第10章 专题5综合运用等腰三角形与全等三角形的知识&阶段检测二(1～2)-【优+学案】2024-2025学年七年级下册数学课时通(鲁教版 五四制)

专题五综合运用等腰三角形与全等三角形的知识（答案22） 篮类型1照综合运用等腰三角形与全等三角形 类型2综合运用等腰三角形与全等三角形 的知识推理计算 的知识推理证明 1.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,∠A= 3.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 20°.取AB上一点D,使AD=BC,过点D作 AC=BC,点D是AC上一点，过点A作BD DE∥BC且DE=AB,连接EC,DC,求 的垂线交BD的延长线于点E,交BC的延长 ∠DCE的度数. 线于F,且BD=2AE. 求证：(1)∠EAC=∠DBC. (2)BD平分∠ABC. 2.如图所示，点C在线段AB上，DA⊥AB,EB⊥4.已知：在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点 AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC= D是AB的中点，点E是AB边上一点. AB,∠AFB=51°，求∠DFE的度数. (1)如图①所示，过点B作BF⊥CE于点F, E 交CD于点G,求证：AE=CG. (2)如图②所示，过点A作AH⊥CE,交CE 的延长线于点H,并交CD的延长线于点M, 求证：CM=BE, 88 优学稀说的一 阶段检测二 (1~2)(答案P22) 一、选择题 二、填空题 1.几何直观如图所示中全等的三角形是( 6.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠B= 50°，则∠A= 8 em 7.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠CAB的 9 cm 30 平分线与外角∠CBD的平分线交于点M,且 5cm 5与 ∠AMB=35°，则∠CAB= A.①和② B.①和③ C.②和③ D.②和④ 2.如图所示，在△ABC中，AB=AC,DE∥BC, D ∠ADE=40°，则下列结论不正确的是( 8.如图所示，AB=AC,要说明△ADC≌ A.∠B=40 B.∠AED=509 △AEB,添加的条件可以是 ,(填写 C.∠A=100 D.∠B+∠C=80 序号即可) ①∠B=∠C:②DC=BE: ③AD=AE:④∠ADC=∠AEB. 第2题图 第3题图 3.如图所示，在△ABC中，AB=AC=10,∠B 60°，AD⊥BC于点D,则CD的长为( 第8题图 第9题图 A.8 B.7 C.6 D.5 9.如图所示，在△ABC中，AB=AC,点D在AC 4.运算能力如图所示，在△ABC中，AB=AC, 上，过点D作DF⊥BC于点F,且BD=BC= CE是△ACB的角平分线，若∠A=50°，则 AD,则∠CDF的度数为 ∠AEC的度数是( 三、解答题 A.50 B.65 10.如图所示，已知∠1=∠2.请添加一个条 C.82.5 D.97.5° 件 ,使得△ABD≌△CDB,然后再 加以证明. 第4题图 第5题图 5.如图所示，AD和CE是△ABC的高，交于点 F,且BD=FD=4,CD=7,则AF的长 为() A.3 B.4 C.5 D.6 一七年级下的+数学也我版 89 11.如图所示，△ABC是等边三角形，D,E分别 13.(2024·上海杨浦区期末)如图所示，已知等 是BC,AC边上的点，连接AD,BE,且AD, 腰△ABC,AB=AC,D是边AB上一点（不 BE相交于点P,∠AEB=∠CDA. 与点A,B重合)，E是线段CD延长线上一 (1)求∠BPD的度数， 点，∠BEC=∠BAC (2)过点B作BQ⊥AD于点Q,若PQ=3, (1)求证：∠EBA=∠DCA. PE=1,求BE的长. (2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的 猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重 合)，∠AEC与∠ABC是否会相等？小丽思 考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段 CE上取一点H,使得CH=BE,连接AH, 然后通过学过的知识就能得到∠AEC与 ∠ABC相等，你能否根据小丽同学的想法， 说明∠AEC=∠ABC的理由. 12.推理能力如图所示，已知AD∥BC,点E为 CD上一点，AE,BE分别平分∠DAB, ∠CBA,BE交AD的延长线于点F. (1)求证：△ABE≌△AFE. (2)求证：AD+BC=AB. 90 优学棒课阴温一∴.∠BGM=∠BGH-∠1=90°-∠3-∠1=90° :点D是AB的中点，∴.∠BCG=∠ACD= (∠3+∠2)=45°， ∴.∠BGM=∠ABC=45°， 2∠ACB=45,.∠CAE=∠BCG. 即∠BGM=∠GBC. BF⊥CE于点F,.∠BFC=90°，.∠ACE= GM=BC, ∠CBG=90°-∠BCF. 在△BGM和△GBC中， ∠BGM=∠GBC, 在△ACE和△CBG中，，∠CAE=∠BCG,AC= GB=BG, CB,∠ACE=∠CBG, ∴.△BGM≌△GBC(SAS),∴.CG=MB, .△ACE2△CBG(ASA),∴.AE=CG. ..CE+CG=MH+MB=BH. (2)由(1)得AC=CB,∠ACM=∠B=45°， AC=BF=5,AE=2,..CE=3, :AH⊥CE,交CE的延长线于点H,∴.∠AHC= .CG=10,..BH=CE+CG=13. 90°，∴∠CAM=∠BCE=90°-∠ACH. 专题五综合运用等腰三角形与 在△CAM和△BCE中，：∠CAM=∠BCE,AC= 全等三角形的知识 CB,∠ACM=∠B, 1.解：如图所示，连接AE. ∴.△CAM≌△BCE(ASA),.CM=BE. :DE∥BC,.∠ADE= 阶段检测二(1~2) ∠B.AB-AC,∠BAC= 1.B2.B3.D4.D 20°，.∠ADE=∠B= 5.A解析：AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E, ∠ACB=80. ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，.∠BAD= 在△ADE与△CBA中， ∠FCD=90°-∠B.在△ABD和△CFD中， AD=BC,∠ADE= :∠ADB=∠CDF,∠BAD=∠FCD,BD=DF, ∠B,DE=AB, ∴.△ABD≌△CFD(AAS),∴.AD=CD=7. ∴.△ADE≌△CBA(SAS), ,FD=4,∴.AF=AD-FD=7-4=3. ∴.AE=AC=AB=DE,∠DAE=∠ACB=80°，6.80°7.40°8.①③④9.18 ∠AED=∠BAC=20. 10.解：AB=CD(答案不唯一) ∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°， 证明：在△ABD和△CDB中，'BD=DB, .△ACE是等边三角形， ∠1=∠2，AB-CD, .CE=AC=AE=DE,∠AEC=∠ACE=60°， ∴.△ABD≌△CDB(SAS). ∴△DCE是等腰三角形， 11.解：(1)由△ABC是等边三角形，可得 ∴·∠CDE=∠DCE,∴.∠DEC=∠AEC-∠AED= ∠ABC=∠C=60°. :∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AEB=∠C+ 0°，∴∠DCE=∠CDE=7(180-40)=70 ∠EBC,∠AEB=∠CDA,∴.∠BAD=∠EBC. 2.解：如图所示，连接BD,AE. '∠BPD=∠ABE+∠BAD, ,DA⊥AB,FC⊥AB,.AD∥ ∴.∠BPD=∠ABE+∠EBC=∠ABC=6O° CF,∠DAB=∠BCF=90°. (2)BQ⊥AD于点Q,∠BQP=90° 又DA=BC,FC=AB, ,∠BPD=60°，∴.∠PBQ=90°-∠BPD=30°. .△DAB≌△BCF(SAS), 在Rt△BPQ中， ∴.BD=BF,∠ADB=∠CBF, PQ=3,∠PBQ=30°，.BP=2PQ=6. ∠BDF=∠BFD. 又：PE=1,.BE=BP+PE=6+1=7. 又，AD∥CF,∴.∠ADF= 12.证明：(1)AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA, ∠CFD,,.∠ABF=∠DFB+ .∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠FAE. ∠ADF=∠BFC+2∠CFD. ,AD∥BC,.∠CBE=∠F,∠ABE=∠F 同理可得∠BAF=∠AFC+2∠CFE. 在△ABE和△AFE中， 又：∠AFB=51°，∠ABF+∠BAF=129°， ,∠ABE=∠F,∠BAE=∠FAE,AE=AE, .∠BFC+2∠CFD+∠AFC+2∠CFE=51°+ .△ABE≌△AFE(AAS). 2∠DFE=129°，.∠DFE=39° (2)△ABE≌△AFE,.BE=FE,AB-AF. ∴∠DFE的度数是39 在△BCE和△FDE中，：∠CBE=∠F,BE= 3.证明：(1)·AE⊥BD,∴.∠AEB=90°=∠ACB. FE,∠BEC=∠FED, ∴.∠EAC+∠ADE=90°，∠DBC+∠BDC=90°. .△BCE≌△FDE(ASA),.BC=FD, 又：∠ADE=∠BDC,.∠EAC=∠CBD. AD十BC=AD+DF=AF=AB,即AD+ (2)在△ACF和△BCD中，：∠FAC=∠DBC, BC=AB. AC=BC,∠ACF=∠BCD, 13.解：(1)证明：∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°， ∴.△ACF≌△BCD(ASA),AF=BD ∠BAC+∠ADC+∠DCA=180°， BD=2AE,AE+EF=AF,AE=FE,即E为 ∴.∠BEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+ AF的中点. ∠ADC+∠DCA. BE⊥AF,BA=BF,.BD平分∠ABC 又，∠BEC=∠BAC,∠BDE-∠ADC, 4.证明：(1)，AC=BC,∠ACB=90°， .∠EBA=∠DCA. ∴.∠CAE=∠CBA=45. (2)在线段CE上取一点H,使得CH=BE,连接 22 AH,如图所示. i.a++abab-c+ 1 .a2+b2=c2 6+a6 第2课时直角三角形全等的判定定理 1.A2.C 3.证明：AD⊥BE,∴.∠ACB=∠DCE=90. ,C是BE的中点，∴BC=CE. .AB=AC, 在Rt△ABC和Rt△DEC中，：AB=-DE,BC= ·∠ABC=∠ACB=2(180°-∠BAC), CE,∴.Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). 4.证明：BE=CF,∴BE十EF=CF+EF,即BF=CE 由(1)可知：∠EBA=∠DCA. ,∠A=∠D=90°，'.△ABF与△DCE都为直角 AB=AC, 三角形. 在△ABE和△ACH中，∠EBA=∠HCA, 在Rt△ABF和Rt△DCE中， BE=CH, .BF=CE,AB=CD, '.△ABE≌△ACH(SAS), '.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). ,AE=AH,∠BAE=∠CAH, 5.解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的 .∠BAE+∠DAH=∠CAH+∠DAH, 逆命题： 即∠EAH=∠BAC, 有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，它是 .AE=AH, 真命题. ÷∠ABC=∠AHD=专(180-∠EAH)= 证明如下：如图所示，在Rt△BCE 与Rt△CBD中， 2180-∠BAC, .'BD=CE.BC=CB. .Rt△BCE≌Rt△CBD(HL) .∠AEC=∠ABC ∴.∠DCB=∠EBC. 3直角三角形 6.解：(1)证明：在Rt△ABC和 Rt△ECD中，"'AC=DE,AB=EC, 第1课时勾股定理及其逆定理 ∴.Rt△ABC≌Rt△ECD(HL). 1.C2.B (2)AC⊥DE.理由如下： 3.证明：∠B=90°，AC2=AB2+BC2,EF2= :△ABC≌△ECD,∴.∠BCA=∠CDE BE2+BF,AF2=AB2+BF2,CE=BE2+BC, ∠B=∠DCE=90°，∴.∠BCA+∠ACD=90°， .AF2+CE2=AB+BF2+BE2+BC2=AC2+ ,.∠CDE+∠ACD=90°，，.∠DFC=180° EF,即AF2+CE2=AC2+EF2 (∠CDE+∠ACD)=90°，∴.AC⊥DE 4.A5.45 7.D8.D9.AB=DC(答案不唯一) 6.解：在△ABC是直角三角形，理由如下： 10.证明：，AD,AF分别是两个钝角△ABC和 △ABC中，AB=n2-1,BC=2m,AC=n2+1(n> △ABE的高， 1),∴.AB2+BC2=(n-1)2+(2n)2=n4-2n2+ 1+4n2=(n2+1)2=AC2,即AB2+BC2=AC2, .△ADC,△AFE,△ABD,△ABF都是直角三 角形 ∴.这个三角形是直角三角形，边AC所对的角是直角. 在R1△ADC和Rt△AFE中，，AC=AE,AD=AF, 7.A8.C .Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴.CD=EF. 9.三个角都是60°的三角形是等边三角形 在Rt△ABD和Rt△ABF中， 10.A11.D12.45 .AB=AB,AD=AF, 5 ∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),∴.BD=BF, 13.解：如图所示，不妨设图中的OF为 ,.BD一CD=BF一EF,即BC=BE 秋千的绳索，CD为地平面，BC为身 11.证明：，AC⊥BC,AD⊥BD,,.△ABC和△BAD 高5尺的人，AE为两步，即相当于 都是直角三角形 10尺的距离，E处有一块踏板，EC 在Rt△ABC和Rt△BAD中，，AB=BA,AD=BC, 为踏板离地的距离，它等于一尺 '.Rt△ABC≌Rt△BAD(HI),,AC=BD 设OF=x,即OE=OF=x,FA= ∠CAB=∠DBA. BE=BC-EC=5-1=4(尺)， ,CE⊥AB,DF⊥AB,.∠AEC=∠BFD=90 BF=EA=10尺. 在△ACE和△BDF中，，∠CAB=∠DBA, 在Rt△OBF中，由勾股定理，得OF2=OB+BF, ∠AEC=∠BFD,AC=BD, 即x2=(x一4)2+102，解得x=14.5尺 .△ACE≌△BDF(AAS),∴.CE=DF. .这个秋千的绳索长度为14.5尺 12.解：(1)证明：∠ABC=90°，EF⊥AC, 14.解：(1)(a+b)2(a-b)2 ..∠ABC=∠AFE=90°， (2)由图②可以看出，正方形CDEF的面积一正方 在△AEF与△ACB中，，∠EAF=∠CAB, 形IJKL的面积=4个矩形的面积. ∠AFE=∠ABC=90°，AE=AC, ∴.(a+b)2-(a-b)2=4ab. .△AEF≌△ACB(AAS),.AF=AB, (3):S五边形BFO=S正为形CED十SE方形HFG十 ..BE=CF. S△BD十S△HG=SE方形ABG十S△ABC十S△AGF, (2):△ABC≌△AFE,∴.AB=AF. 23