．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，在三角形中，，，平分，交于E，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，根据全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可知所在直线垂直平分， ∴， ∴，，故错误； ∵， ∴， 由上可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 综上：正确， 故选：． 8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，AD是的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延长线于K，连接PD、AK，则下列结论：①；②；③；④；⑤图中有5对全等三角形；⑥．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质定理逐项判断即可． 【解题过程】 解：∵AD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，故①正确； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中有5对全等三角形，故⑤正确； ∵， ∵， ∴， ∴，即⑥正确． 综上，正确的有6个． 故选：D． 9．（23-24八年级上·云南大理·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与 交于点． 则下列结论正确的有（   ） ①连接，则直平分线段；②是等边三角形：③若，则；④若，，则 ． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 【思路点拨】 ①由等边三角形的性质得，再由线段垂直平分线的判定定理即可判断；②由等边三角形的性质得，由平行线的性质得，即可判断；③由等腰三角形的性质得，由三角形外角性质得，即可判断；④由等腰三角形的判定可得 ，由等边三角形的性质得，，，即可判断． 【解题过程】 解：①如图， 是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； 故①正确； ② 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 故②正确； ③， ， ， ； 故③错误； ④如图， 垂直平分， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 故④正确； 综上所述：①②④正确； 故选：B． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形点是延长线上的一个动点，连接，点是的垂直平分线与的角平分线的交点，连接，，过点作于点． 给出下面五个结论： 垂直平分，点一定是线段的中点； 当时，与互相垂直平分； 当时，； 点在运动过程中，的大小始终为 当时， 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断；由是等边三角形，平分与，则垂直平分，，证明，是等边三角形可判断；由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断；证明，则，通过垂直平分线的性质，等边三角形的性质和角度和差可判断；由等腰直角三角形的判定和性质及含角的直角三角形的性质可判断． 【解题过程】 解：∵点是的垂直平分线上的点， ∴， ∵是等边三角形，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点一定是线段的中点，故正确； ∵是等边三角形， ∴， 由得：，， ∵， ∴， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴垂直平分， ∴与互相垂直平分，故正确； 由得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，故不正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵点是的垂直平分线上的点， ∴， ∵是等边三角形，平分， ∴垂直平分，， ∵， ∵，， ∴根据三线合一性质得：， ∴， ∴，故正确； 由上得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 11．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，将则的周长的最小值转化为的长是解题的关键．连接，由是的垂直平分线，得点A与C关于对称，则最小值为的长，且为定值，再运用面积即可求出的长，即可解答． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴点A与C关于对称， ∴， 此时，最小值为的长， ∵，点G为的中点， ∴， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∴的最小值为8， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ． 【思路点拨】 如图，连接，证明，而，可得，取关于的对称点，连接，则，证明是等边三角形，可得，而，可得. 【解题过程】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，，而， ∴， ∴， ∴，而， ∴， 取关于的对称点，连接，则， ∵，是的垂直平分线， ∴由轴对称的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，而， ∴， 故答案为： 13．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ． 【思路点拨】 延长到，使，连接，交于点，先求出，进而可依据“”判定，得到，，，进而得，可得是等边三角形，从而得，再根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，得到，进而得，即得，据此可得的度数． 【解题过程】 解：延长到，使，连接，交于点，如图所示， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的平分线， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，，与的数量关系是 ． 【思路点拨】 过点C作于H，设，，则，根据垂直平分得，再根据，得，证和全等得，进而得，，再根据得，即，则，据此可得出与的数量关系． 【解题过程】 解：过点C作于H，如图所示： 设，，则， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 【思路点拨】 过点D作交于H，连接，可证明得到，进而得到；证明，得到，则垂直平分，可得，则 设，则，，可证明；可设，则，，，根据三角形面积得到，或（舍去），即． 【解题过程】 解：如图所示，过点D作交于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴ 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴可设， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为，其中正确的结论为 ．（填序号） 【思路点拨】 由，，得出垂直平分，①正确；证明，得出，，由三角形内角和定理得，得出，由等腰三角形的性质得出平分，③正确；证出，得出是等边三角形，②正确；由等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出，得出，④错误；即可得出结论． 【解题过程】 解：∵与都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴点E在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分，①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，如图所示： ∴由三角形内角和定理得：， ∴， ∵， ∴平分，③正确； ∵，， ∴， ∴是等边三角形，②正确； ∴，， ∵， ∴， ∴，④错误； 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 17．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是 ．（填序号） 【思路点拨】 本题考查了垂直平分线基本性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，综合程度较大，能够处理好各个角度之间的关系是解题关键． 设与的交点为点，先证得为的垂直平分线，再通过角度的换算和线段的等量关系换算可得到是等边三角形，故③正确；得到，又，可得到，故②错误；在上取P点，使得，证得，再通过线段的等量关系可知①正确；，，可得到，进而，从而故④正确． 【解题过程】 解：设与的交点为点， ∵，， ∴，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图，在上取P点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴故④正确， 故答案为： ①③④． 18．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，点E，F分别是的边、的中点，边分别与、相交于点H，G，且，，连接、、，下列四个结论；①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号）． 【思路点拨】 由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，由此即可判断结论①；连接、，由线段垂直平分线的性质可得，，，，进而可得，由等边对等角可得，，，，，进而可得，，即，，于是可得，由此即可判断结论②；以现有条件无法推出，由此即可判断结论③；由三角形的内角和定理可得，由平分可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【解题过程】 解：，， ， ，， ， 故结论①正确； 如图，连接、， 垂直平分，垂直平分， ，，，， ，，，，， ，，， ，， ， 平分， 故结论②正确； 以现有条件无法推出，故结论③错误； ， ， ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，点在上，垂直平分，分别交，于点，． （1）连接，求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】 （1）先画出图形，先证明，根据垂直平分得，进而判定，根据全等三角形的性质即可得； （2）连接，设，则，根据垂直平分得，在中由勾股定理求出，进而可得的长； 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【解题过程】 （1）解：如图，根据题意画出图形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示， 设， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴， 即的长为． 20．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，分别垂直平分，交线段于的延长线交于点F，设O为中点，连接． （1）求的度数； （2）证明：； （3）连接，若的周长为12，求的最小值． 【思路点拨】 本题考查了垂直平分线的性质，整体代换的数学思想，等腰三角形三线合一的性质，三角形三边关系定理，利用两点之间，线段最短定理求最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，，从而得出角相等，再结合三角形内角和定理得出，即可求解； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得出，，证出，再根据点是的中点，即可求解； （3）根据的周长为12，结合，，得出．在四边形中，根据四边形内角和算出，从而证明，同理，．即可算出 ，，根据直角三角形性质和勾股定理得出，，根据，即可解答； 【解题过程】 （1）解：分别垂直平分， ，， ，， ， ． ． 又， ． （2）连接． 分别垂直平分， ，． ． 在线段的垂直平分线上． 又点是的中点， ． （3）的周长为12， ． 由（1）知，，． ． 即． 在四边形中，， ，， ． 即． ，， ． 同理，． 则 ， 是中点，且， ． ， ． ， ， 解得． 则． ， 且当在延长线上时，上式等号成立． 的最小值为． 21．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【思路点拨】 本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【解题过程】 （1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知中，，，为边下方一点，为线段的中点，为线段的垂直平分线上一点，． （1）如图1，若点在同一条直线上． ①求证：点在线段的垂直平分线上； ②请直接写出的度数． （2）如图2，若点不在同一条直线上，连接，先画出关于对称的图形，再求的度数． 【思路点拨】 （1）①连接，利用垂直平分线的性质证明，即可证明点在线段的垂直平分线上；②结合①可知均为等腰三角形，易得，，然后根据“四边形内角和为”可解得； （2）首先作出关于对称的图形，连接，由对称的性质可得，，，再证明，，由全等三角形的性质可得，，易得，进而确定，即可获得答案． 【解题过程】 （1）①证明：如下图，连接，    ∵为线段的中点，， ∴，即垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； ②解：由①可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，作出关于对称的图形，连接， ∵与关于对称， ∴，，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·云南昭通·期末）（1）如图①，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，交于点F，连接，求证： ； （2）如图②，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，点D 是底边 的中点，求证：是线段的垂直平分线； （3）如图③，在中，，点D为上任意一点，在上找一点G，使得，请探究与的数量关系，并说明理由 【思路点拨】 （1）根据，得．根据 ，得，得； （2）连接，由（1）知，得， 根据中点定义得．得，结合，可得垂直平分线段； （3）将顺时针旋转到，连接，则，，得，得．得，根据，得，得，根据，得，得． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴，即． ∵ ， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴，即． ∵ ， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形． ∵D 是底边 的中点， ∴，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； 解：（3），理由： ∵在中，， ∴， 将顺时针旋转到，点D的对应点为点F，连接， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，在中，，，，点和点分别是边上的两动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，到达点后停止；点从点开始沿的方向运动，速度为每秒，到达点后停止，它们同时出发，设运动时间为秒． （1）当秒时，求的面积； （2）当为何值时，点恰好在边的垂直平分线上； （3）当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 【思路点拨】 本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，方程思想及分类讨论思想等知识． （1）由三角形的面积公式即可解答； （2）可得，，在中，得到，可求出； （3）用t表示出，利用等腰三角形的性质可分，和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解题过程】 （1）解：当时，，， ∵， ∴， ∵， ∴的面积； （2）解：如图1，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， 即当时，点P恰好在边的垂直平分线上； （3）解：∵，，， ∴， ①当时，如图2， ∴； ②时，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图4，过点C作于D，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当点Q在边上运动时，为等腰三角形时t的值是11或12或． 25．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．    （1）当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）． （2）点N在上时，若为直角三角形，求t的值． （3）连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）分点M在上和点M在上两种情况求解即可； （2）分点M是的中点和点N是的中点两种情况画图进行求解即可； （3）分四种情况画出图形，列方程进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：当点M在上时，，当点M在上时，． 故答案为：，； （2）解：由题意，点N的速度为，， 当时，点N落在上，此时点M也在上． 当点M是的中点时，如图1， 当点M是的中点时， ， 是等边三角形， ， 此时，满足题意， 当点N是的中点时，如图2， ， 此时，满足题意， 综上所述，满足条件的t的值为或5； （3）解：如图3中，当线段的垂直平分线经过点A时，    ， 则， 解得． 如图4中，当线段的垂直平分线经过点B时，    ，， ， ， 解得． 如图5中，当线段的垂直平分线经过点C时，    ， ， 解得． 如图6中，当线段的垂直平分线经过点A时，    ，， ， ， 解得． 综上所述，满足条件的t的值为或或或． 26．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，作射线，点C关于直线的对称点为D，连接，直线，分别交于点E，F，连接． （1）如图1，射线在的外部，当时，求的度数； （2）如图2，射线的一部分落在内部，当时， ①直接写出的度数； ②求证：． （3）当时，若是等腰三角形，直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）根据轴对称的性质结合等腰三角形的判定和性质求得，计算即可求解； （2）①同（1）理，即可求解； ②在上取点，使，连接，得到是等边三角形，证明，得到，据此即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，结合求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵点C与点D关于直线对称， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①同理求得； ②∵，， ∴， ∴， 在上取点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等边三角形， 当时，如图， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，如图， 此时是线段的垂直平分线， ∴； 当时，如图， 同理，求得是等边三角形， ∴； 当时，如图， 此时是线段的垂直平分线， ∴； 综上，的度数为或或或． 27．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于 （1）如图1，若垂直平分， ①求证：； ②判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，M是线段CE上一点，若，求证： 【思路点拨】 （1）①过作于点，则，由是等腰直角三角形，则，得到即，同理，由垂直平分线的性质得，，则，，再证明，又可证则，从而求解； ②过作于点，则，根据等腰直角三角形的性质得，通过角度和差得，则，从而证明，再证明，根据性质得出，，从而得出，最后由角度和差即可求出，从而证明； （2）过点作的垂线交延长线于点，连接，通过角度和差得出，证明，则，，由，，则，，从而得出，再证明 ，然后根据性质即可求证． 【解题过程】 （1）证明：①如图，过作于点，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理：， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：② ，，理由如下： 如图，过作于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在等腰三角形中，，M为平面内一点． （1）当点M在的延长线上时，连接； ①如图1，若，交于点N，，求的长； ②如图2，若，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，若G为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图3，若，点M在的角平分线上运动（不与点B重合），取中点E，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，设，请用含的式子表示的度数． 【思路点拨】 （1）①证即可得解； ②见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （2）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【解题过程】 （1）解：解：①在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在下方时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴直线垂直平分，则， ∴，， ∴． 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，；当点在下方时，． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$