第4章 3 探索三角形全等的条件-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(北师大版2024)

16.解：(1)如图①所示，作高. 所以△ADE2△CBF(SSS). (2)如图②所示，作角平分线. (2)成立. (3)如图③所示，连接各中点. 理由：因为AF=CE, 所以AF一EF=CE一EF, 即AE=CF. (AD-CB, 在△ADE和△CBF中，AE=CF, DE=BF, 3探索三角形全等的条件 所以△ADE≌△CBF(SSS). 第1课时利用“边边边”判定三角形全等 (3)结论：ADCB.理由如下： 1.C2.A 如题图①所示.因为△ADE≌△CBF, 3.(1)DA DC CA (2)DC CB DB 所以∠A=∠C, 4.125 所以AD∥CB. 5.证明：AD=BE, 同理可得题图②中ADCB. ∴.AD+DB=BE+BD,即AB=DE, 第2课时利用“角边角”“角角边” (AC=EF, 判定三角形全等 在△ACB和△EFD中，BC=DF, 1.B2.A3.70 AB=ED, 4.证明：：CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E, ∴.△ACB≌△EFD(SSS). ∴.∠AEB=∠ADC=90°， 6.C7.三角形的稳定性8.不稳定性 在△ABE和△ACD中， 9.A10.C11.9012.60° |∠AEB=-∠ADC, 13.证明：，C是AB的中点，.AC=BC, AE=AD, (AC=CB, ∠A=∠A, 在△ACD和△CBE中，AD=CE, .△ABE≌△ACD(ASA). CD=BE. 5.证明：ABCD,∴∠ABE=∠CDF, ∴.△ACD2△CBE(SSS),∴.∠D=∠E. AE∥CF,∠AEB=∠CFD, 14.解：这种做法合理.理由如下： 在△ABE和△CDF中， 在△BDE和△CFG中， ∠ABE=∠CDF, (BD=CF, BE=DF, BE=CG, ∠AEB=∠CFD, DE=FG, ∴.△ABE≌△CDF(ASA),.AE=CF. ∴.△BDE2△CFG(SSS), 6.C7.D8.179.2 .∠B=∠C 10.证明：，∠BAD=∠CAE, 15.解：(1)因为AF=CE, .∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD, 所以AF+EF=EF+CE, 即∠BAC=∠DAE. 即AE=CF. ∠ABC=∠ADE, AD=CB, 在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE, 在△ADE和△CBF中，{AE=CF, AC=AE, DE=BF, .△ABC≌△ADE(AAS). 19 11.解：，EF⊥AC,∴.∠F+∠C=90°， ∠BDA=∠AEC, ∠ABC=90°，∴.∠A+∠C=90°， 在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE, .∠A=∠F, AB=CA, ∠F=∠A, 所以△ADB≌△CEA(AAS), 在△FBD与△ABC中，∠FBD=∠ABC=90°， 所以BD=AE,AD=CE, DB=CB. 所以DE=AE+AD=BD+CE. ∴.△FBD≌△ABC(AAS)..FB=AB. (2)DE=BD十CE,理由如下： 12.A13.D14.B15.316.6 因为∠BDA=∠BAC, 17.解：(1)因为AB∥DE,∠E=40°， 所以∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE, 所以∠EAB=∠E=40°. 所以∠DBA=∠CAE. 又因为∠DAB=70°，所以∠DAE=30. I∠BDA=∠AEC, (2)在△ADE与△BCA中， 在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE, ∠DAE=∠B,AE=BA,∠E=∠BAC, BA=AC, 所以△ADE≌△BCA(ASA),所以AD=BC. 所以△ADB≌△CEA(AAS), 18.证明：∠1=∠2， 所以BD=AE,AD=CE, ·∠1+∠BAC=∠2+∠BAC, 所以DE=AE+AD=BD十CE, ∴∠BAE=∠CAF. 第3课时利用“边角边”判定三角形全等 在△AEB和△AFC中， 1.D2.D3.BC=AD4.28 [∠E=∠F, 5.证明：，∠1=∠2， ∠BAE=∠CAF, ∴.∠1+∠CAD=∠2+∠CAD, AB=AC, 即∠BAD=∠CAE, .△AEB≌△AFC(AAS), (AB=AC, ..AE=AF. 在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE, 19.解：(1)证明：，CF∥AB, AD=AE, ∴.∠ADE=∠F,∠A=∠ECF, ∴.△BAD≌△CAE(SAS). 「∠A=∠ECF, 6.D7.B 在△ADE和△CFE中，{∠ADE=∠F, 8.解：因为∠ACB+∠ACF=∠ACF+∠AED= DE-FE, 180°，所以∠ACB=∠AED.在△ABC和△ADE ∴.△ADE≌△CFE(AAS). 中，BC=DE,∠ACB=∠AED,AC=AE,所以 (2)由(1)可知，△ADE2△CFE, △ABC≌△ADE(SAS),所以AB=AD. .AD=CF=7, 9.C10.140°11.180°12.120° ,AB=10,.BD=AB-AD=10-7=3, 13.解：由题意得AB=AC,AD=AE,∠BAC= 即BD的长是3. ∠EAD=90°，所以∠ABC=∠ACB=45°， 20.解：(1)因为BD⊥直线m,CE⊥直线m, 所以∠BAC+∠CAE=∠EAD十∠CAE,所以 所以∠BDA=∠CEA=90°. ∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中，AB= 因为∠BAC=90°， AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌ 所以∠BAD+∠CAE=90°. △ACD(SAS),所以∠B=∠ACD=45°，所以 因为∠BAD+∠ABD=90°， ∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°，所以 所以∠CAE=∠ABD. DC⊥BE. 20 14.解：(1)(9-3t) ∠BAE+∠BAD=90°， (2)△BPD≌△CQP. 所以∠CAE=∠BAD. 理由如下： 又AB=AC,∠ABD=∠ACE, AB=AC,∴.∠B=∠C. 所以△ABD≌△ACE(ASA),所以BD=CE. ,t=1,.BP=CQ=3cm,PC=9-3=6(cm). 14.解：①当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4米， ,D为AB的中点，AB=12cm, 则BQ=AP=AB-BP=12-4=8(米)， 六BD-AB=6emPC=BD 则P的运动时间是：4÷1=4（分钟）， Q的运动时间是：8÷2=4（分钟）， 在△BPD和△CQP中， 则当1=4分钟时，两个三角形全等： BP=CQ, ②@当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4米， ∠B=∠C, BD=CP, AP=BP=2AB=6米， ∴.△BPD≌△CQP(SAS). 则P的运动时间是：6÷1=6（分钟）， (3)点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， Q的运动时间是：4÷2=2（分钟）， ∴.BP≠CQ. 故不能成立. '∠B=∠C,△BPD≌△CPQ, 综上，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等 BP-CP-BC-号 cm,CQ-BD-6 cm. 专题五全等三角形的构造方法 :3=号船得1一 1.解：(1)证明：如图所示，延长AD交BC于H. 3 ∴点Q的运动速度为6÷号-4(cm/) 阶段检测三(1~3)】 1.D2.B3.A4.B5.B6.A7.锐角 ,BD⊥AH,∴.∠BDA=∠BDH=90°， 8.BC=DE(答案不唯一，合理即可) :∠ABD=∠HBD,BD=BD, 9.115°10.55 ∴.△BDA≌△BDH(ASA), 11.解：如图所示. ∴.BA=BH,∠2=∠BHA, :∠BHA=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C (2),∠ABD=26°，∠BDA=90°， .∠2=64°，.∠AHB=∠2=64°， 12.解：△ABC≌△DEF, ∴.∠AHC=180°-64°=116°， 理由：：BF=EC,∴.BF+FC=EC十FC, DE∥BC,∴.∠ADE=∠AHC=116 :.BC=EF, 2.解：(1)CB为∠ACE的平分线， 在△ABC和△DEF中， .∠ACB=∠FCE, (AC=DF, 在△ABC与△FEC中， ∠ACB=∠DFE, 「∠B=∠E, BC=EF, {∠ACB=∠FCE, ,△ABC≌△DEF(SAS). CA=CF, 13.解：因为AB⊥AC,AD⊥AE, .△ABC≌△FEC(AAS),∴.AB=FE. 所以∠BAE+∠CAE=90°， (2)ABCE,.∠B=∠FCE, 213探索三角形全等的条件 第1课时利用“边边边”判定三角形全等（答案P19)》 通基础> 知识点2三角形的稳定性 6.如图所示，盖房子时，在窗框未安装好之前，木 知识点1利用“SSS”判定三角形全等 工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固 1.如图所示，与△ABC全等的三角形是( 定，其所运用的几何原理是() A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短 C.三角形的稳定性 D.垂线段最短 A.① B.② C.③ D.④ 2.如图所示，在△ABC和△FED中，AC=FD, BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和 △FED全等时，下面的4个条件中：①AE 第6题图 第7题图 FB:②AB=FE:③AE=BE:①BF=BE.可 7.如图所示，在生活中，为了保证儿童的安全，通 利用的是( 常儿童座椅主体框架成三角形，这利用的数学 A.①或②@ 原理是 B.②或③ 8.如图所示，是边长为20cm的活动四边形衣帽 C.①或③ 架，它应用了四边形的 D.①或④ 3.如图所示， (1)连接AD后，当AD= ,AB= ◇X◇X◇X◇X◇XX0 BD= 时，可用“SSS”推得△ABD≌ △DCA. 通能力》9m992n99299999099 (2)连接BC后，当AB= ,BC= 9.几何直观如图所示，在△ABC中，AB=AC, AC= 时，可推得△ABC≌△DCB. BD=CD,点E,F是AD上的任意两点.若 D BC=8,AD=6,则图中阴影部分的面积 为( A.12 B.20 C.24 D.48 第3题图 第4题图 4.如图所示，在△ABC和△ADC中，AB=AD. BC=DC,∠B=125°，则∠D= 5.如图所示，点A,D,B,E在同一条直线上，AC= EF,AD=BE,BC=DF.求证：△ACB≌ △EFD. 第9题图 第10题图 10.要使如图所示的木架不变形，至少需要再钉 上几根木条？( A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 一女年级：下的+数学：6 11.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，D,E 通素养2%92999% 分别为AC,AB上的点，若AD=BD,AE= BC,DE=DC,则∠AED 15.推理能力已知AD=CB,E,F是AC上两 个动点（不与点A,C重合），且有DE=BF, (1)若E,F两点运动到如图①所示的位置， 且有AF=CE,试说明：△ADE≌△CBF. (2)若E,F两点运动到如图②所示的位置， 第11题图 第12题图 仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立 12.如图所示，已知△ABC是等边三角形， 吗？请说明理由. AD=AE,BD=CE,则∠ACE的度数 (3)若E,F两点不重合，且AF=CE,AD和 为 CB平行吗？请说明理由， 13.如图所示，C是AB的中点，AD=CE,CD BE,求证：∠D=∠E. 14.新情境如图所示，工人师傅要检查人字梁的 ∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器， 只有一个刻度尺.他是这样操作的： ①分别在BA和CA上取BE=CG: ②在BC上取BD=CF: ③连接DE,FG,量出DE的长等于FG的 长，则能说明∠B和∠C是相等的，他的这种 做法合理吗？为什么？ 80 优学棒课阴温一 第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等（答案P19) 通基础 5.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD,在 y3>3>>>y33>3>935y533333>953> BD上取两点E,F,使DF=BE,连接AE, 划识点1利用“ASA”"判定三角形全等 CF.若AECF,求证：AE=-CF. 1.教材P106习题4.3T2变式如图所示，下列三角 形中，一定全等的两个三角形是( 4 31m 4 40P60 3 cm 2 A.①② B.①③ C.②③ D.以上都不对 2.打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻 知识点2利用“AAS”判定三角形全等 璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法 6.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,AC= 是( ) DF,要根据“AAS”说明△ABC≌△DEF,还 需要添加下列选项中的( A.AB=DE B.∠C=∠F C.∠B=∠E D.AB=EF A.带①②去 B.带②③去 7.如图所示，下列三角形中一定是全等三角形的 C.带③④去 D.带②④去 是( 3.如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AD, 8 ∠B=∠D,∠1=∠2=40°，点C在DE上.则 28 28 02 8 8 ∠E= 0 ① e ③ ④ A.①和②B.②和④C.①和③D.③和④ 8.如图所示，∠A=∠E,AC⊥BE,AB=EF, BE=26,CF=9,则AC= 4.如图所示，AD=AE,CD⊥AB,BE⊥AC,垂 足分别为D,E.求证：△ABE≌△ACD. 9.如图所示，在△ABC中，D,E分别是边AB, AC上的点，过点C作平行于AB的直线交 DE的延长线于点F.若DE=FE,AB=5, CF=3,则BD的长是 一女年级：下的数学：部 81 10.如图所示，∠ABC=∠ADE,∠BAD= 全一样的三角形，他的依据是() ∠CAE,AC=AE,求证：△ABC≌△ADE A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS 通能力》999999292沙292n9999” 13.如图所示，已知AO平分∠DAE,AD=AE, AB=AC,图中全等三角形有( A.1对 B.2对C.3对 D.4对 14.如图所示，已知AB⊥CD,AB=CD,E,F是 11.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点 AD上的两个点，CE⊥AD,BF⊥AD,若 D在边AB上，DB=BC,过点D作EF⊥ AD=a,BF=b,CE=c,则EF的长为() AC,分别交AC于点E,CB的延长线于点F, 试说明：FB=AB. A.a十b-c B.b+c-a C.a+c-b D.a-b 15.如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交 于点D,若AD=BF,AF=7,CF=2,则BD 的长为 16.如图所示，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE= CD,AB=10,AE=4,则CE= 精对判定方法把握不准确而出错 12.如图所示，用纸板挡住了三角形的一部分，小 明根据所学知识很快就画出了一个与原来完 82 优计学乘说的进 17.如图所示，AB=AE,AB∥DE,∠DAB= 通素养2%92999% 70°，∠E=40° (1)求∠DAE的度数. 20.襟型观念(1)如图①所示，在△ABC中， (2)若∠B=30°，试说明：AD=BC ∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A, D BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D, E.试说明：DE=BD+CE. (2)如图②所示，将(1)中的条件改为：在 △ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直 线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC. 请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系， 并说明理由 18.如图所示，∠E=∠F=90°，∠1=∠2，AC= AB,证明AE=AF. 19.如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CF∥ AB,DF交AC于E点，DE=EF. (1)求证：△ADE≌△CFE. (2)若AB=10,CF=7,求BD的长. 一女年望：下的数学部 83》 第3课时利用“边角边”判定三角形全等（答案P20》 通基础> 5.如图所示，已知AB=AC,∠1=∠2，AD= AE.求证：△BAD≌△CAE. 知识点1利用“SAS”判定三角形全等 1.如图所示，△ABC与△DEF的边BC,EF在 同一条直线上，AB∥DE,且BE=CF,请添加 一个条件，使△ABC≌△DEF,全等的依据是 “SAS”,则需要添加的条件是( A.AC∥DF B.AC=DF 知识点2全等三角形的判定与性质的综合 C.∠A=∠D D.AB=DE 运用 2.如图所示，已知AB=AC,AD=AE,则下列结 6.如图所示，AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌ 论：①EB=DC:②△BPE≌△CPD:③点P △DBC,则可增加的条件是() A.∠ABE=∠DBEB.∠A=∠D 在∠BAC的平分线上.其中正确的是() C.∠E=∠C D.∠ABD=∠EBC A.只有① B.只有② Q 第6题图 第7题图 C.只有①② D.①②③ 7.如图所示，在△MPN中，H是高MQ和NR 3.(2024·九江期末)如图所示，∠ABC= 的交点，且PM=HN,已知MH=3,PQ=2, ∠BAD,用“SAS”判定△ABC≌△BAD,需要 则PN的长为( 添加的条件是 A.5 B.7 C.8 D.11 8.如图所示，在△ABC和△ADE中，延长BC交 DE于F,BC=DE,AC=AE,∠ACF+ ∠AED=180°.试说明：AB=AD. 4.如图所示，BE⊥AC,垂足为D,且AD=CD, BD=ED.若∠ABC=56°，则∠E 84 优计学棒说的益 通能分● 连接DC与AE交于点F.试说明：DC⊥BE 9.(2024·保定期未)在数学课上，老师让每个同 学拿一张三角形纸片ABC,AB=AC,∠B= ∠C=x°，要求同学们利用所学的三角形全等 的判定方法，剪下两个全等的三角形.下面是 四位同学的裁剪方法，如图所示，剪刀沿着箭 头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的 有( 通素养》9909999999 A.1种 B.2种 14.推理能力》如图所示，在△ABC中，AB= C.3种 D.4种 AC=12cm,BC=9cm,D为AB的中点，点 10.如图所示，若AB=ACBD=CD,∠C=30°， P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向 ∠A=80°，则∠BDC= 点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C 向A点运动，设点Q的运动时间是ts. (1)用含有t的式子表示PC= cm. (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相 等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？ 11.如图所示是由边长相同的小正方形组成的网 格，A,B,C,D,E五点均在格点上，则 请说明理由。 ∠ABC+∠ADE的度数为 (3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不 相等，当△BPD与△CQP全等时，求点Q的 运动速度。 12.如图所示，△ABC是等边三角形，D,E分别 是AC,BC上的两点，且AD=CE,AE,BD 相交于点N,则∠DNE的度数是 13.将两个大小不同的含45°角的直角三角板按 如图①所示放置，从中抽象出一个几何图形 (如图②所示)，B,C,E三点在同一条直线上， 一女年级：下的+数学：6 85