第2章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(北师大版2024)

本章综合提升（答案P12) 本章知识归纳 概念：若两条直线只有个公共点，我们称这两条直线为相交线 概念 余角：两个角的和为 余角与 补角：两个角的和为 相交 补角 性质 同角或等角的余角 同角或等角的补角 概念 有公共 角的概念及性质 两边互为 对顶角 性质：对顶角 醒 同位角：裁线旁，被载两线 内错角：戴线旁，枝戴两线 同旁内角：戴线旁，被藏两线 概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是角，就称这 垂直 两条直线互相垂直 一1.平面内，过一点有且只有条直线与已知直线垂直 性质气2直线外一点与直线各点连接的所有线段中，—最短 平行：在同一平面内，不 的两条直线 相交线与平行线 同位角」 两直线平行 内错角，两直线平行 探索直 同旁内角—，两直线平行 线平行 的条件 过直线外一点有且只有条直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线 两直线平行， 相等 平行线的 两直线平行，一相等 性质 两直线平行 一互补 作一个角等于已知角作法 用尺规作角 代步瑞 利用尺规作图比校角的大小 思想方法川纳 D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒 20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程 1.分类讨论思想 中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t :“管链报本章 的值为多少？ 在利用平行线的判定定理判定两条直 线平行时，因位置不确定往往需要进行分类 讨论。 【例1】如图所示，在△AOB和△COD中， ∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点 一七详级卡带数学的 49 【变式训练1】 ∠BMD.请你证明这个结论， (2024·潍坊月考)如果两个角的两边分别 (2)如图②所示，M、N是AB、CD之间的两 平行，且其中一个角的度数比另一个角的度数的 点，且2∠M=3∠N,请你利用(1)中“猪蹄模型” 4倍少30°，那么这两个角的度数分别是 的结论，直接写出∠B、∠C、∠M三者之间的数 量关系 2.数形结合思想 写链授本章… 利用平行线的性质解决实际应用问题 以及利用平行线探究角度之间的和差倍分 关系时，往往运用数形结合思想。 【例2】如图①所示是某公司生产的自行车 的实物图，图②是它的部分示意图，AF∥CD,点 B在AF上，∠CAE=120°，∠FAE=65°， ∠CBF=100°.试求∠DCB和∠ACB的度数. 3.方程思想 方程思想是分析数学问题中变量间的等量 关系，从而构建方程或利用方程的性质去分析、 转换、解决问题的一种思想方法。 “省链接亦章… 当运用余角、补角以及垂直知识求角 度，有些角的度数不容易直接求出时，往往 运用方程思想. 【例3】如图所示，直线AB,CD,MN相交 于点O,MN⊥AB,OE平分∠COB,∠BOE: ∠AOC=1·8,求∠DOM的度数. 【变式训练2】 七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现： 如图①所示的几何图形，很像小猪的猪蹄， 于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”， “猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系。 (1)如图①所示，AB∥CD,M是AB、CD之 间的一点，连接BM,DM,则有∠B十∠D= 50 优学案课时通 【变式训练3】 4.(2024·恩施模拟)如图所示，若m∥n,∠1= 已知一个角的补角比这个角的号少40，求 105°，则∠2=() A.55° B.60 C.65° D.75 这个角的度数。 5.(2024·驻马店正阳一模)如图所示，直线l1∥ l2,点B,C分别在直线l1和l2上，则下列结论 不一定成立的是( 4 A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠4=90° D.∠4+∠5=180° 6.(2024·江门一模)已知一个角的补角等于 这个角的余角的3倍，则这个角的度数 1.(2024·临沂沂南期末)如图所示，三条直线相 是 交于点O,则∠1+∠2+∠3的度数等于 7.(淮安期末)如图所示，∠A=70°，O是AB上 () 一点，直线OD与AB所夹角∠BOD=86°，要 使OD∥AC,直线OD绕点O按逆时针方向至 少旋转 度 A.210° B.180° C.150 D.120 2.(杭州期末)将一副三角板按如图所示位置摆 8.(福建期中)如图所示，已知直线AB,CD相交 放，其中∠a与∠3一定相等的是() 于点O,E0⊥AB于O,若∠1=32°，则∠2= ,∠3= °，∠4= B C D 3.(吉林期末)如图所示，直线AB、CD相交于点 O,∠DOF=90°，OF平分∠AOE,若 9.(2024·聊城期末)如图所示是一款长臂折叠 ∠BOD=32°，则∠EOF的度数为( LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当 A.32 B.48 发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时， C.58° D.64° ∠DEF=120°，∠BCD=110°，则∠CDE的度 数为 第3题图 第4题图 一七详级卡闭数学 51 10.(菏泽二模)已知：如图所示，点C,E均在直13.(2024·东营中考)已知，直线a∥b,把一块含 线AB上. 有30°角的直角三角板如图所示放置，∠1= (1)在图中作∠FEB,使∠FEB=∠DCB(保 30°，三角板的斜边所在直线交b于点A,则 留作图痕迹，不写作法)。 ∠2=() (2)请说出射线EF与射线CD的位置关系， 0 A.50 B.60° C.70° D.80 14.(台州中考)用一张等宽的纸条折成如图所示 的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为 2 11.(2023·金华金东区二模)如图所示，AD∥ BC,点E是BA延长线上一点，∠E= 15.(武汉中考)如图所示，在四边形ABCD中， ∠DCE. AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线 (1)求证：∠B=∠D 上，连接CE (2)若CE平分∠BCD,∠E=47°，求∠B的 (1)求证：∠E=∠ECD 度数 (2)若∠E=60°，CE平分∠BCD,直接写出 △BCE的形状。 通中考2392959922999999999 12.(2024·深圳中考)如图所示，一束平行光线 照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹 角∠1=50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的 度数为( A.40° B.50° C.60° D.70 52 优学第课时通一 第三章概率初步 大单元建构 概念 必然事件 用颜率估计概率 不可能事件 事件的 颜率的 分类 稳定性 概念 随机事件 概率 表示法一P(A) 必然事件P(A=I 概率初步 事件发生的 概率 不可能事件P(A=0 随机事件发生的可 随机事件OKP(AK1 能性是有大有小的 般等可能事件的概率 游戏的公平性 等可能事 件的概率 儿何概率 转转暨游戏的概率 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 通过试验，理解随机事件的概念，感受发生的频率与 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作 抽象能力 概率的关系，进而抽象出概率的概念.积累从具体到 用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意 抽象的活动经验 义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣 借助几何图形面积求几何概率和转转盘游戏的概 率.在推理计算的过程中，感受数学知识之间的联 几何直观有助于把握问题的本质，明晰思 几何直观 系，形成有依据、有条理、合乎逻辑的思维习惯，进一 维的路径 步提高逻辑推理能力 经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等活动 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻 过程，推理出随机事件发生的概率，在推理计算的过程 推理能力 中，感受数学知识之间的联系，形成有依据、有条理、合 辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度 与理性精神， 乎逻辑的思维习惯，进一步提高逻辑推理能力 利用概率计算公式计算古典概型及可化为古典概型 运算能力有助于形成规范化思考问题的品 运算能力 的几何概型的概率 质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。 借助概率分析等可能事件发生的可能性的大小，利 应用意识有助于用学过的知识和方法解 应用意识 用概率判断游戏的公平性并能对生活中的实际应用 决简单的实际问题，养成理论联系实际的 问题做出正确的判断 习惯，发展实践能力 模型观念 通过游戏活动的过程，了解等可能事件发生的概率， 模型观念有助于开展跨学科主题学习，感 并能设计出符合要求的简单概率模型 悟数学应用的普遍性， 一七样级带数学的 5312.解：(1)MO ∴.∠B=∠BEF,∠C+∠CEF=180°， (2)MO<MV垂线段最短 ,∠ABE=100°，.∠BEF=100, (3)因为∠BOD=∠AOC=50°，OM平分∠BOD, ∠BEC=40°，∴.∠CEF=∠BEF-∠BEC= 所以∠BOM=25°，所以∠AON=180°- 100°-40°=60°.∴.∠C=180°-∠CEF=120. ∠BOM-∠MON=180°-25°-90°=65 6.∠B-∠1=∠A-∠27.26 13.解：测量∠A或∠C.理由：如图所示，延长AB,CD8.解：【类比应用】(1)如图所示，过点P作PE∥AB 相交于点G, E----P 因为AB∥CF,CD∥AE,所以∠C+∠G=180°， C D ∠A+∠G=180°（两条直线平行，同旁内角互补）. :ABCD,PE∥AB,∴.AB∥PECD. 因为∠G=80°，所以∠C=100°，∠A=100°， ∴.∠APE=∠A=50°，∠DPE+∠D=180°， 所以测量∠C或∠A的度数便可知道钢板是否符 .∠DPE=180°-150°=30°. 合规定 ∴.∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80° (2)a+3-∠P=180° 【联系拓展】 (3)45 特色素养专题（二）跨学科专题 14.解：(1)因为BC∥OA,所以∠B+∠O=180°.又因 为∠B=∠A,所以∠A十∠O=180°，所以 1.B2.B3.B4.36°72°5.60 6.D7.155°8.105 OB∥AC. (2)40° 本章综合提升 (3)结论：∠OCB:∠OFB的值不发生变化 【本章知识归纳】 因为BC∥OA,所以∠FCO=∠COA.因为 一 90°180°相等相等顶点反向延长线相 ∠FOC=∠AOC,所以∠FOC=∠FCO,所以 等同同方向两之间同之间直一垂 ∠OFB=∠FOC+∠FO=2∠OCB,所以∠OCB: 线段相交相等相等互补一平行同位角 ∠OFB=1:2. 内错角同旁内角 (4)由(1)知OB∥AC,所以∠OCA=∠BOC.由(2) 【思想方法归纳】 设∠BOE=∠EOF=a·∠FOC=∠COA=B,所以 【例1】 ∠OCA=∠BOC=2a+B,所以∠OEB=∠EOC+ 解：如图①所示，△COD绕点O顺时针旋转得到 ∠ECO=a+B+B=a+2B.因为∠OEB=∠OCA, △C'OD',C'D'交OB于E,则∠C'OD'= 所以2a十B=a十23，所以a=A.因为∠AOB=80°， ∠COD=90°，∠OC'D'=∠C=60. 所以a=3=20°，所以∠OCA=2a+3=40°+ 当∠OEC'=∠B=50时，C'D'∥AB 20°=60°. ∴.∠COC=∠OEC'+∠OC'E=50°+60°=110°， 专题二平行线中的“拐点”问题 ∴.△COD绕点O顺时针旋转110°得到△COD', 1.1332.903.1604.77 所需时间为0 0 =5.5(秒)： 5.解：过E作EFAB,如图所示 ABCD,.ABCD∥EF, 12 如图②所示，△COD绕点O顺时针旋转得到 ∴.∠MNE=x-∠B, △COD",C"D”交直线OB于F,则∠C"OD” ∠I=∠MNC-∠MNE=号-(-∠B) ∠COD=90°，∠OC"D"=∠OCD=60°， 当∠OFC"=∠B=50时，C"D"∥AB, ∠B-, ∴.∠C"OC=180°-∠0FC"-∠OC"F=180° .NECD,.∠1=∠C, 50°-60°=70°，而360°-70°=290°. ∴.△COD绕点O顺时针旋转290°得到△C"OD”, ∴∠B-3=∠C.∴3=∠B-∠C 所需时同为 =14.5(秒). 即3∠M=∠B-∠C,∠B、∠C、∠M三者之 综上所述，t的值为5.5或14.5. 间的数量关系为写∠M=∠B-∠C 【变式训练1】 【例3】 10°，10或42°，138 解：设∠BOE=x,因为OE平分∠COB,∠BOE: 【例2】 ∠AOC=1:8,所以∠BOC=2∠BOE=2x, 解：因为∠CAE=120°，∠FAE=65°， ∠AOC=8.x.因为∠BOC+∠AOC=180°，所以 所以∠FAC=∠CAE-∠FAE=120°-65°=55°. 2x+8.x=180°，解得x=18°.因为MN⊥AB,所以 因为AFCD, ∠COM=90°-∠BOC=90°-2×18°=54°，所以 所以∠DCB=∠CBF=100°（两直线平行，内错角 ∠D0M=180°-∠C0M=180°-54°=126. 相等)，∠DCA=∠FAC=55°（两直线平行，内错 【变式训练3】 角相等).所以∠ACB=∠DCB一∠DCA=100° 55°=45°. 解：设这个角为x度，根据题意得180一t=2x 【变式训练2】 40,解得x=132. 解：(1)证明：如图①所示，过M作MN∥AB, 【通模拟】 1.B2.B3.C4.D 5.C6.45°7.16 ① 8.58581229.100 ,AB∥CD,.AB∥MNCD, 10.解：(1)在图中作∠FEB,使∠FEB=∠DCB有两 .∠B=∠BMN,∠D=∠DMN, 种情况： .∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD. 即射线EF与射线CD在直线AB的同侧，或在直 (2)∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系为 线AB的异侧，如图所示 3∠M=∠B-∠C.理由如下： 如图②所示，过点N作CD的平行线VE. A (2)若射线EF与射线CD在直线AB的同侧，则射 线EF与射线CD平行： E---- -D 2 若射线EF与射线CD在直线AB的异侧，则射线 :AB//NE. EF与射线CD的反向延长线相交， ∴.由“猪蹄模型”知∠B+∠MNE=∠M, 11,解：(1)证明：，AD∥BC,.∠B=∠EAD, 2 ∠E=∠DCE,.EBCD, i设∠M=x,则∠MNC=3x, ∠D=∠EAD,∴∠B=∠D. 13 (2)∠E=47°，∠E=∠DCE, 白球，从中摸出一个球是红球，所以摸到红球的概率 .∠E=∠DCE=47°， :CE平分∠BCD,∴.∠BCE=∠DCE=47°， 为 .∠B=180°-∠E-∠BCE=86. 8B9D10.A1.号12. 2 【通中考】 13.解：(1)50(2)43.2°(3)720 12.B13.B14.140° (4),共抽取了50名学生，其中参与了5项活动的 15.解：(1)证明：：AD∥BC,∴.∠EAD=∠B. 学生有6名， :∠B=∠D,∴∠EAD=∠D, ∴.BECD,∴.∠E=∠ECD. 心选中参与了5项活动的学生的概率为)一25。 (2)△BCE是等边三角形.理由如下： 14.解：(1)因为三面涂有颇色的小正方体有8个， :CE平分∠BCD,.∠BCE=∠ECD, .EBCD,∴.∠ECD=∠E=60°， 所以P(三面涂有颜色)=8=】 6481 .∠B=180°-∠E-∠BCE=60°，∴.∠B= (2)因为两面涂有颜色的小正方体有24个， ∠BCE=∠E,∴.△BCE是等边三角形 所以P(两面涂有颜色)=43 6481 第三章概率初步 (3)因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8 1感受可能性 1.C2.A3.④ 个，所以P(各个面都没有涂颜色)-8日 4.A5.B6.B 第2课时游戏的公平性 7.(2)(1)(4)(3) 1.B2.D3.124.D5.公平6.A7.不公平 8.解：(1)当n为1时，男生小强参加是必然事件 (2)当n为4时，男生小强参加是不可能事件. 8解：1)} (3)当n为2或3时，男生小强参加是随机事件. (2)这个游戏对双方不公平， 2频率的稳定性 理由：2的倍数为：2、4、6，转出的数字是2的倍数的 1.B2.A3.D4.125.D6.D7.2 版率为管日 8.(1)0.4(2)209.B10.C11.7 3的倍数为：3、6，转出的数字是3的倍数的概率为 12.解：(1)0.902(2)0.9(3)10×0.9=9（千克）. 3等可能事件的概率 名 第1课时等可能事件的概率 小明获胜的概率高，所以这个游戏对双方不公平 1.D 第3课时求简单的几何概率 2.解：(1)买一张体育彩票，没中奖的可能性较大，不是 1D2.B3日4音5 等可能事件 (2)小丽被选为班长或没有被选为班长的可能性不 6解：1P(在客厅捉到小箱)沿号 确定，不是等可能事件. (3)投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的 (2)P(在小卧室捉到小猎)=5-1 906 可能性相等，是等可能事件. 1 6 (3)P(在卫生间捉到小猫)=9+4_13 90901 3.B4C5.36.7 7.解：答案不唯一，如设不透明的袋中只有红球和白 (4)P(不在卧室捉到小猫)=90-18-1557_19 90 9030 球，它们除颜色外完全相同，其中有1个红球，3个7.A8.A9.B -14