第4章 4 利用三角形全等测距离-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(北师大版2024)

在△ABE和△FBE中，AB=FB,∠1=∠2， ∴.△BEC2△GHM(SAS),∴.BC=GM,∠3=∠1. BE=BE, 由(2)可知：∠ABC=45°，即∠2+∠3=45°， 所以△ABE≌△FBE(SAS),所以∠A=∠5. ∴.∠BGM=∠BGH-∠1=90°-∠2-∠1=90° 因为AB∥CD,所以∠A+∠D=180°， (∠3+∠2)=45°， 所以∠5+∠D=180. ∴.∠BGM=∠ABC=45°，即∠BGM=∠GBC. 因为∠5+∠6-180°，所以∠6-∠D. GM=BC, 在△CFE和△CDE中，∠6=∠D,∠3=∠4， 在△BGM和△GBC中，{∠BGM=∠GBC, CE=CE, GB=BG, 所以△CFE≌△CDE(AAS),所以CF=CD ∴.△BGM≌△GBC(SAS),∴.MB=CG, 因为BC=BF+CF,所以BC=AB+CD. ..CE+CG=MH+MB=BH. 8.解：(I)证明：，△ABC的高AD、BE交于点F,如 ,AC=BF=5,AE=2,.CE=3, 图①所示： .CG=10,..BH=CE+CG=13. 4利用三角形全等测距离 1.D2.B 3.解：(1)三角形具有稳定性 (2)O是AB和CD的中点， ∴.∠ADC=∠ADB=90°，∠AEB=90°， ..AO=BO,CO=DO, ∴.∠DAC+∠1=90°，∠CBE+∠2=90°. 在△AOD和△BOC中， :∠1=∠2，∴.∠DAC=∠CBE. (AO=BO, (2)在△DAC和△DBF中， ∠AOD=∠BOC, f∠DAC=∠DBE, DO=CO, ∠ADC=∠BDF=90°， ,'.△AOD≌△BOC(SAS) CD=DF, 又AD=38cm,∴.BC=AD=38cm. .△DAC≌△DBF(AAS),∴.BD=AD, 4.解：(1)如图所示. ∴.△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC=45. (2)理由：如图所示，连接AB,因为BO=OC, (3)在HB上截取HM=CE,连接GM,如图② ∠AOB=∠DOC,AO=OD, 所示： 所以△AOB≌△DOC(SAS),所以AB=CD, 即CD的长度就是A,B两点间的距离. 2 ,BE是△ABC的高，GH⊥BH, ∴.∠H=∠BEC=90°，∠BGH=90°-∠2. D 在△BEC和△GHM中， (BE=GH, ∠BEC=∠H=90°， 5.B6.90cm CE=MH, 7.解：由题意得：AC=BC,∠ACB=90°， 23 AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠BCB=7∠ACB=180-a-8, .∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， CD是AB边上的高，，∠BDC=90°， ∴.∠BCE=∠DAC, ∴.∠BCD=90°-∠B=90°-B, 在△ADC和△CEB中， ∠DCE=∠ECB-∠BCD=2(180-&-A) I∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, 3.解：(1)AB=DF,AB⊥DF,理由如下： .△ADC≌△CEB(AAS), 延长AB交DF于M,如图①所示： 由题意得：AD=EC=9cm,DC=BE=21cm, ∴.DE=DC+CE=30cm. 答：两堵木墙之间的距离DE的长度为30cm, 8.解：(1)可行，理由如下： 在△ABC和△DEC中， ①D (AC=DC, :四边形ACDE和四边形BCFG均为正方形， ∠ACB=∠DCE, ∴.AC=DC,∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC, CB=CE, .△ACB≌△DCF(SAS), ∴.△ABC≌△DEC(SAS),.AB=DE. ∴.AB=DF,∠BAC=∠FDC, (2)AB∥DE :∠FDC+∠DFC=90°， AB∥DE,∠B=∠BDE. .∠BAC+∠DFC=90°， 在△ABC和△EDC中， ∴.∠AMF-90°， ∠B=∠CDE, .AB⊥DF. CB=CD, (2)①AB=DF,AB⊥DF,理由如下： ∠BCA=∠DCE, 延长AB交DF于M,交CD于N,如图②所示： ∴.△ABC≌△EDC(ASA), ∴.AB=DE. 问题解决策略：特殊化 1片 n-1 ② 四边形ACDE和四边形BCFG均为正方形， 2.解：(1)∠A=42°，∠B=66°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=72, ∴.∠ACD=∠BCF=90°，AC=DC,BC=FC, CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACD-∠BCD=∠BCF-∠BCD, 即∠ACB=∠DCF, ∠ECB=号∠ACB=36 ∴.△ACB≌△DCF(SAS), ,CD是AB边上的高，∠BDC=90°， ∴.AB=DF,∠BAC=∠FDC, ∴.∠BCD=90°-∠B=90°-66°=24°， :∠ANC=∠DNM, ∴.∠DCE=∠ECB-∠BCD=36°-24°=12. ∴.∠ACN=∠DMN=90°， (2):∠A=a,∠B=B, .AB⊥DF. ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-a-B, ②改变点B的位置，AB与DF之间的关系依然成 CE是∠ACB的平分线， 立，即AB=DF,AB⊥DF,理由如下： 244 利用三角形全等测距离（答案P23) 通基础 长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠 凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 知识点~利用三角形全等测距离 设计为38cm,则由以上信息可推得CB的长 1.(2024·重庆沙坪坝区期末)如图所示，某段河 度是多少？请说明理由. 流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水 过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点 B处，选对岸正对的一棵树A,然后沿河岸直 行20m到达树C,继续前行20m到达点D 处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走.当到 达树A正好被树C挡住的点E处时，停止行 走，此时DE的长度即为河岸AB的宽度.小 开这样判断的依据是() A.SSS B.SAS 4.教材P112习题L,T1变式◆如图所示，在湖的两 C.AAS D.ASA 岸A,B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法 直接度量A,B两点间的距离，某数学兴趣小 组采用以下方法进行测量：在湖岸上选一点 O,连接BO并延长到点C,使得BO=OC,连 接AO并延长到点D,使OD=AO,连接CD, 第1题图 第2题图 则AB=CD,测量DC的长度即为AB的 2.如图所示，A,B,CD是四个村庄，B,D,C在 长度 一条东西走向公路的沿线上，BD= (1)请根据题意，画出测量图案. 1km,DC=1km,村庄A和C,A和D间也有 (2)该小组得出结论“CD的长度就是A,B两 公路相连，且公路AD是南北走向，AC= 点间的距离”，请说明理由 3km,只有A和B之间由于间隔了一个小湖， 无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座桥，测 得AE=1.2km,BF=0.7km,则建造的桥长 至少为( A.1.2 km B.1.1 km C.1 km D.0.7 km 3.(2024·贵州期末)(1)萧县某中学计划为学生 暑期军训配备如图①所示的折叠凳，这样设计 的折叠凳坐着舒适、稳定.这种设计所运用的 数学原理是 (2)图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条 等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的 90 优学条课的温一 通能分力● 通素养 5.新情境小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图所 8.抽象能力【问题情境】 示，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地 如图所示，池塘的两端有A,B两点，现需要测 面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地 量该池塘的两端A,B之间的距离，需要如何 面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C 进行呢？ 处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离 BD,CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC= 90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的 高度是( ① 【方案解决】 同学们想出了如下的两种方案： 方案①：如图①所示，先在平地上取一个可直 接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别 A.1m B.1.4m 延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC, C.1.6m D.1.8m EC=BC,最后量出DE的长就是AB的距离： 6.如图所示，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷 方案②：如图②所示，过点B作AB的垂线 跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距 BF,在BF上取C,D两点，使BC=CD.接着 离是50cm,当小红从水平位置CD下降 过点D作BD的垂线DE,在垂线上选一点E, 40cm时，这时小明离地面的高度是 使A,C,E三点在一条直线上，则测出DE的 小明 小红 长即是AB的距离. 问：(1)方案①是否可行？请说明理由 (2)李明同学提出，在方案②中，并不一定需要 7.应用意识◆如图所示，小虎用10块高度都是 BF⊥AB,DE⊥BF,只需要 就可以 3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂 了，请把李明所说的条件补上，并说明理由， 直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直 角三角板(AC=BC,∠ACB=90),点C在 DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求 两堵木墙之间的距离DE的长度。 一七女年级：下的+数学6 91