精品解析：重庆市巴渝学校2024−2025学年九年级下学期第一次学业测试数学试题

重庆市巴渝学校2024−2025学年九年级下学期第一次学业测试数学试题 一、单选题（本大题共10小题） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三个角分别相等的两个三角形是全等三角形 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 6. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将 沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点， ，交的延长线于点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6小题） 11. 计算：_____． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 13. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小育从中随机抽取两张刮开，则小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率是______． 14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为___________． 15. 如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 16. 若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是___________．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是___________． 三、解答题（本大题共8小题） 17. 计算： （1）； （2）． 18. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆某校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， 度． （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若八年级共有1000名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 19. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中， 于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中， 于点，于点F．求证：四边形 是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 20. 重庆中央公园片区“提档升级绿化项目”计划种植A，B两种不同品种的特色树苗各1500棵，用于美化城市环境．据预算，两种树苗的购买总价为90万元．已知A种树苗每棵的价格比种树苗每棵的价格贵40元． （1）求两种树苗每棵的价格分别是多少元． （2）现将所买的树苗全部种完，考虑到重庆的地形和气候，种植团队发现种树苗在山地的种植速度是平坝种植速度的两倍，而B种树苗在两种地形的种植速度都是每天150棵．若计划在山地上种植600棵A种树苗，其余在平坝上种植，且种植完所有种树苗所需的总时间比种植完所有种树苗所需的总时间多2天，则在山地上，种植团队每天能种植多少棵种树苗？ 21. 如图，A、B、C、D分别是铁山坪森林公园的四个景点且位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果保留很号） （2）甲、乙两人从景点A出发去景点C，甲选择的路线为，乙选择的路线为．请计算说明谁选择的路线较近？（结果精确到千米） 22. 如图，在四边形中， ，，，，， ．点从点出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作 交于点，过作 交于点．设运动时间为秒 ．四边形 的面积为， 的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接 ，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 24. 如图，在中，∠ACB=90°，D为边上一点，连接CD，将绕点D逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，∠A=30°，旋转角 且E点刚好落在上，若，求的长； （2）如图2，当点E落在左边时，与交于点M，连接，若点M为中点，，，求证：； （3）如图3，旋转角满足，将沿直线翻折至，连接，当最小时，以为边在左侧作 ，使，连接，．若，，直接写出取最小值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴渝学校2024−2025学年九年级下学期第一次学业测试数学试题 一、单选题（本大题共10小题） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，得的相反数是a，解答即可． 【详解】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数，得的相反数是a， 故2025的相反数是， 故选：A． 2. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：B ． 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键．根据因式分解的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； B、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、，属于因式分解，故此选项符合题意； D、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 故选：D 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三个角分别相等的两个三角形是全等三角形 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定、平行线的性质、对顶角的性质、菱形的性质等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A、三个角分别相等的两个三角形不一定是全等三角形，故A选项不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故B选项不符合题意； C、对顶角相等，故C选项符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质、对顶角的性质、菱形的性质等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式除以单项式法则计算，然后估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的值应在4和5之间． 故选：C． 7. 一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，首先理解题意找出题中存在的等量关系：售价−−进价==利润，根据等量关系列方程即可，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应弄清楚两次单位“1”的不同． 【详解】解：设这种自行车每辆的进价是元，由题意可得， 故选：D． 8. 如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将 沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出 是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点， ，交的延长线于点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长．过点作于点，设，利用勾股定理和正方形性质求出，再利用三角形面积和勾股定理求出，，，，，进一步求出，由，即可求出， 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， ∵为边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴ 的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵ ，即， ∴， ∴， 故选：A． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， 故②正确； 由①②可得分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时： ， ， ∴， 当为偶数时： ， ， ∴， 故③正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题） 11. 计算：_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，乘方，零指数幂公式，熟练掌握公式和三角函数的应用是解题的关键．根据特殊角的三角函数，乘方，零指数幂公式解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 13. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小育从中随机抽取两张刮开，则小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 先列表展示所有等可能的结果，再找出小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：列表如下： 第一张 第二张 表扬卡1 表扬卡2 加分卡 零食卡 表扬卡1 表扬卡1 表扬卡2 表扬卡1 加分卡 表扬卡1 零食卡 表扬卡2 表扬卡2 表扬卡1 表扬卡2 加分卡 表扬卡2 零食卡 加分卡 加分卡 表扬卡1 加分卡 表扬卡2 加分卡 零食卡 零食卡 零食卡 表扬卡1 零食卡 表扬卡2 零食卡 加分卡 由表格可知，共有 种等可能的结果，其中小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的结果有种， 小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率， 故答案为：． 14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得： ， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 15. 如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得 ，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则 ，，由可得，进而可得，在 中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据 即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则 ，， ， ， ， 在 中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 16. 若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是___________．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，完全平方公式，平方差公式，根据新定义以及最大，最小的四位数的特征写出，求其差；根据依题意表示出，进而根据是整数，得出，从而得到为偶数，再讨论求解，进而求得的值，求得，取最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的 “和数”千位最大只能为，则百位为 ∵ ∴最大的十位为，则个位为 ∴最大的 “和数”为 最小的“差数”的千位为，百位最小为时，完全平方数之差没有相差10的数， 则百位数为，此时 ∴最小的“差数”为 ∴最大的“和数”与最小的“差数”之和是； ∵一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为， ∴， ∴ ∵ ∵为整数时 ∴能被整除 ∴ ∴为偶数， 当时， ∵， ∴不合题意， 当， 解得：，则此时N不是四位数，不符合题意； 当时，， ∵， ∴或 ∴ 或（舍去）， ∴， 当时， ∵， ∴或 ∴（舍去）（舍去）； 当时，，同理可求得只有符合题意， ∴ ……， 综上所述，的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8小题） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练应用整式的混合运算和分式的混合运算是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后将两个结果相减，即可得到答案． （2）先把括号内通分，然后利用平方差公式和完全平方公式计算，最后分式除法转化为乘法化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： = = =； 【小问2详解】 解： = = = = =． 18. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆某校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， 度． （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若八年级共有1000名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1），， （2） 解：八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数与众数高于七年级，所以八年级的成绩更好， 答：八年级的成绩更好； （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义可得、的值，由八年级、等级的人数可求出等级的人数，用 乘等级的人数所占比例即可得出的值； （2）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可； （3）用八年级参赛总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：把八年级名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是， ， 中位数 ， 在抽取的七年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是， 众数， 由扇形统计图可得，八年级等级的有： （人）， ， 故答案为：，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约为人． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，运用中位数做决策，运用众数做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． 19. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中， 于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中， 于点，于点F．求证：四边形 是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中， ， ． ，② ． ，即③ ． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20. 重庆中央公园片区“提档升级绿化项目”计划种植A，B两种不同品种的特色树苗各1500棵，用于美化城市环境．据预算，两种树苗的购买总价为90万元．已知A种树苗每棵的价格比种树苗每棵的价格贵40元． （1）求两种树苗每棵的价格分别是多少元． （2）现将所买的树苗全部种完，考虑到重庆的地形和气候，种植团队发现种树苗在山地的种植速度是平坝种植速度的两倍，而B种树苗在两种地形的种植速度都是每天150棵．若计划在山地上种植600棵A种树苗，其余在平坝上种植，且种植完所有种树苗所需的总时间比种植完所有种树苗所需的总时间多2天，则在山地上，种植团队每天能种植多少棵种树苗？ 【答案】（1）A种树苗每棵的价格为元，种树苗每棵的价格为 元 （2）在山地上，种植团队每天能种植 棵种树苗 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的运用，以及分式方程的实际运用，解题的关键是找出等量关系建立方程． （1）设种树苗每棵的价格为元，则A种树苗每棵的价格为元，根据“两种树苗的购买总价为90万元”建立方程求解，即可解题； （2）设在山地上，种植团队每天能种植棵种树苗，根据“种植完所有种树苗所需的总时间比种植完所有种树苗所需的总时间多2天，”建立分式方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设种树苗每棵的价格为元，则A种树苗每棵的价格为元， 根据题意可得：， 整理得，， 解得， 则元， 答：A种树苗每棵的价格为元，种树苗每棵的价格为 元． 【小问2详解】 解：设在山地上，种植团队每天能种植棵种树苗， 根据题意得：， 整理得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 答：在山地上，种植团队每天能种植 棵种树苗． 21. 如图，A、B、C、D分别是铁山坪森林公园的四个景点且位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果保留很号） （2）甲、乙两人从景点A出发去景点C，甲选择的路线为，乙选择的路线为．请计算说明谁选择的路线较近？（结果精确到千米） 【答案】（1）千米 （2）乙选择的路线为较近． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用； （1）如图，过作于，过作于，证明四边形为矩形，分别求解 ，，可得答案； （2）先求解，再比较，，再比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形为矩形，而千米． ∴千米，， 结合题意可得：，，而千米， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：∵千米，， ∴（千米）， ∴（千米）， （千米）； ， ∴乙选择的路线为较近． 22. 如图，在四边形中， ，，，，， ．点从点出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作 交于点，过作 交于点．设运动时间为秒 ．四边形 的面积为， 的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2） 函数图象如图所示： 函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题． （1）过点作 于点H，证明四边形 是平行四边形，推出 ，结合 ，求出，利用勾股定理求出 ，再利用三角形面积公式 ，求出，再证明四边形 是平行四边形，根据 即可解答；由 ，易证明 ，推出，结合 即可得到； （2）由（1）中解析式即可画出图象，再根据图形即可解答； （3）先求出两个函数图象的交点，根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作 于点H， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ∴四边形 是平行四边形， ∴； ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 为过点，过点， 则函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：令，即， 解得： ，（负值舍去）， 则，的图象交点的横坐标为 ， 由函数图象可得，当时，的取值范围为 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接 ，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与线段最值，二次函数与角度综合． （1）先求出，，再把代入，结合对称轴为直线求解即可； （2）先求出，直线解析式为 ，再设，则，得到，再说明是等腰直角三角形，得到 的周长为，代入得到当时，的周长取得最大值，此时，，连接，，证明四边形和是平行四边形，得到，则，当在上时，最小，求出的长即可； （3）求出平移后抛物线的表达式为：，求出与直线的另一个交点，则设直线线 的表达式为：，当点在点下方时，由，得到，求出直线 的表达式为：，与新抛物线联立求出；点在点的上方时，取点，则，得到，求出直线 的表达式为：，与新抛物线联立求出． 【小问1详解】 解：令得，，则， ， ∵， ∴， ∴， 把代入得， ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ， ∴，解得 ， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，解得 ， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为 ， ∵轴， ∴，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为， ∴当时，的周长取得最大值，此时，， ∴， 连接，， ∵作轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， ∵，， ∴的中点G坐标为， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移个单位，再向上平移了个单位，， 则新抛物线的表达式为：， 将代入上式得：，解得或， ∴， 故新抛物线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式 并解得：（舍去）或， ∴点， ∴设直线线 的表达式为：， 当点在点下方时， ∵， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， 则直线 的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 当点在点的上方时，取点，则轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，，得，直线 的表达式为：， ∴直线 的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 综上所述，当时，点Q的坐标为或． 24. 如图，在中，∠ACB=90°，D为边上一点，连接CD，将绕点D逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，∠A=30°，旋转角 且E点刚好落在上，若，求的长； （2）如图2，当点E落在左边时，与交于点M，连接，若点M为中点，，，求证：； （3）如图3，旋转角满足，将沿直线翻折至，连接，当最小时，以为边在左侧作 ，使，连接，．若，，直接写出取最小值时的值． 【答案】（1）6 （2） 解：如下图，作交于点F，取，连接 ， ，点M为中点 ∴， 又， ∴ ∴ ， 在 和 中 ∴ ∴，， 又∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）作垂直于，通过勾股定理设出关于长的方程，解方程即可求得答案． （2）作辅助线，通过全等形，以及等腰三角形的特征，将转化到同一直线上，进而可得到答案． （3）当时， 最小；点P在三角形 的外接圆上，当与圆心三点共线时，最小，进而求得的值，再通过构造相似形求得所对的两直角边长，进而得到答案． 【小问1详解】 解：作垂直于点F，如下图所示： ∵， ∴ 设 ，则 ∵为等腰直角三角形， ∴ 也是等腰直角三角形，故有 ∴ ∴，解得 ∴长为6． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图，作垂直于点F，依题意有， 又 ， ∴ 当有最小值时，最小，即最小，此时 ∵， ∴，，， ∴有最小值 为的对称轴 ∴，三点共线 ∵ ∴∥ 作 的外接圆O ∵ ∴弦所对优弧的圆周角为 所对圆心角为 ∴由勾股定理求得圆的半径，连接交圆于点，此时当P点与重合时，此时有最小值 作于点H，交于点N，作垂直于点Q ∴ ，四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 连接 ∵， ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题为几何压轴题，全面考查了三角形、四边形以及圆的相关知识，作辅助线构造直角三角形、全等形、相似形以及圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $