第9章 3 等可能事件的概率-【优+学案】2024-2025学年七年级下册数学课时通(鲁教版 五四制)

3等可能事件的概率 第1课时利用概率公式求概率（答案P14) 通基础 5.几何直观如图所示，A是某 公园的进口，B,C,D是三个 知识点1等可能事件 不同的出口，小明从A处进 1.(2024·青岛市北区期末)下列属于等可能随 人公园，那么从B,C,D三个出口中恰好从C 机事件的是() 出口出来的概率为 A.任意掷一枚图钉钉尖朝上 B.任意掷一枚均匀的硬币字面朝上 精臣不理解扑克牌花色个数 C.用两条线段组成一个三角形 6.教材P78随堂练习T1变武●在一副扑克牌中， D.明天会下雪 从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为 2.下列事件中，是等可能事件的是 (填 序号) 通能力月》>2999999999929992232 ①抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，朝上 7.现有4张不透明的卡片，正面分别标有数字 的点数是奇数与朝上的点数是偶数： “2”“4”“5”“6”,卡片除正面的数字外，其余均 ②袋子中装有红、黄两种颜色的球，一次抽到 红球与黄球： 相同.现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学 ③随意掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上 从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字 与反面朝上； “能被2整除”的概率为() ④掷一枚图钉一次，钉尖着地与钉尖朝上， 知识点2概率公式 A号 B司 c 3.(2024·泰安宁阳期中)象棋是起源于中国的 8.(2024·济南菜芜区模拟)有8张背面完全相 一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧 同的卡片，其中4张写有“富强”、2张写有“爱 需所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑 国”、2张写有“敬业”，从这些卡片中任意抽取 各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五， 一张，抽到“敬业”的概率是 若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子， 9.(2024·烟台栖霞期末)已知数据：一√2,3， 则该棋子为黑马的概率为( A号 c 5 一√，5，√⑧，，π.从中随机抽取一个数是 D.16 无理数的概率为 4.创新意识◆如图所示，在“妙手推推推”的游戏 中，主持人出示了一个9位数，让参加者猜商 通素养 品价格.被猜的价格是一个4位数，也就是这 10.几何直观如图所示，下列给出的四个条件： 个9位中从左到右连在一起的某4个数字.如 ①∠3=∠4； 果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的 所有4位数中，任意猜一个，则他猜中该商品价格 ②∠1=∠2； 的概率为( ③∠A=∠DCE; 257 651 ④∠D+∠ABD=180° 4 8 9 从中任选1个条件，其中恰能判定AB∥CD B.6 c. D.3 的概率是 60 优十学课阴渔 第2课时 游戏的公平性之摸球游戏（答案P14) 通基础> 5.结论开放小明和小丽想利用摸球游戏决定 谁去看电影，请你帮他们设计一个对双方公平 知识1游戏的公平性之摸球游戏 的摸球游戏。 1.小明和小华想利用摸球来决定谁先去看电影， 他们在袋中装了一个红球和一个白球，这两个 球除颜色外完全相同，任意摸出一球，若摸出 红球，则小明去看电影，若摸出白球，则小华去 6.数材P81习题9.5T4变式◆用12个除颜色外完 看电影，这个游戏是( 全相同的球设计一个摸球游戏， A.公平的 (1)使得摸到红球、白球和蓝球的概率都是】 B.不公平的 C.先摸者赢的可能性大 (2)使得摸到红球的概率为3，摸到白球的概 D.后摸者赢的可能性大 2.口袋里有相同的2个红球、2个白球和5个黑 率为2，摸到蓝球的概率为后： 球，从口袋里摸出1个球，若是红球，则甲胜； 若是白球，则乙胜.谁获胜的概率大( A.甲 B.乙 C.甲、乙一样大 D.不能确定 3.教材P79“议一议”变式◆小颗和小丽玩摸球游 戏：一个袋中装有2个红球、3个白球、4个黑 球，每个球除颜色外完全相同.从中任意摸出 居国不能正确求出概率判断公平性 一个球，若摸出的是黑球，则小颖获胜，否则小 7.运算能力不透明的箱子里有8个除数字号码 丽获胜，请你判断这个游戏公平吗？ 外其余均相同的小球，分别标有1,2,2,3,3,4， 5,5.现随机地从中摸出一个，求： (1)直接写出摸出标有数字4的小球的概率和 摸出标的数字小于4的小球的概率， (2)小敏和小颖想利用摸球来决定游戏胜负， 规则如下：每人随机从这8个球摸出一个小 球，若号码为奇数，则小敏赢，若号码为偶数， 知识京2游戏的设计 则小颖赢，请问这个游戏公平吗？请说明 4.(2024·威海乳山期末)某口袋中有10个球， 理由. 其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球.甲从 袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲 摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若 为黑球则乙获胜.要使游戏对甲、乙双方公平， 则x应该是 一七年级下带数学意维城 61 通能力 10.应用意识小明和小凡一起做游戏.在一个装 有2个红球、3个白球和5个绿球（每个球除 8.运算能力盒子中有8个白色乒乓球、6个黄 颜色外都相同)的袋子中任意摸出一个球，规 色乒乓球、2个红色乒乓球，16个乒乓球除颜 定：摸到红球小明胜，摸到白球小凡胜 色外，形状和大小完全一样，小明同学从盒子 (1)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明 中任意摸出一个乒乓球 理由。 (1)请你计算出摸到每种颜色乒乓球的概率. (2)若你认为不公平，则请你修改游戏规则， (2)小明和小亮一起做游戏，小明或小亮从上 使游戏对双方公平 述盒子中任意摸出一个乒乓球，如果摸到白色 乒乓球，小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对 双方公平吗？为什么？ 9.(2024·淄博桓台期末)在一个不透明的盒子 通素养2>2997>2992 里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜 11.小明和小乐做摸球游戏.一只不透明的口袋 色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干 里放有3个红球、4个绿球和5个白球，每个 个，若从中任意摸出一个白球的概率是号 球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的 球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色 (1)求任意摸出一个球是黑球的概率， 后再放回，若是红球小明得3分，若是绿球小 (2)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得 乐得2分.游戏结束时得分多者获胜， 任意摸出一个球是红球的概率为4？若能，请 (1)你认为这个游戏对双方公平吗？ (2)若你认为公平，请说明理由：若你认为不 写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由 公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏 对双方公平. 62 优学案课时通 第3课时 几何概率（答案P14) 通基础 5.如图所示是一个长方形花园ABCD,E为线段 CD的中点，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区 知识点1与面积有关的几何概率 域的概率是多少？ 1.模型观念在下图中任意画一个点，落在黑色 区域的概率是() A B号 C.π D.50 知识点2与长度有关的几何概率 6.(2024·淄博临淄区期末)如图所示，A,B是数 轴上的点，在线段AB上任取一点C,则点C到 第1题图 第2题图 表示1的点的距离不大于2的概率是. 2.教材P81“议一议变式◆将一个小球在如图所 示的地砖上自由滚动，小球最终停在灰色方砖 7.已知三角形的两条边长分别是7和3，第三边 上的概率为( 长为整数，则这个三角形的周长是偶数的概率 A号 是 c 相固对与时间有关的概率理解不透 8.胜利路与解放路十字路口的交通信号灯，每分 3.新情境(2024·济南市中区开学)大自然中有 钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当 许多小动物都是“小数学家”，如图①所示是蜜 你在十字路口抬头看信号灯时，正好是黄灯的 蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料， 概率为( 多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截 1 1 A.12 6 0.2 面均为正六边形.如图②所示是由7个全等的 正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落 通能力 在如图②所示的某个巢房中，则落在阴影部分 9.(2024·烟台莱阳期末)如图所示，在正方形 所在巢房中的概率为 ABCD中，点M,N是AB的三等分点，分别 以AM,AN为边作正方形.正方形ABCD被 分为如图所示的三个区域.小明同学在正方形 ABCD内进行撒豆子试验，以下说法正确的 2 是() 4.在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验， A.豆子落在区域I的概率最小 则针头扎在阴影区域内的概率为 B.豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C.豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D.豆子落在区域I,Ⅱ，Ⅲ的概 率相同 一七年级下面数学敏饭 63 10.应用意识二十四节气被列入联合国教科文13.一样大小的正方体木块堆放在房间的一角 组织人类非物质文化遗产代表作名录.太阳 (如图所示)，一共垒了5层，其中只有一块颜 运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄 色为红色，其余均为白色.问红色木块垒在第 道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个 几层的概率最大？分别计算红色木块在每一 节气，统称“二十四节气”.这一时间认知体系 层内的概率。 被誉为“中国的第五大发明”.如图所示，指针落 在惊蛰、春分、清明区域的概率是 惊菌 大雪 小雪 24 寒露 秋分 处清立大 11.如图所示，创意广场上铺设了一种新颖的石 子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆 通素养》999293237999 组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺 14.在如图所示的正三角形区域内投针（区域中 白色石子，小鹏在规定地点随意向图案内投 每个小正三角形除颜色外完全相同)，针随机 掷小球，小球都能落在图案内，经过多次试 落在某个正三角形内（边线忽略不计）， 验，发现落在一、三、五区域（阴影）内的概率 (1)投针一次，针落在图中阴影区域的概率是 分别是0.04,0.2,0.36，如果最大圆的半径是 1米，求黑色石子区域的总面积 多少？ 五 (2)要使针落在图中阴影区域和空白区域的 概率均为7，还要涂黑几个小正三角形？请 在图中画出. 12.几何直观，如图所示，从一个大正方形中截去 面积为4cm2和9cm2的两个小正方形，若随 机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中 阴影部分的概率. 9cm2 64 优学案课时通 第4课时 游戏的公平性之转盘游戏（答案P15) 通基础 4.教材P83随堂练习T1变式◆如图所示，转盘被 等分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字 知识点，转盘游戏 1,2,3,4,5,3.转盘指针的位置固定，转动转盘 1.几何直观◆如图所示，小明用转盘设计了一种 后任其自由停止， 游戏，随意转动转盘，转盘停止转动后，若指针 (1)在五四青年节，某校举办了文艺汇演活动. 指向红色，则甲胜；若指针指向黄色，则乙胜. 小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一 则这个游戏( 个名额.小丽想了一个办法：随意转动转盘，若 指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳 红色 去.若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？ (2)请你用这个转盘设计一个游戏（六等分扇 品 形不变)，使自由转动的转盘停止时，指针指向 A.公平 B.对甲有利 的区域的概率为号，并说明你的设计理由.（设 C.对乙有利 D.公平性不可预测 计方案可用图示表示，也可以用文字表达) 2.运算能力如图所示，一转盘被平均分成8份， 转动指针，停止后指针指向的数字即为转出的 数字.现有两种规则：规则A:甲方猜“是正 数”，乙方猜“是负数”：规则B:甲方猜“是负整 数”，乙方猜“是分数”.请问哪个规则公平？ 答： 固固不能正确修改游戏规则 5.(2024·咸海文登区月考)七年级(1)班的同学 分成男生、女生两个组做游戏.现有长度分别 3.如图所示，一个转盘被分成10个相同的扇形， 为2,3的两根小木棒和一个被平均分成4份 颜色分别为红、黄、绿三种，甲、乙二人利用该 的转盘（如图所示），转盘上标有数字1,2,3,4. 转盘做游戏，规则是自由转动转盘，若指针指 游戏规则如下：每个小组分别派出一名代表各 向黄色区域则甲获胜，若指针指向绿色区域则 转动转盘一次，指针指向的数字作为第三根小 乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗？为 木棒的长度.若三根小木棒能够组成三角形， 什么？ 则女生获胜；否则男生获胜 (1)这个游戏对谁有利？请说明理由. (2)请只改动转盘上一个数字，使游戏公平：将 黄 数字 改成 红 红 一七年级下面数学敏通 65 通能力 通素养 6.如图所示，转盘中6个扇形的面积都相等.任 9.如图所示，现有一个可以自由转动的圆形转 意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指 盘，被分成6个面积相等的扇形区域，指针的 针所落扇形中的数小于3”的概率为() 位置固定.转盘游戏规则如下：花费5元可以 A.2 B.3 .6 D.2 随意转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向 哪个区域，就按照这个区域所示的数字相应地 顺时针跳几格，然后按照如表格所示的说明确 定奖金数额， 例如，当指针指向区域“2”时，就向前跳两格到区 域“4”.按奖金说明，区域“4”所示的奖金为5元， 第6题图 第7题图 就可得奖金5元， 7.如图所示，一个质地均匀的正五边形转盘，指 针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察 区域1 4 6 指针指向区域内的数（若指针正好指向分界 奖金3元1元20元5元10元2元 线，则重新转一次)，这个数是一个奇数的概率 (1)在一次转盘游戏中，求获得2元奖金的 是 概率 8.(2024·泰安肥城期末)某商场为了吸引顾客， (2)请你用概率知识判断这个转盘游戏是否公 设立了可以自由转动的转盘（如图所示，转盘 平.若不公平，请改变转盘每个区域对应的奖 被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元 金数额，使其公平 的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果 转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区 域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、 50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购 物.如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获 得购物券30元. (1)求转动一次转盘获得购物券的概率， (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方 式对顾客更合算？ 66 优学案课时通一折线统计图中可知，随着试验次数的增大，频率逐 P(小明胜)=品-行，P(小凡胜)= =2= 渐稳定在常数0.95附近，所以估计从这批足球中 10 任意抽取一只足球是合格品的概率是0.95. P(小明胜)≠P(小凡胜)， 3等可能事件的概率 这个游戏对双方不公平」 第1课时利用概率公式求概率 (2)可将游戏规则修改为 31.C8.4 在一个装有2个红球，3个白球和5个绿球（每个球 1.B2.①③3.C4.B5.36.54 除颜色外都相同)的袋子中任意摸出一个球，规定： 摸到绿球小明胜，否则小凡胜.（答案不唯一） 9.7 11.解：(1)不公平. 3 第2课时游戏的公平性之摸球游戏 1 (2)P(摸出红球)-3+4十5一立，P(摸出绿球) 1.A2.C 4 1 4 4 3解：不公平.小颖获胜的概率=2十3十4一g小丽获 3+4+531 2+35 胜的概率=2十3十49 :小明平均每次得分=}×3=是 1 (分)，小乐平均 名×2=号分， 1 每次得分= ，:号<。，小丽获胜的概率大，这个游戏不公平。 3 4.2 :>号游戏对双方不公平。 5,解：此题答案不唯一：如：取4个球，2个白球，2个红 游戏规则可修改为①一只不透明的口袋里放有2 球，摸到白球，小明去看电影，摸到红球，小丽去看 个红球、3个绿球和5个白球，每个球除颜色外都 电影， 相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任 6.解：(1)用12个除颜色外完全相同的球中红球有 意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球小明 4个、白球有4个，蓝球有4个. 得3分，若是绿球小乐得2分.游戏结束时得分多 (2)用12个除颜色外完全相同的球中红球有4个、 者获胜 白球有6个、蓝球有2个， 7.解：(1)，有8个除数字号码外其余均相同的小球， ②一只不透明的口袋里放有3个红球，4个绿球和 5个白球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都 分别标有1,2,2,3,3,4,5,5， 将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录 “摸出标有数字4的小球的概率为8，摸出标的数 颜色后再放回，摸出红球小明得4分，摸到绿球小 字小于4的小球的概率为？ 乐得3分，（答案不唯一） 第3课时几何概率 (2)这个游戏不公平，理由如下： 1.B2B3.行4. ,有8个除数字号码外其余均相同的小球，分别标 有1,2,2,3,3,4,5,5， 5解：设长方形的面积为1，则阴影部分的面积为易 ∴小敏赢的概率为。，小颖赢的概率为 3 :53 小鸟落在阴影部分的概率为 8心这个游戏不公平. 2 2 8解：1P(揽到白球)一。-P(摸到黄球) 6.3 1.5 8.A9.A10.8 11.解：最大圆的面积为π×1=π， ”小球落在一、三、五区域的概率分别是0.04， 合名，P(摸到红球)=品 63 0.2,0.36, 、三，五区域的面积占大圆面积的百分比分别 (2②)公平.理由：P(摸到白球)-2，P(换到其他 是4%，20%，36%. ∴.黑色石子区域的总面积为一、三，五区域面积的 球)=6+21 和，即π(4%十20%十36%)=0.6π. 16 2一游戏公平 12.解：由题图可知，大正方形中的两个小正方形的边 9.解：(1)：红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任 长分别为3cm、2cm, 意摸出一个白球的概率是了： ∴.大正方形的边长为3十2=5(cm). ,∴.大正方形的面积为52=25(cm), 1 盒子中球的总数为5÷3=15（个）， ∴.阴影部分的面积为25-9一4=12(cm), ∴.盒子中黑球的个数为15一3一5=7（个）， ∴米粒落在题图中阴影部分的概率为)。 :任意摸出一个球是黑球的概率为 7 13.解：，小正方体每层的个数从下到上分别为15， 10,6,3,1个，.红色木块垒在第5层的概率为 (2):任意摸出一个球是红球的概率为 1十3+6+10+153行，红色木块垒在第4层的概 1 3 六盒子中球的总数为3÷412（个）， 率为1十3+6十10+5亦，红色木块垒在第3层 .可以将盒子中的白球拿出3个， 6 10.解：(1)这个游戏对双方不公平， 的概率为1十3十6十10十15一6，红色木块金在第 14 10 10=2 2层的概率为1+3+6十10+15一357，红色木 9.解：(1)列表如下： 指针指向 最后跳到 15 5 的数字 的数字 奖金数额 块垒在第1层的概率为1+3+6十10+153 1 2 1元 3 2 4 红色木块垒在第1层的概率最大. 5元 3 6 2元 14.解：(1)因为阴影部分的面积与三角形的面积的比 4 2 1元 值是号所以投针一次，针落在阴影区域的概 5 4 5元 6 6 2元 率等于 共有6种等可能的结果，因此获得2元奖金的概率 (2)要使针落在图中阴影区域和 为21 6=3 空白区域的概率为？，还要涂黑 (2):转一次转盘的平均收益为6×1+5+2+1十 2个小正三角形，如图所示.（答案不唯一） 第4课时游戏的公平性之转盘游戏 5+2)=号（元 1.B2.规则B 3.解：公平，理由如下： 又：…8 <5一这个转盘游戏对游戏者不公平。 :一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为 更改转盘每个区域对应的奖金数额如下表：（合理即可） 红、黄、绿三种，黄色和绿色的都有3个扇形， 区域1 23456 六指针指向黄色区域的概率是高指针指向绿色区 奖金3元3元2元8元10元4元 城的概率是品这个游戏对甲，乙公平。 本章综合提升 【本章知识归纳】 4.解：(1)不会同意.理由如下： :转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性 一定不会无法 常数可能性” 面积 是号-号，面小芳去的可能性是行， 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)口袋中装有4个红球和8个白球， 游戏不公平。 从口袋中随机摸出一个球是黑球是不可能事件，其 (2)自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数 发生的概率为0. 区城的概率为？，或指针指向的数字小于4时，指针 (2),口袋中装有4个红球和8个白球，共有12个球， 、“从口袋中随机摸出一个球是红球的概率=多一，一 指向的区城的概率为号等，（答案不唯一，只要答案 合理即可) (3)设取走了x个白球，由圈意，得老=号，解得 5.解：(1)对女生有利： x=6. 设构成三角形的第三根木棒的长度为x, ∴取走了6个白球 则3-2<x<2+3,即1<x<5, 【变式训练1】 ,在1,2,3,4这4个数字中，能构成三角形的有2， 解：(1)：袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除 3,4这三个， 颜色外都相同，摸出每一球的可能性相同，∴摸出红 “女生获胜的概率是 1 5 ,男生获胜的概率是4， 球的概率是5+103 所以对女生有利. (2)设放入红球x个，则黄球为(9一x)个， (2)45(答案不唯一) 由题意，利-10。解得4=7，则9-=2 6.B7.5 ∴.放进去的这9个球中红球7个，黄球2个. 8.解：(1)，转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得 【例2】解：(1)0.90.9 购物券的有10种情况， (2)①4.5 ②18÷0.9-5=15（万棵） P转动一次转盘获得购物券)员号 ∴.该地区还需移植这种树苗约15万棵。 (3)此结论错误，理由如下： 2:P(红色)=0P(黄色)= 0P(绿色)= 随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.9附近 摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率 63 是0.9，但是成活的概率是0.9可能发生，也可能不发 2010 生，故若小王移植20000棵这种树苗，不一定成活 200×六+10×号+×50=40（元）. 18000棵 【变式训练2】 ,40元>30元， ∴选择转转盘对顾客更合算. 解：1日 (2)3 15