第4章 专题3三角形三边关系应用的六种常见类型&专题4三角形三种重要线段的应用-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(北师大版2024)

-15(个). 17.解;①设最小内角度数为x{},2倍角为2x^{*,3倍角 为3x*,所以x+2x+3x=180,所以x=30; 故盒子中黑球的个数为,15-3-5-7. ②设最小内角度数为x^{},2倍角为2x^{},3倍角为 (2)任意摸出一个球是黑球的概率为15· 7 6 x*,所以x+2x+6x-180,所以x-20 ③设最小内角度数为x{},3倍角为3x^{},2倍角为 (3)能.’.任意摸出一个球是红球的概率为..可 $6 x*,所以x+3x+6x-180,所以x-18; 以将盒子中的白球拿出3个(方法不唯一). ④设最小内角度数为2x*},其余两个角为3x*和 6x*,所以2x+3x+6x-180,所以x 180 11 (2)游戏公平,理由如下: 360 所以2r三 因为转盘的阴影区域占8等份中的4等份, 所以小明获胜的概率为-2 41 30{或20{或18{或 第2课时 三角形的三边关系 11 则小华获胜的概率为1一 1.C 2.等腰三角形 3.D 4.B 5.14 6. 15 cm或18 cm 7. B 8. C 9. 2<a12 1 10.9 所以小明获胜的概率一小华获胜的概率-- 2. 11.解:.a、b、c分别为△ABC的三边长. 即小明与小华获胜的概率相同, ..a+b>c,a+c>b,c+b>a, 所以游戏公平. 'a+b-c>0,c-a+b>0,b-a-c<o. 【通中考】 'la+b-cl-c-a+bl+lb-a-cl -a+b-c-(c-a+b)+(-b+a+c) -a+b-c-c+a-b-b+a+ 第四章 三角形 -3a-b-c. 1 认识三角形 12.解:小明从家到学校走的路程远,理由:小明从家到 第1课时 三角形及其内角和 学校走的路是AC士CD十BD,小刚从家到学校走 1.C 2.8 4 3.B 4.36{ 的路是AD十BD.因为在△ACD中,AC+CD> $.解: A-B=20{C-2 B,' A- B+$$$$ AD,所以AC+CD+BD>AD+BD,即小明从家 $ 0*.. A+ B+C=180,.B+20^*}+$$ 到学校走的路程远 B+2B-180*, 专题三 三角形三边关系应用 'B-40*,' A-60*, C-80 的六种常见类型 6.B 7.C 8.C 9.C 10.52 1.C 2.B 3.2x<18 4.C 11.解:设一个锐角为x*,则另一个锐角为(4x-10)^*; 5.解:·.(6-5)+lc-7-0. 由题意得x十(4x-10)-90,解得x-20,4x- b-5-0. -5. :. '解得 c-7-0. 10-4×20-10-70. 1-7. 所以,这两个锐角的度数分别为20{,70① .a为方程a一3-2的解. 12.20或30 13.C 14.90*或40{*15.22.5 '.a-5或a-1. 16.解:因为乙ABC+C+A-180*,ABC 当a=1,b-5.c-7时,1+5<7,不能组成三角形 C,所以2C十A-180 故a-1不合题意; 因为BD1AC,所以 C+ DBC=90{*,所以 .-5. $ C+2 DBC-180*,所以 A-2 DB$C$ '.△ABC的周长-5+5+7-17. 1 6.解:因为在△ABD中,AB十BD>AD,在△ACD 因为△ABC的面积为30,所以SAno-15. 中,AC+CD>AD,所以AB+BD+AC+CD> 因为AE=2ED,AE+DE=AD. AD+AD,即AB+BC+AC>2AD 所以AD-3DE. 7.解:如图所示,延长BP交AC 所以SBo= 于点D. 所以△BDE的面积为5. 在△ABD 中,PB+PD< 16.解:(1)填写表格如下: AB+AD,① 乙BAC的度数 40 60 90 120” 在△PCD中,PC<PD+CD.② 110 120 135 乙BIC的度数 150v ①+②得PB+PD+PC AB+AD+PD+CD. 乙BD1的度数 110 120” 135 一150{ 即PB+PCAB+AC. (2)BIC=BDI,理由如下: 即AB+AC>PB+PC. 因为△ABC的三条内角平分线相交于点1,所以 8.解:':b十c>a,a+c>b,a+b>c. BIC=180*-( 1BC+ ICB)=180* .'b+c-a +lb-c-al+lc-a-b 2. -b+c-a+a+c-b+a+b-c (180*- -a十b十c. BAC)-90+ 2乙BAC.因为AI平分乙BAC. 第3课时 三角形的中线和角平分线 1.B 2.B 3.B 4.A 5.重心 所以DA1一 2乙DAE.因为DEIAI于1.所以 6.内部 内部 内部 7.A 8.25 AID=90{$所以 BDI= AID+ DAI=$$$$ 9.解:因为 BAC-80{,{B-60{},所以 C-180{-$$ 90~} 2BAC.所以BIC-乙BDI. BAC- B-180*-80*-60{*-40。 因为AD1BC. 第4课时 三角形的高线 所以 DAC-90*-C-90*-40*-50{ 1.D 2.D 3.C 4. B 5.50* 因为AE平分DAC. 6.D 7.40{*10{8.104或60* 1 所以 DAE-1 9.解:(1)画出AE,CD如图所示. 2_DAC- 。 10.3cm或7cm 11.C 12.2 13.1 14.解:因为BD是 ABC的平分线. 所以 ABD= DBC 设 DBC-x,则 ABC-C-2x. (2)因为AB=4.CD-2. 因为 DBC+ACB+ BDC=180*,BDC= -AB·CD- 所以SAc= 1 87{,所以3x+87*}-180{,所以x-31*。 即 ABC-C-2x-62* (3)因为SAnc- 1 所以 A-180{*-62*-62*-56^*。 所以BCxX3-4.所以BC- 8 15.解:(1)因为 BED+ AEB-180{*,ABE十 3. BAD+ AEB-180{*, 10.解;PE+PD的值能确定,值为3.理由如下; 所以 BED= ABE+ BAD-15^*+25^*-40*$$$$$ 如图所示,连接AP,因为PD |AB,PE AC,所 所以BED的度数为40{。 以PD,PE分别是△ABP,△ACP的边AB,AC (2)因为AD为△ABC的中线 上的高.因为SABc-SABp+Sacp,S△ABc=6,所 。 所以S△ABp-S△Aco= 。 17 :. ECB- 因为AB=AC-4,所以6- 2<ACB=25~, $6-2PD+2PE,6-2(PD+PE),所以 PD+ '$ AEC=$ABD+ $ECB=25^$*$+$ 5^$}=5 0$$ PE-3. (2).F是AC的中点,.'.AF=FC. .△BCF与△BAF的周长差为3. '.(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3或 (AB+AF+BF)-(BC+CF+BF)=3 '$BC-AB-3或AB-BC-3, 三角形三种重要线段的应用 “.AB-9...BC的长为12或6 专题四 全等三角形 1.解:(1)4 1.B 2.乙和丙 (2)①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm 3.解:由△ACB△DEF,可得AC的对应边是DE. 时,即BE-(AE+AC)-2cm,.AB-10 cm. BC的对应边是FE,AB的对应边是DF,ABC的 AC-6cm. 对应角是DFE,A的对应角是D,ACB的 .AE-1cm; 对应角是DEF. ②折线 AE+AC+CD 比折线 BE十BD大 2cm时. 4.A 5.C 6.B 7.7 8.11 9.解:(1)证明:.△ABC△DEF,.'.BC-EF 即AE+AC-BE-2cm,.AB=10 cm,AC= ..BC-CF=EF-CF,..BF=EC 6 cm..'AE-3cm. (2).△ABC△DEF.EF-6 综上,线段AE的长为1cm或3cm. .BC-EF-6. 2.解:(1)在△ABC中,乙ABC+乙ACB=180*一 在△ABC中,BC-AB<AC<BC+AB. 乙A-130, '.6-2<AC<6+2,即4<AC<8. · PBC-1 2ACB. 10.3或5 11.D 12.135 13.5 40 14.解:(1)因为△ABD△ACD,所以B=C 又因为 BAC-90*,所以 B- C-45 ' BPC=180*-(PBC+PCB)=180*- (2)ADBC. 65*-115”. 理由:因为△ABD△ACD,所以BDA= (2)145”. CDA. 1 (3)BPC-90 因为 BDA+CDA=180*,所以BDA= CDA=90*,所以AD1BC. 3.解:因为Sc二 15.解:(1).△BAD△ACE. '.BD-AE,AD-CE. 6×6.539 所以 AC·BE-BC·AD,所以BE 8: 8 *.BD-AE=AD+DE=CE+DE 因为BF是AC边上的中线。 即BD一DE+CE. 39 (2)△ABD满足 ADB-90时,BD/CE 所以SAr 4 理由:.:△BAD△ACE 4.解:(1).AD是△ABC的高...ADB-90 '.E= ADB=90*(添加的条件是 ADB= . BAD-65*,.' ABD-90*-65{*-25^* 90})..' BDE-180*-90-90”- E ·.CE是△ACB的角平分线,ACB一50*. ..BD/CE. 18专题三三角形三边关系应用的六种常见类型（答案P16) 类型1三角形三边关系判断能否组成三角形国类型5三角形三边关系在说明线段不等关系 的应用 中的应用 1.(2024·盐城盐都区模拟)下列各组线段中，能6.如图所示，点D是△ABC的边BC上任意一 构成三角形的是() 点，则AB十BC十AC>2AD.请说明理由. A.2,5,8 B.3,3,6 C.3,4,5 D.4,5,9 类型2三角形三边关系求三角形的第三边的 长或取值范围的应用 2.(2024·游坊模拟)已知三角形两边的长分别 是5和8，则此三角形第三边的长可能是 () A.3 B.6 C.13 D.16 7.如图所示，P为△ABC内任意一点，试说明： 3.已知三角形的三边长分别是8、10、x,则x的 AB+AC>PB+PC. 取值范围是 类型3三角形三边关系求三角形的周长的 应用 4.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm,则 此三角形周长可能是() A.13 cm B.14 cm C.15 cm D.20 cm 类型4三角形三边关系在判断三角形形状中 的应用 类型6三角形三边关系在去绝对值中的应用 5.(2024·北京朝阳区期末)已知a、b、c为 8.已知a、b、c是一个三角形的三边长. △ABC的三边长，且b、c满足(b-5)2+|c-7引 试化简：lb+c-a|+|b-c-a+lc-a-b1. 0,a为方程|a-3|=2的解，求△ABC的周 长，并判断△ABC的形状. 72 优学案课时通一 第3课时 三角形的中线和角平分线（答案P17) 通基础> 知识点3理解三角形角平分线的概念 6.锐角三角形的三条角平分线的交点在这个三 知识点1三角形的中线 角形的 ,直角三角形的三条角平分线 1.如图所示，在△ABC中，D,E,F分别是边 的交点在这个三角形的 ,钝角三角形 AB,AC,BC的中点，G为线段EC的中点，下 的三条角平分线的交点在这个三角形 列四条线段中，是△ABC的中线的是() 的 A.线段DE B.线段BE 知识点4三角形的角平分线 C.线段EF D.线段FG 7.如图所示，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°， AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数 为() A.40 B.45 C.50° D.80° 第1题图 第3题图 2.三角形一边上的中线把原三角形分成两 个() D A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形 第7题图 第8题图 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 8.如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是 3.如图所示，AD是△ABC的中线，则下列结论 △ACD的角平分线，∠BAC=100°，则∠DAE 正确的是( 的度数是 A.AB=BC B.BD=CD 9.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE C.BD=AD D.AC=CD 平分∠DAC,∠BAC=80°，∠B=60°，求 知识点2三角形的重心 ∠DAE的度数. 4.如图所示，已知P是△ABC的重心，连接AP 并延长交BC于点D,若△ABC的面积为20， 则△ADC的面积为( A.10 B.8 C.6 D.5 5.有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手 顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡， 这个支撑点应在三角形木板的 处最 恰当. 一七拌级卡带数学的 73 幡固对所有可能性考虑不全 15.如图所示，AD为△ABC的中线，点E在AD 10.在△ABC中，AC=5cm,AD是△ABC的中 上，AE=2ED 线，若△ABD与△ADC的周长相差2cm,则 (1)当∠ABE=15°，∠BAD=25°时，求 BA的长为 ∠BED的度数， (2)若△ABC的面积为30，求△BDE的 通能力 面积. 11.如图所示，O是△ABC的重心，则图中与 △ABD的面积相等的三角形有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 第11题图 第12题图 12.(2024·泉州晋江模拟)如图所示，BD是 16.推理能力我们知道，任何一个三角形的三条 △ABC的中线，AB=6,BC=4,△ABD和 内角平分线相交于一点，如图所示，若△ABC △BCD的周长差为 的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥ 13.已知：如图所示，在△ABC中，点D,E,F分 AI分别交AB,AC于点D,E. 别为BC,AD,CE的中点，且S△Ac=4cm, (1)请你通过画图、度量，填写下表.（图画在 则阴影部分的面积为 cm", 草稿纸上，并尽量画准确) ∠BAC的度数 40 60° 90° 120 ∠BIC的度数 ∠BDI的度数 (2)从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间 14.数材P92随堂练习T门变式如图所示，在△ABC 有何数量关系，请写出来，并说明其中的 中，∠ABC=∠C,BD是∠ABC的平分线， 道理。 ∠BDC=87°，求∠A的度数， 674 优学案课时通一 第4课时 三角形的高线（答案P17) 通基础 通能力 知识点1三角形的高线 7.如图所示，在△ABC,AD 1.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的 是角平分线，AE是中线， 是( AF是高，∠ABC=40°， EDE ∠ACB=60°，那么∠BAD ∠DAF= 8.已知，AD是△ABC的高，∠BAD=82°， ∠CAD=22°，则∠BAC 2.如图所示，△AEC中AE边上的高是( 9.教材P93习题4.1T8变式)如图所示，△ABC 中，AE,CD是△ABC的两条高，AB=4, CD=2. (1)请画出AE,CD A.EF B.AB C.BE D.CD (2)求△ABC的面积. 知识点2三角形高的位置 (3)若AE=3,求BC的长. 3.若一个三角形三条高的交点在这个三角形的 顶点上，则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断 知识点3和三角形的高有关的计算 4.如图所示，CD,BE是△ABC的两条高，那么 图中与∠A相等的角有() A.1个B.2个 C.3个 D.4个 通素养099999999999999别 10.模型观念如图所示，已知在△ABC中，AB= AC=4,P是BC边上任一点，PD⊥AB, PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为 6,问：PD十PE的值能否确定？若能确定， 第4题图 第5题图 值是多少？请说明理由。 5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分 ∠BAC,若∠1=30°，∠2=20°，则∠B的度 数为 精忽略交点的不同位置 6.三角形三条高的交点在三角形的( A.内部 B.外部 C.顶点上 D.以上都有可能 一七详级卡渐数学 75 专题四 三角形三种重要线段的应用（答案P18) 类型1三角形的中线的应用 国类型3三角形的高线的应用 1.如图所示，在△ABC中，AD是中线，AB= 3.如图所示，在△ABC中，AC=8,BC=6,AD 10 cm,AC=6 cm. 是△ABC的边BC上的高，AD=6.5,BE是 (1)△ABD与△ACD的周长差为 cm. △ABC的边AC上的高，BF是AC边上的中 (2)点E在边AB上，连接ED,若三角形ABC 线，求BE的长及△ABF的面积. 的周长被DE分成的两部分的差是2cm,求线 段AE的长， 类型4目三角形的三条线段的综合应用 4.如图所示，AD是△ABC的高，CE是△ABC 的角平分线，BF是△ABC的中线， 国类型2三角形的角平分线的应用 (1)若∠ACB=50°，∠BAD=65°，求∠AEC 2.如图所示，在△ABC中，BE,CD分别是 的度数。 ∠ABC和∠ACB的平分线，且BE,CD相交 (2)若AB=9,△BCF与△BAF的周长差为 于一点P. 3,求BC的长. (1)当∠A=50时，求∠BPC的度数. (2)当∠A=110°时，求∠BPC的度数. (3)当∠A=a时，求∠BPC的度数. 676 优学案课时通