第2章 1 两条直线的位置关系-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学课时通(北师大版2024)

第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角和余角 理由如下： 1.C2.平行相交3.C4.C5.A6.127 因为大长方形由2个面积为42的正方形、1个面积 7.0个或1个或2个或3个8.B9.14 为b2的正方形及3个面积为ab的长方形组成，而 10.解：(1)互余 大长方形的两条邻边长分别为a十b,2a十b, (2)由(1)可知：∠1+∠2=90°，，∠1：∠2-1： 所以(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2. 【变式训练3】 2∠1=90×+2=30， 解：由S阴影B分一SE方形ABCD十SE方移DEPC一S△ABC ∴∠1的补角的大小为：180°-30°-150. Sawm可得，Ss0=a2+6-号a2-2b(a+ 11.解：(1)点A,O,B在同一条直线上，∠AOC十 6=a2+8-6=2a+6-ab)= ∠BOC=180°， :射线OD和射线OE分别平分∠AOC 2ta+b)r-3ab]=2x1o0-72)=14 和∠BOC, 【通模拟】 ∴∠C0D=号∠A0C,∠COE=号∠B0C, 1.D2.A3.C4.C5.15 6.7×1097.68.-1012 ∠C0D+∠COE=2(∠AOC+∠BOC)=90', 9.解：(1)a5·(-2a)3十a‘·(-3a)2=a5· ∴∠DOE=90°. (-8a3)+as,9a2=-8a+9a°=a" (2)①∠AOE (2)(3x+2y)(2x-3y)-(x-3y)(x+3y)= ②∠COD,∠AOD 6x2-9xy+4xy-6y2-(x2-9y2)=6x2-5xy 第2课时垂线 6y2-x2+9y2=5x2-5xy+3y2 1.B2.垂直3.65 10.解：当x=一2时， 4.解：(1)：∠FOD=21°，∠AOE=2∠FOD, (x+2)2-(x3+3x)÷x=(x2+4x+4)-(x2+ 3)=x2+4x+4-x2-3=4x+1=4×(-2)+ .∠AOE=42°， 1=-8+1=-7. .∠B0E=180°-∠AOE=180°-42°=138°， 11.解：(1)a*b=3×3, :OC平分∠BOE, .102=3×32=3×9=27. ∠c0E=2∠B0E=号×138=69 (2),2￥(x+1)=81,.32×3+1=3, 则2+x十1=4，解得x=1. .∠AOD=180°-∠AOE-∠C0E=180°-42° 【通中考】 69°=180°-111°=69° 12.B13.D14.3 (2)OE⊥OF,理由如下： 15.解：原式=8×}-2×号-2-1=1 设∠DOF=x,∠COE=y,则∠AOE=2x, ∠BOE=2y, 16.解：原式=(xy-4x2)十(4x2-y2) :∠AOE+∠B0E=180°，∴.2x+2y=180°， =xy-4:x2+4x2-y2 .x+y=90°，即∠DOF+∠COE=90°， =zy-y, :∠EOF+∠DOF+∠COE=180°， 当x=名y=2时，原式=号×2-公=1-4 1 ∴∠EOF=90°，∴.OE⊥OF. =-3. 5.D 8 6.解：(1)(2)(3)画出的垂线如图所示. ∠COD=a-60°，∠AOE=a-90°， 则a-90°=3(a-60), 解得a=45°（舍去）. 综上所述，a的度数为45或67.5 2探索直线平行的条件 7.D8.垂线段最短 第1课时利用同位角判定两直线平行 9.110°或70°10.A11.115 1.C2.D3.C4.同位角相等，两直线平行 12.解：如图所示. 5.解：如图所示. (1)沿AB走，两点之间线段最短； (2)沿AC走，垂线段最短； (3)沿BD走，垂线段最短. 6.A7.A 8.AB CD AB CD 13.解：(1)，∠DOE=96°， .∠D0C=180°-∠D0E=84°. 9.C10.7511.55 12.解：，AB∥CD,∴.∠AME=∠CNE(两直线平行， 0B平分∠C0D,∠B0C=2∠D0C=42, 同位角相等).'MP平分∠AME,NQ平分 :∠AOB=90°， ∠CNE,∠I=∠AME,∠2=∠CNE(角平 .∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-42°=48. (2)∠AOE+∠AOC=180°，∠AOE+∠DOB= 分线的定义).：∠AME=∠CNE,∴.∠1=∠2 180°，.∠AOC=∠BOD, (等量代换)..MP∥NQ(同位角相等，两直线平 .∠BOC+∠AOC=90°， 行). .∠BOC+∠BOD=90°， 13.解：【操作发现】发现一：因为PE⊥AB,PE⊥CD, .∠EOD=180°-（∠BOC+∠BOD)=90. 所以ABCD(同一平面内，垂直于同一条直线的 14.解：(1)30° 两条直线互相平行). (2)∠AOC=120°，∴.∠BOC=60°， 发现二：因为∠1=90°，∠2=90°， :OC是∠BOE的角平分线， 所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). ∴.∠COE=∠BOC=60°， 【解决问题】证明：因为AD⊥BC于点D,EG⊥BC ,∠D0E=90°，∴∠C0D=90°-60°=30. 于点G, (3)能， 所以ADEG,所以∠1=∠2，∠E=∠3. ①当0°≤a<60时，有： 又因为AD平分∠BAC, ∠COD=60°-a,∠AOE=180°-∠DOE-a= 所以∠2=∠3，所以∠E=∠1. 90°-a, 第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行 则90°-a=3(60°-a),解得a=45; 1.B2.43.D4.内错角相等 ②当60°≤a<90时，有： 5.证明：，∠1=∠2， ∠COD=a-60°，∠AOE=90°-a, .DB∥EC,∴∠E=∠4. 则90°-a=3(a一60)，解得a=67.5; 又：∠E=∠3，∴∠3=∠4， ③当90°≤a<180时，有： ∴.AD∥BE1 两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角和余角（答案P8) 通基础》9 6.(2024·深圳期中)如果一个角的余角是37°， 那么这个角的补角是 知识点1两条直线的位置关系 镯对两条直线的位置关系把握不清 1.下列说法正确的是( 7.抽象能力◆在同一平面内的三条直线，它们的 A.同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 交点个数是 B.同一个平面内，两条直线不相交就重合 0通能月》399293929299292932299 C.同一个平面内，没有公共点的两条直线是平 行线 8.一副三角尺按如图所示的方式摆放，且∠1的度 D.不相交的两条直线是平行线 数是∠2的3倍，则∠2的度数为() 2.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种 A.20 B.22.5°C.25 D.67.5 知识点2对顶角及其性质 3.下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的 是( 第8题图 第9题图 2 9.如图所示，当光线从空气射人水中时，光线的 传播方向发生了改变，这就是光的折射现象. 4.(2024·清远模拟)如图所示，小明测出∠COD 若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变 110°，则两堵围墙所形成的∠AOB的度数 了 度 为( 10.如图所示三角板和直尺放置. (1)∠1与∠2的关系是： (2)若∠1：∠2=1：2，求∠1的补角的大小. D A.70 B.90° 6分 C.110° D.250 知识点3补角、余角及其性质 11.如图所示，点A,O,B在同一条直线上，射线 5.如图所示，将一副直角三角板的直角顶点重叠 OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC. 在一起，可以推导出∠AOC=∠DOB,最合理 (1)求∠DOE的度数， (2)①图中∠BOE的补角是 的理由是( ②直接写出图中与∠COE互余的角 A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 优种学素说时道 第2课时 垂线（答案P8) 通基础 知识点2垂线（段）的画法 5.过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正 知识点1垂线的定义 确的是( 1.如图所示，直线AB,CD相交于点O,在下列各 条件中，能说明AB⊥CD的有() ①∠AOD=90°： ②∠AOC=∠BOC: ③∠AOC=∠BOD: 6.教材P43随堂练习T门变式》如图所示，M是三 ④∠BO0C+∠BOD=180°： 角形ABC中BC边上的任意一点，请你按照 ⑤∠AOC+∠BOD=180. 下列要求画图： A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (1)过M点画直线AB的垂线，垂足为D. (2)过M点画直线AC的垂线，垂足为E. (3)过M点画直线BC的垂线，交线段AB于 点F D 第1题图 第2题图 2.如图所示，O是直线AB上一点，OE,OF分别 是∠BOC,∠AOC的平分线，则射线OE,OE M 的位置关系是 知识京3垂线的性质及点到直线的距离 3.已知：如图所示，直线AB、CD相交于点O, OE⊥CD,∠COA+∠BOD=50°，则∠EOB= 7.在下列图形中，线段PQ能表示点P到直线( 的距离的是( 4.推理能力如图所示，直线AB,CD相交于点8.如图所示，某村庄要在河岸上建一个水泵房 O,OC平分∠BOE,∠AOE=2∠FOD. 引水到C处.他们的做法是：过点C作CD⊥ (1)若∠FOD=21°，求∠AOD的度数. 于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省 (2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明 水管长度，其数学道理是 理由. 未给出图形，思考不全面 9.点O在直线AB上，过点O作射线OC、OD, 使得OC⊥OD,若∠AOC=20°，则∠BOD的 度数是 一年敏：下的数学：部 35 (1)当∠DOE=96时，求∠AOC的度数. (2)若∠AOE与∠DOB互补，求∠DOE的 10.跨学科·物理◆如图所示，当光线从空气射入 度数. 水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是 折射现象.图中∠1=47°，∠2=30°，则光的传 播方向改变的度数为( A.13° B.159 C.17 D.19 11.如图所示，∠AOC=∠DOE=90°，如果∠AOE 65°，那么∠COD的度数是 通素养》9x999999>9 14.深究拓展)O为直线AB上一点，过点O作 射线OC,使∠AOC=120°，一直角三角板的 12.如图所示，码头、火车站分别位于A,B两点， 直角顶点放在点O处 直线和b分别表示铁路与河流。 (1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说 明理由. D (2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明 (1)如图①所示，将三角板DOE的一边OD 理由 与射线OB重合时，∠COE= (3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说 (2)如图②所示，将图①中的三角板DOE绕 明理由. 点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是 ∠BOE的平分线时.求∠COD的度数. (3)将图①中的三角尺DOE绕点O逆时针旋 转180°，设旋转的角度为a,在旋转的过程中， 能否使∠AOE=3∠COD?若能，求出a的 度数：若不能，请说明理由 13.运算能力》如图所示，点O是直线CE上 点，以O为顶点作∠AOB=90°，OB平 分∠COD. 36 优学泰说时温