第2章 3 平行线的性质-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(北师大版2024)

6.C7.608.2或14或75或1659.C 9.A10.A1L.25°12.150° 10.60°或120°11.150 13.解：如图所示，过点C作CE∥AF, 12.解：c∥d.理由如下： 北 如图所示， 北 因为∠2+∠5=∠3+∠6，∠2=∠3， 所以∠5=∠6. 因为∠1=∠4， 所以∠1十∠5=∠4十∠6（等式的性质）， 由平行线的性质，知CE∥AF∥BD, 所以c∥d(内错角相等，两直线平行). 所以∠FAC=∠ACE,∠CBD=∠BCE, 所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+45=105. 14.解：(1)因为AB∥CD,所以∠1=∠2.因为∠1 46°，所以∠2=46°. (2)因为AB∥CD,所以∠BEF+∠EFD=180° 又因为∠BEF与∠EFD的平分线交于点P,所以 13.解：(1)因为∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°， 所以∠DCA=∠BCD-∠BCA=150°-90°=60°， ∠FEP+∠EFP=2(∠BEF+∠EFD)=9O,所 所以∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-60°=30，. 以∠EPF=90°，即EG⊥PF.因为PF∥GH,所以 (2)∠BCD十∠ACE=180°.理由如下： GH⊥EG. 因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, (3)∠HPQ的大小不发生变化，度数为45°，理由 ∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD, 如下： 所以∠BCD+∠ACE=180°， 因为∠PHK=∠HPK,∠PKG=∠PHK+ (3)当∠BCD=120或60时，CD∥AB. ∠HPK,所以∠PKG=2∠HPK.又因为GH⊥ 理由如下： EG,所以∠KPG=90°-∠PKG=90°- 如备用图①所示， 2∠HPK,所以∠EPK=180°-∠KPG=90°+ 当∠B+∠BCD=180时，CD∥AB. 2∠HPK.因为PQ平分∠EPK,所以∠QPK= 此时∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°： ∠EPK=45°+∠HPK,所以∠HPQ 1 如备用图②所示， 当∠B=∠BCD=60时，CD∥AB. ∠QPK一∠HPK=45°，故∠HPQ的大小不发生 3平行线的性质 变化，度数为45°. 第1课时平行线的性质 第2课时平行线的性质与判定的综合运用 1.A2.21°3.C4.100°5.A6.108 1.A2.A3.120+.30 7.15或115 5.解：，∠1十∠2=180°， 8.解：DE∥BC, .ABCD,∴.∠3=∠GOD, .∠BAE+∠B=180°， ,∠3=100°，∴.∠3=∠G0D=100°， .∠BAE=180°-∠B=180°-70°=110°. .∠D0H=180°-∠GOD=180°-100°=80°， 又.AC平分∠BAE, ,OK平分∠DOH, ∴∠BAC=∠EAC=2∠BAE=2X110=5 ∠K0H=2∠D0H-=7×80°=40 DE∥BC,∴.∠C=∠EAC=55, 6.∠3两直线平行，同位角相等DG内错角相等， ∴.∠C的度数为55. 两直线平行∠AGD(或者∠DGA)两直线平行， 10 同旁内角互补120 ∴.∠ABP=2∠ABQ,∠CDP=2∠CDQ. 7.解：因为∠BAM=75°，∠BGE=75(已知)， 由(1)知， 所以∠BAM=∠BGE(等量代换)， ∠BPD=∠ABP+∠CDP,∠BQD= 所以AMEF(同位角相等，两直线平行). ∠ABQ+∠CDQ. 又因为∠AGH=∠BGE(对顶角相等)， .∠BPD=2∠ABQ+2∠CDQ=2(∠ABQ+ 所以∠AGH=75(等量代换)， ∠CDQ)=2∠BQD. 所以∠AGH+∠CHG=75°+105°=180°（等式的 (3)成立.理由如下： 性质)， 如图②所示，分别令BP和BQ与CD的交点为E 所以ABCD(同旁内角互补，两直线平行). 和F, 8.B9.D10.60 11.解：(1)，AD∥BC,.∠A+∠ABC=180, :∠A=2∠ABC,∴.∠A=120°，∠ABC=60°， :BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC=30°， ,AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBC=30. .ABCD,.∠ABE=∠CEP. (2)BD⊥DC,理由如下： 又：∠CEP=∠EDP+∠BPD, :∠C=∠ABC=60°，∠DBC=30°. ∴.∠BPD=∠CEP-∠EDP, .∠BDC=180°-30°-60°=90°，∴.BD⊥DC. ∴.∠BPD=∠ABP-∠EDP. 12.解：(1)：∠1=∠2，∠1=40°，.∠2=∠1=40°， 同理可得， ∴.∠ABC=180°-∠1-∠2=100°. ∠BQD=∠ABQ-∠FDQ. :ABCD,∴.∠ABC+∠BCD=180°， ,BQ和DQ分别平分∠ABP和∠CDP, ∴.∠BCD=180°-∠ABC=80°. ∴.∠ABP=2∠ABQ,∠EDP=2∠FDQ, .∠3+∠4=180°-∠BCD=100°， ∴.∠BPD=2∠ABQ-2∠FDQ=2(∠ABQ- :∠3=∠4，.∠3=∠4=50. ∠FDQ)=2∠BQD. (2)当∠2+∠3=90°时，光线AB与光线CD平行 理由如下： 阶段检测二(1~3) :∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=90°， 1.B2.A3.C4.C5.C ∴.∠1+∠4=∠2+∠3=90°， 6.C垂线段最短7.128°8.10或130 ∴.∠ABC+∠BCD=2×180°-（∠2+∠1+ 9.65°10.50 ∠3+∠4)=180°， 11.解：(1)，∠BOC=100°，∠COD=90°，.∠BOC+ ∴.ABCD ∠COD=100°+90°=190°，∠AOB=180°. 13.解：(1)证明：如图①所示，延长BP与CD交于点M, .∠AOD=10°，∠AOC=180°-100°=80°， EOM平分∠AOC,÷∠AOM=2∠AOC=40 .∠MOD=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50. (2):∠BOP与∠AOM互余，.∠BOP+ :AB∥CD..∠B=∠PMD. ∠AOM=90°，：∠AOB=180°，∴.∠MOP= 又，∠BPD=∠PMD+∠D, 180°-90°=90°，，OM平分∠AOC,∴.∠COM= .∠BPD=∠B+∠D. (2)∠BPD=2∠BQD.理由如下： 2∠A0C=40.∴∠cOP=∠MOP-∠COM9 :BQ和DQ分别平分∠ABP和∠CDP, 90°-40°=50. 113 平行线的性质 第1课时 平行线的性质（答案P10) 通基础>2 6.如图所示，直线a∥b,∠1=63°，∠B=45°，则 ∠2的度数为 知识点1两直线平行，同位角相等 1.如图所示，把一块直角三角尺的直角顶点放在 直尺的一边上，若∠1=55°，则∠2的度数为 () 7.在同一个平面内，∠A比∠B的2倍少15°，并 且∠A两边分别与∠B的两边平行，则∠A的 A.359 B.45° C.55 D.25 度数为 2.(2024·西安期中)如图所示，把一块含有45 8.如图所示，在△ABC中，过点A作DE∥BC, 的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上. AC平分∠BAE,∠B=70°.求∠C的度数. 若∠1=24°，那么∠2的度数是 知识点2两直线平行，内错角相等 3.(2024·江苏一模)如图所示，AB∥CD,若 ∠1=140°，则∠C的度数是() 9.如图所示，直线a仍，点M、N分别在直线a、b A.20 B.30 C.40° D.50 上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3 4.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1= 等于() 80°，则∠2的度数为 A.360 B.300 C.270° D.180 知识点3两直线平行，同旁内角互补 10.抽象能力如图所示的是超市里购物车的侧面 5.(2024·黄山二模)如图所示，将直尺与30°角 示意图，扶手AB与车底CD平行，∠1 的三角尺叠放在一起，若∠1=55°，则∠2的大 100°，∠2=48°，则∠3的度数是() 小是() 0 2 A.65 B.70 C.75° D.80° A.52 B.48 C.42 D.62 一七详级卡带数学的 41 11.如图所示，AB∥CD,点P在CD上，且AP⊥ BP,∠APC=65°，则∠ABP= 14.探究拓展◆已知AB∥CD,直线MN与直线 B AB,CD分别交于点E,F. (1)如图①所示，若∠1=46°，求∠2的度数. 12.模型观念某小区地下停车场入口门栏杆的 (2)如图②所示，∠BEF与∠EFD的平分线 平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点 交于点P,EP与CD交于点G,H是MN上 A,CD平行于地面AE,若∠BCD=120°，则 一点，PF∥GH.试说明：GH⊥EG ∠ABC= (3)如图③所示，在(2)的条件下，连接PH,K 是GH上一点，使∠PHK=∠HPK,作PQ 平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变 E 化？若不变，请求出其值：若变化，说明理由 13.应用意识◆如图所示，小岛C在小岛A的北 偏东60°方向，在小岛B的北偏西45°方向，求 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度数. 42 优学案课时通一 第2课时 平行线的性质与判定的综合运用（答案P10) 通基础 解：EF∥AD, ∴.∠2= 知识点1运用平行线的性质与判定进行计算 :∠1=∠2，∴.∠1=∠3， 1.如图所示，∠1=∠2=45°，∠3=2∠4，则∠4 AB∥ ( 的度数为() A.60° B.45 C.55 D.67.5 .∠BAC+ =180°( ). :∠BAC=60°， 20 ∴.∠AGD= 第1题图 第2题图 7.教材P53习题2.3T3变式，如图所示，已知 2.如图所示，在四边形ABCD中，BD是它的一 ∠BAM=75°，∠BGE=75°，∠CHG=105°， 条对角线，若∠1=∠2，∠A=55°16，则 试说明：AM∥EF,AB∥CD,(在括号中注明 ∠ADC=() 推理依据) A.124°44'B.34°44'C.144°44D.114°44' 3.教材P53习题2.3T4)如图所示，若∠1=∠3， ∠2=60°，则∠4的大小为 度 第3题图 第4题图 4.如图所示，已知∠1=∠2，∠B=30°，则 ∠3= 5.如图所示，∠1+∠2-180°，∠3=100°，OK平 分∠DOH,求∠KOH的度数. 8.如图所示，已知AB∥CD,∠1=∠2，∠E= 50°，则∠F=() A.40° B.50 C.60° D.70 知识点2运用平行线的性质和判定说理 6.已知：如图所示，EF∥AD,∠1=∠2， ∠BAC=60°，求∠AGD 第8题图 第9题图 9.将一副三角尺如图所示放置，其中∠D= ∠BAC=90°，∠F=30°，∠B=45°，则∠BCF 的度数为() A.105°B.120 C.150° D.165 一七详级卡带数学的 43 10.如图所示，∠ABC+∠C+∠CDE=360°，直 线FG分别交AB,DE于点F,G.若∠1= 120°，则∠2= 13.模型观念已知直线AB∥CD,点P为平面 上一点，连接BP与DP (1)如图①所示，点P在直线AB、CD之间， 说明：∠BPD=∠B+∠D EC D (2)如图②所示，点P在直线AB、CD之间， 11.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,BD ∠ABP与∠CDP的平分线相交于点Q,利 平分∠ABC,∠A=2∠ABC,∠C=∠ABC. 用(1)中的结论，写出∠BPD与∠BQD之间 (1)求∠ADB的大小. 的数量关系，并说明理由 (2)线段BD与DC有怎样的位置关系？为什 (3)如图③所示，点P落在AB与CD外， 么？ ∠ABP与∠CDP的平分线相交于点Q,(2) 中∠BPD与∠BQD之间的数量关系是否仍 然成立？并说明理由。 尽尽 12.如图所示，一束光线AB射到平面镜a上，经 平面镜a反射到平面镜b上，又经平面镜b 反射得到光线CD,反射过程中，∠1=∠2， ∠3=∠4. (1)若AB∥CD,且∠1=40°，求∠4的度数， (2)探究∠2与∠3有什么关系时，光线AB 与光线CD平行， 44 优学案课时通