精品解析：甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

阶段测试卷（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，若，则（ ） A B. C. D. 3. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 11. 已知为方程的根，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知为方程的两个根，则___________． 13. 已知，且，则___________． 14. 已知i为虚数单位，若复数满足，则最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 16 化简求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 17. 近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以鳗、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在上，且，米，设． （1）求扇形的面积； （2）求矩形的面积的表达式； （3）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 18. 已知复数，，． （1）若，求角； （2）复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求图象的对称中心、对称轴，的单调递增区间； （2）当时，求的最值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段测试卷（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简即可. 【详解】． 故选：B. 2. 设为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【详解】，故， 故选：D 3. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义,结合几何意义求解. 【详解】， 故，因此复数在复平面上对应的点为，位于第四象限， 故选:D 4. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 5. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到，化弦为切，代入求值即可. 【详解】， 故 . 故选：A 7. 在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小. 【详解】解：∵， ∴， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，解得， ∴，B＝． 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，，是本题关键 8. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数，利用换元法结合零点个数可得答案. 【详解】， 令，因为，所以， 令可得, 因为在上有且仅有2个零点，所以， 解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误. 【详解】因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确． 因为， 的最小正周期不为选项，B错误． ，选项C正确． ，，， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减，选项D错误． 故选：AC. 11. 已知为方程的根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据复数与一元二次方程根的关系，可得的关系，即可求得对应的值，逐项分析即可得结论. 【详解】设， 因为为方程的根，且，则， 所以，即， 解得或， 所以，则； ，所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知为方程的两个根，则___________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据方程根与系数的关系结合和角公式可得答案. 【详解】因为为方程的两个根，所以； , 故答案： 13. 已知，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用条件求出，结合平方关系及倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 所以； 因为，所以，所以， . 故答案为： 14. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义求解. 【详解】设复数，则， 即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆， ，其表示点到点的距离， 其最大值为到圆心的距离加上半径，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 16. 化简求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）4 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式，利用两角和与差的正弦公式化简即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式和诱导公式化简即可得出答案； （3）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 已知，，，， 所以， 17. 近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以鳗、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在上，且，米，设． （1）求扇形的面积； （2）求矩形的面积的表达式； （3）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1）平方米 （2）， （3）时，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用扇形的面积公式可求答案； （2）先求出矩形的长和宽，利用面积公式可得答案； （3）先确定的范围，利用三角函数的性质可得最大值. 【小问1详解】 因为，，所以， 即扇形的面积为平方米. 【小问2详解】 在直角三角形中，； 在直角三角形中，，所以， 所以， ， 所以，其中. 【小问3详解】 因为，所以， 当时，即时，取到最大值. 18. 已知复数，，． （1）若，求角； （2）复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解； （2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围； （ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围. 【小问1详解】 ，，且， ，，即，， 又，故. 【小问2详解】 （ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ），， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. 19. 已知函数． （1）求图象的对称中心、对称轴，的单调递增区间； （2）当时，求的最值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）对称中心为；对称轴为，；增区间为. （2）最大值为1，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，再利用函数性质可求答案； （2）先求出的范围，再求函数值的范围可得答案； （3）先化简目标式，分离参数，利用单调性求出最值，可得答案. 【小问1详解】 . 令，解得，即对称中心为. 令，解得，即对称轴为，. 由，可得，即增区间为. 【小问2详解】 当时，，所以； 所以最大值为1，最小值为. 【小问3详解】 由于， 所以. 令，由可得； 原不等式等价于有解，即在上有解； 因为在上均为减函数，所以为减函数， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$