精品解析：北京市钱学森中学教育集团联合2024～2025学年下学期期中考试七年级启航班数学试卷

北京钱学森中学教育集团联合2024-2025学年第二学期期中考试试题 七年级启航班数学 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 3. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 7. 当时，、x、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 10. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 若方程组的解为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 13. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 14. 已知图中的两个三角形全等，则________°． 15. 若，且a，b是两个连续整数，则_________． 16. 已知二元一次方程组，则的值为______． 17. 规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如，，．按此规定，的值为______． 18. 三角形的三边长分别为，则x的取值范围是________． 19. 的平方根与立方根的和是_______． 20. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否"为一次程序操作． 若输入x后，程序操作仅进行了一次就停止．则x的取值范围是____． 21. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 22. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 三、计算题：本大题共6小题，共24分． 23. 计算： 24. 解方程组：． 25. 解方程组：． 26. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 27. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 28. 阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题． 解方程组： ，得，即．③ 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以原方程组的解为， 以上解方程组的方法叫做消常数项法． 请用上面的方法解方程组：； 四、解答题：本题共6小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 29. 要求：铅笔作图（可以借助带刻度的直尺、三角板和量角器）： 已知（如图），求作： （1）的中线； （2）的角平分线； （3）的高线； （4）若（其中C表示周长），且，则______________． 30. 如图，已知．求证：． 31. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 32. 某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？ （3）在（2）条件下，哪种生产方案获得利润最大？并求出最大利润． 33. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 34. 如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京钱学森中学教育集团联合2024-2025学年第二学期期中考试试题 七年级启航班数学 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ， 解得n＝9． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，即多边形的内角和为． 2. 如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】C 【解析】 【分析】甲可根据ASA判定与△ABC全等；乙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案． 【详解】解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故根据ASA可判定甲与△ABC全等； 乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等； 则与△ABC全等的有乙和甲， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要． 3. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等,对应角相等，利用平角定义+++=180°，再通过等量代换可以求出． 【详解】 解：∵长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕 ∴, ∵+++=180°（平角定义） ∴+++=180°（等量代换） +=90° 即=90° 故选：C． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：移项得，2x≤3+1， 合并同类项得，2x≤4， 系数化为1得，x≤2， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键． 5. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 6. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 7. 当时，、x、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分别在不等式两边同时乘上和同时除以即可进行判断． 【详解】解：当时，在不等式两边同时乘上可得：； 在不等式两边同时除以可得： ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查不等式的性质．熟记相关结论是解题关键． 8. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 【详解】设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4．  三角形的周长为1+4+4=9． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围． 9. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 10. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设买得醇酒斗，买得行酒斗，根据“现有30钱，买得2斗酒” 列方程组即可． 【详解】解：设买得醇酒斗，买得行酒斗， ∵一共买得酒总共有2斗， ∴可得方程， ∵醇酒1斗价值50钱，行酒1斗价值10钱，一共花费30钱， ∴可得总花费方程， ∴可列方程组． 11. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组． 12. 若方程组的解为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， 方程组的解为， ， 解得：， 方程组的解为：， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 13. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 14. 已知图中的两个三角形全等，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形对应角相等来确定的度数． 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，找到与对应的角，从而得出的度数． 【详解】解：因为两个三角形全等，在左边的三角形中，边长为a和c的两边的夹角是，右边的三角形中，边长为a和c的两边的夹角为，根据全等三角形对应角相等，所以． 故答案为：． 15. 若，且a，b是两个连续整数，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，题目不难，是基础题. 先估算的大小，再得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7 16. 已知二元一次方程组，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接由②-①即可得出答案． 【详解】原方程组为， 由②-①得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 17. 规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如，，．按此规定，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的整数部分，根据无理数的估算方法估算出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 三角形的三边长分别为，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，根据三角形的三边关系，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 19. 的平方根与立方根的和是_______． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的概念求解． 【详解】∵，，， ∴的平方根是，的立方根是． 则：的平方根与立方根的和为：，或者， 故答案为：0或． 【点睛】考查的是平方根和立方根的概念，熟知算术平方根及立方根的定义是解答此题的关键． 20. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否"为一次程序操作． 若输入x后，程序操作仅进行了一次就停止．则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键．根据运行程序，列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 21. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 【答案】1<m<4 【解析】 【详解】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5， 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为1＜m＜4． 22. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【解析】 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 三、计算题：本大题共6小题，共24分． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 24. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据加减消元法解答即可． 【详解】解：， ①②，得：， 即， 把代入②，得，解得， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基础题型，熟练掌握代入法和加减法求解的方法是关键． 25. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． 运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，， 整理得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 26. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解法是解答关键．要注意x是否取包含有等于，若取包含有等于时则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的．先求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后在数轴表示出来即可． 【详解】解：， 由①去括号得， 解得； 由②去分母得 ， 去括号得 ， 移项并合并同类项得 ， 解得， 在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集是：． 27. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；不等式组所有的整数解为：－1，0，1 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 所以，不等式组的解集为：． 该不等式组所有的整数解为：－1，0，1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 28. 阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题． 解方程组： ，得，即．③ 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以原方程组的解为， 以上解方程组的方法叫做消常数项法． 请用上面的方法解方程组：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，由可得，再进一步求解即可． 【详解】解：， ，得，即③， 把③代入①，得， 即． 把代入③，得． 则方程组的解是． 四、解答题：本题共6小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 29. 要求：铅笔作图（可以借助带刻度的直尺、三角板和量角器）： 已知（如图），求作： （1）的中线； （2）的角平分线； （3）的高线； （4）若（其中C表示周长），且，则______________． 【答案】（1）答案见详解； （2）答案见详解； （3）答案见详解； （4）8． 【解析】 【分析】（1）用刻度尺确定边的中点D，连接即可； （2）利用量角器量出的度数，再求度数，确定的平分线交于点M，则即为所求； （3）过点C作交延长线于N，则即为所求； （4）根据已知列式计算即可． 【小问1详解】 解：如下图所示， 线段即为所求的的中线； 【小问2详解】 解：如下图所示， 线段即为所求的的角平分线； 【小问3详解】 解：如下图所示， 线段即为的高线； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高线的作法，三角形的周长等知识，熟练掌握三角形的中线、角平分线与高线的作图方法是解答此题的关键． 30. 如图，已知．求证：． 【答案】 证明：， ，即：． 在和中， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，根据已知条件证，则该全等三角形的对应边相等． 【详解】略 31. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 【答案】 证明：因为AE＝BF， 所以，AE＋EF＝BF＋EF， 即AF＝BE， 在△ADF和△BCE中， 所以，． 【解析】 【分析】先将AE=BF转化为AF＝BE，再利用SAS证明两个三角形全等． 【详解】略 【点睛】用SAS证明两三角形全等． 32. 某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？ （3）在（2）条件下，哪种生产方案获得利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． （2）3 （3）当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为26万元 【解析】 【分析】（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10−x）件，列出方程即可解决． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10−m）件，列出不等式组解决问题． （3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解． 【小问1详解】 解：设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10−x）件， 由题意，x＋3（10−x）＝14， 解得x＝8， ∴10−x＝2， ∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． 【小问2详解】 设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10−m）件， 由题意得 ， 解这个不等式组，得2≤m＜5， ∵m为正整数，m可以取2或3或4； ∴生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件． ③生产A种产品4件，B种产品6件． 【小问3详解】 设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10−x）件， 则利润y＝x＋3（10−x）＝−2x＋30， 则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大， 所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1＋8×3＝26（万元）． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 33. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）见解答 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积，的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：4； 【小问3详解】 点在轴上， 的面积， 即， 解得：． 所以点的坐标为或． 34. 如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论：时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $