河北省石家庄市赵县2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图是一个底面半径为5cm，高为24cm的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm 5．（3分）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 6．（3分）设a，b，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A．25ab B．5 C．5ab D．25 7．（3分）如图，在5×5的正方形网格图中有A、B、C三点，网格中以A、B、C三点为顶点的平行四边形有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 8．（3分）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（　　） A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14 9．（3分）小迅家有一个长6dm，宽3dm，高4dm的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点B处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点A处出发，想吃到鱼缸顶部B处的馒头屑，它爬行的最短路程是（　　） A． B． C．13dm D．9dm 10．（3分）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　） ①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变． A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 11．（3分）正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于H，有下列结论：①BP＝CE；②AP＝AH；③∠BAP＝∠GFP；④BC+CEAF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF．以上结论正确的个数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 13．（3分）比较大小： 　 　 （填“＞”“＜“或“＝”）． 14．（3分）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 　 　 米长． 15．（3分）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　 　 ． 16．（3分）如图：点A在线段BC上，AB＝4，AC＝6，△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，点P是BE上一个动点，连接PA，PC则PA+PC的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17．（7分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成以下问题．（方格纸中每个小方格的边长为1） （1）如图1，线段AB的长为3，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为　 　 ； （2）截取出方格纸的局部如图2，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切线，在图3中画出拼成的正方形． 19．（8分）如图，在▱ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AF＝CG． （1）求证：四边形DFBG是平行四边形． （2）若∠DGE＝105°，求∠AFD的度数． 20．（8分）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：　 　 ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索AB的长为x尺，根据题意，可列方程为 　 　 ； （3）如图2，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长． 21．（9分）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，这些四边形中是“宁美四边形”的有 　 　 （填序号）； （2）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG、EG．求证：四边形ABEG是“宁美四边形”． 22．（9分）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则（x﹣2）2＝5， 即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝1， 把x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式x2+6x+8的值． （2）已知，求代数式的值． 23．（11分）【问题提出】 （1）如图①，在△ABC中，AB＝1，，，则△ABC是　 　 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，∠AOB＝45°，点C为射线OA上一点，且OC＝2，点D为射线OB上的动点，当△OCD为等腰三角形时，求OD的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，△ABC为某植物园的一片绿化区域，且AB＝10米，BC＝50米，米，已知在BA的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿CD修一条小路，并在CD上找一点E，在△ADE中种植栀子花，请你计算种植栀子花的区域△ADE为等腰三角形时，CE的长．（结果保留根号） 24．（12分）综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动．请仔细阅读，并完成相应的任务．操作判断： 将三角板ABC（∠ACB＝30°）放置在图纸上，延长直角边BA，以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交前弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE为菱形，如图①． （1）在上述操作中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是　 　 （填序号）． ①四条边都相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 迁移探究： （2）数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆O及其直径AB．分别以点O，B为圆心、大于OB一半的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交半圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD、CD、CO，得到四边形AOCD．判断四边形AOCD的形状，并说明理由； 拓展应用： （3）如图③，数学兴趣小组利用含45°角的三角板ABC（∠BAC＝45°）和圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝12，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离． 2024-2025学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A B A C B A A B C 题号 12 答案 D 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴a﹣5≥0， 解得a≥5． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，此题比较简单． 2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、2，不是最简二次根式，不符合题意； B、|a|，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3．（3分）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图可知选项B，C，D中三个阴影部分的面积都等平行四边形面积的一半，选项A中阴影部分的面积小于平行四边形面积的一半即可解答． 【解答】解：根据三角形的面积公式，四个选项中阴影部分三角形的高是相等的，若底相等，则面积相等， ∴B，C，D三个选项中阴影部分的面积是相等的， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题关键． 4．（3分）如图是一个底面半径为5cm，高为24cm的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm 【分析】将圆柱沿母线切开得到一个长方形，该长方形的一边为圆柱形花器底面圆的直径，另一边为圆柱形花器高，对角线的长度就是圆柱形花器内所能龙虾的最长花茎的长度，然后根据勾股定理求出对角线的长度即可． 【解答】解：如图所示：AC为圆柱形花器底面圆的直径，BC为圆柱形花器高， ∴线段AB的长度就是圆柱形花器内所能龙虾的最长花茎的长度， 在Rt△ABC中，AC＝5×2＝10cm，BC＝24cm， 由勾股定理得：AB26（cm）． 答：需预留花茎最长为26cm． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆柱的轴截面，勾股定理，理解圆柱的轴截面是一个长方形，该长方形的一边为圆柱形花器底面圆的直径，另一边为圆柱形花器高，对角线的长度就是圆柱形花器内所能龙虾的最长花茎的长度是解决问题的关键． 5．（3分）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵BC⊥AC，且点P为AB的中点， ∴CP为Rt△ABC斜边上的中线， ∴CP． ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 6．（3分）设a，b，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A．25ab B．5 C．5ab D．25 【分析】根据a，b，可得ab，再根据5即可确定答案． 【解答】解：∵a，b， ∴ab， 即ab， ∴55ab， 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根，二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 7．（3分）如图，在5×5的正方形网格图中有A、B、C三点，网格中以A、B、C三点为顶点的平行四边形有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【分析】分别以BC、AC为对角可画平行四边形． 【解答】解：如图， 在5×5的正方形网格图中有A、B、C三点，网格中以A、B、C三点为顶点的平行四边形，ru有： 以BC为对角可画平行四边形ACD1B，以AC为对角线可画平行四边形ABCD2，共两个， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 8．（3分）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（　　） A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14 【分析】根据勾股定理可得：AC2+BC2＝AB2，然后利用正方形的面积公式可得：以AC为边长的正方形面积+以BC为边长的正方形面积＝以AB为边长的正方形的面积，即可解答． 【解答】解：图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，中间的三角形为直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴以AC为边长的正方形面积+以BC为边长的正方形面积＝以AB为边长的正方形的面积， ∵2+3＝5，3+4≠5，6+8≠13，5+12≠14， ∴三个正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．（3分）小迅家有一个长6dm，宽3dm，高4dm的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点B处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点A处出发，想吃到鱼缸顶部B处的馒头屑，它爬行的最短路程是（　　） A． B． C．13dm D．9dm 【分析】利用勾股定理计算线段AB的长，进行比较即可． 【解答】解：如图，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段AB（dm）； 故选：A． 【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，关键知道蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短，关键确定长和宽，找到最短路径． 10．（3分）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　） ①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变． A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，BC边上的高、AC、BD的长度不断变化解答即可． 【解答】解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形， 故①正确； ②B、D两点之间的距离不断变化， 故②错误； ③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化， 故③错误； ④由四边形的长度不变可知四边形ABCD的周长不变， 故④正确． 所以正确的说法有①④． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 11．（3分）正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于H，有下列结论：①BP＝CE；②AP＝AH；③∠BAP＝∠GFP；④BC+CEAF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF．以上结论正确的个数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】利用等角的余角相等得到∠BAP＝∠FPE，则可根据“AAS”判断△ABP≌△PEF，则BP＝EF，再利用四边形CEFG都是正方形得到CE＝EF，则可对①进行判断；由于∠BAP≠∠DAH，则不能判断△ABP≌△ADH，于是可对②进行判断；利用GF∥CE得到∠EPF＝∠GFP，加上∠BAP＝∠EPF，所以∠BAP＝∠GFP，则可对③进行判断；通过证明△APF为等腰直角三角形得到AFAP，则AP2AF2，由于利用勾股定理得到AP2＝AB2+BP2，加上AB＝BC，BP＝CE，则可对④错误；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断． 【解答】解：∵∠APF＝90°， ∴∠APB+∠FPE＝90°， 而∠APB+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠FPE， 在△ABP和△PEF中 ， ∴△ABP≌△PEF， ∴BP＝EF， ∵四边形CEFG都是正方形， ∴CE＝EF， ∴BP＝CE，所以①正确； ∵∠BAP≠∠DAH， ∴不能判断△ABP≌△ADH， ∴不能确定AP＝AH，所以②错误； ∵四边形CEFG都是正方形 ∴GF∥CE， ∴∠EPF＝∠GFP， 而∠BAP＝∠EPF， ∴∠BAP＝∠GFP，所以③正确； ∵∠APF＝90°，AP＝PF， ∴△APF为等腰直角三角形， ∴AFAP， ∴AP2AF2， ∵AP2＝AB2+BP2， 而AB＝BC，BP＝CE， ∴BC2+CE2AF2，所以④错误； ∵S正方形ABCD+S正方形CEFG＝AB2+CE2＝AP2， S△APFAP2， ∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF，所以⑤正确． 故选：C． 【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5 【分析】连接AP，根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠BAC＝90°，再根据垂直定义可得∠PEA＝∠PFA＝90°，从而可得四边形AEPF是矩形，然后利用矩形的性质可得EF＝AP，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，取AB的中点为M′，AC的中点为M″，连接MM′，M′M″，得出MM′是△ABP的中位线，M′M″是△ABC的中位线，求得，M的运动路径长为M′M″的长度，即M运动的路径从而得出结果． 【解答】解：连接AP， 由题意可得： AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEA＝∠PFA＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， ∵点M是EF的中点， ∴点M是EF与AP的交点， ∴， 取AB的中点为M′，AC的中点为M″，连接MM′，M′M″， 由题意可得：MM′是△ABP的中位线， ∴MM′∥BP， ∴∠AM′M＝∠B， ∵∠B是定值， ∴∠AM′M也是定值， ∵A，M′是定点， ∴M在MM′所在的直线上运动， ∵M′M″是△ABC的中位线， ∴， ∴∠AM′M″＝∠B＝∠AM′M， ∴M′，M、M″三点共线， ∵， ∴当P与B点重台时，M与M′重合，当P与C点重合时，M与M″重合， ∴M的运动路径长为M′M″的长度，即M运动的路径长为2.5， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理，垂线段最短，中位线性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 13．（3分）比较大小： 　＜　 （填“＞”“＜“或“＝”）． 【分析】先分别计算两个数的平方，然后再进行比较即可解答． 【解答】解：∵（3）2＝63，（4）2＝96， ∴63＜96， ∴34， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方法比较大小是解题的关键． 14．（3分）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 　17　 米长． 【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【解答】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为12米，则红地毯至少要12+5＝17米长． 【点评】本题是一道实际问题，结合勾股定理解答． 15．（3分）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　2cm　 ． 【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题． 【解答】解：在▱ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝DAE， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝DAE， ∴∠BAE＝BAE， ∴BE＝AB＝3cm， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm）， 故答案为：2cm． 【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB． 16．（3分）如图：点A在线段BC上，AB＝4，AC＝6，△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，点P是BE上一个动点，连接PA，PC则PA+PC的最小值为 　　 ． 【分析】作A点关于BE的对称点A′，连接A′B与BE交点为P，则PA+PC＝BC′求得∠EBD＝15°，进而得出∠EBC＝45°，在Rt△A′BC中，勾股定理即可求解． 【解答】解：作A点关于BE的对称点A′，连接A′B与BE交点为P， ∴PA＝PA′ ∴PA+PC＝PA′+PC≥CA′， ∵△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形， ∴BD＝AD＝DE，∠BDE＝∠BDC+∠ADE＝150°，∠DBC＝60°， ∴∠EBD＝15°， ∴∠EBC＝45°， 由轴对称的性质可得∠A′BE＝∠EBC＝45°， ∴∠A′BC＝90°， ∴AB＝A′B＝4， 在Rt△A′BC中，BC＝AB+AC＝4+6＝10，A′B＝4， ∴， ∴PA+PC的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17．（7分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算；掌握二次根式的混合运算法则是关键． 18．（8分）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成以下问题．（方格纸中每个小方格的边长为1） （1）如图1，线段AB的长为3，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为　　 ； （2）截取出方格纸的局部如图2，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切线，在图3中画出拼成的正方形． 【分析】（1）利用网格按要求画图即可；利用勾股定理计算即可． （2）由题意得拼成的正方形的面积为5，则拼成的正方形的边长为，利用网格结合勾股定理画图即可． 【解答】解：（1）如图1，三角形ABC即为所求． 由勾股定理得，BC， ∴第三边的长为． 故答案为：． （2）由图2可知，剪拼成的无重叠无缝隙的正方形的面积为1×5＝5， ∴剪拼成的无重叠无缝隙的正方形的边长为． 如图2、图3所示． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、图形的剪拼，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（8分）如图，在▱ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AF＝CG． （1）求证：四边形DFBG是平行四边形． （2）若∠DGE＝105°，求∠AFD的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定解答即可； （2）由全等三角形的性质可求解． 【解答】证明：（1）∵▱ABCD， ∴∠A＝∠C，AD＝CB， 又AF＝CG， ∴△ADF≌△CBG（SAS） ∴DF＝BG， （2）∵△ADF≌△CBG， ∴∠AFD＝∠BGC＝∠DGE＝105° 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ADF≌△CBG是本题的关键． 20．（8分）阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：　a2+b2＝c2　 ，利用此数量关系解决以下问题； （2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索AB的长为x尺，根据题意，可列方程为 　（x﹣3）2+82＝x2　 ； （3）如图2，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索AC的长为x尺，则AB的长为（x﹣3）尺，根据勾股定理得AB2+BC2＝AC2，据此列出方程即可； （3）设BE＝x，则EC＝8﹣x，由折叠的性质可知，AE＝EC＝8﹣x，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由勾股定理得：a2+b2＝c2， 故答案为：a2+b2＝c2； （2）设绳索AC的长为x尺，则AB的长为（x﹣3）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2， ∴（x﹣3）2+82＝x2， 故答案为：（x﹣3）2+82＝x2； （3）把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，设BE＝x，则EC＝8﹣x， ∴AE＝EC＝8﹣x， 由矩形的性质可得∠B＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2， ∴（8﹣x）2＝42+x2， 解得，x＝3， 则BE的长为3． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． 21．（9分）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，这些四边形中是“宁美四边形”的有 　④　 （填序号）； （2）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG、EG．求证：四边形ABEG是“宁美四边形”． 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论； （2）证△ABE≌△BCG，得AE＝BG，再由BG⊥AE，结合“宁美四边形”的定义即可得出结论； 【解答】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分， ∴①②③选项中的图形不是“宁美四边形”； ∵正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴④选项中的正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④； （2）证明：在正方形ABCD中，BG⊥AE于点H， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAE+∠ABG＝90°， ∴∠ABG+∠CBG＝90°， ∴∠BAE＝∠CBG， 在△ABE和△BCG中， ， ∴△ABE≌△BCG（ASA）， ∴AE＝BG， 又∵BG⊥AE， ∴四边形ABEG是“宁美四边形”． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 22．（9分）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则（x﹣2）2＝5， 即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝1， 把x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式x2+6x+8的值． （2）已知，求代数式的值． 【分析】（1）按照例题的方法解答即可； （2）由x得2x+1，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到x2+x，x（4x2+4x+x）x[4（x2+x）+x]，把x2+x代入得到x（x+1），进而可得出结论． 【解答】解：（1）由x3，x+3， 则（x+3）2＝x2+6x+9＝3， ∴x2+6x＝﹣6， ∴x2+6x+8＝2； （2）由x得2x+1，则（2x+1）2＝4x2+4x+1＝2， ∴x2+x， ∴ x（4x2+4x+x） x[4（x2+x）+x] x（4x） x（x+1） （x2+x） ． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 23．（11分）【问题提出】 （1）如图①，在△ABC中，AB＝1，，，则△ABC是　直角　 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，∠AOB＝45°，点C为射线OA上一点，且OC＝2，点D为射线OB上的动点，当△OCD为等腰三角形时，求OD的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，△ABC为某植物园的一片绿化区域，且AB＝10米，BC＝50米，米，已知在BA的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿CD修一条小路，并在CD上找一点E，在△ADE中种植栀子花，请你计算种植栀子花的区域△ADE为等腰三角形时，CE的长．（结果保留根号） 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出结论； （2）分OC＝CD，CD＝OD，OC＝OD三种情况，根据等腰三角形的定义和勾股定理讨论求解即可； （3）先利用勾股定理的逆定理推出△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，再证明△DBC为等腰直角三角形，丙利用勾股定理求出CD的长，接着分三种情况，AE＝DE，AE＝AD，DE＝AD，根据等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝a﹣b，BC＝2，AC＝a+b， ∴AB2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，AC2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，BC24ab， ∴AB2+BC2＝a2+2ab+b2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角； （2）①如图②﹣1，当OC＝CD＝2时，则∠CDO＝∠COD＝45°， ∴∠OCD＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在直角三角形OCD中，由勾股定理得：OD2； ②如图②﹣2，当OD＝CD时，则∠OCD＝∠COD＝45°， ∴∠ODC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在直角三角形OCD中，由勾股定理得：OCOD， ∴； ③当满足OD＝OC＝2时，△OCD也满足是等腰三角形； 综上所述，当△OCD为等腰三角形时，OD＝2或或2； （3）∵AB＝10米，BC＝50米，米， ∴AB2+BC2＝102+502＝2600，AC22600， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， 又∵AD＝40米，且点D在BA延长线上， ∴BD＝AB+BD＝10+40＝50米， ∴BC＝BD＝50米， ∴△DBC为等腰直角三角形， ∴∠D＝45°， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：CD50米， ①当DE＝AE时，如图③﹣1，则∠D＝∠DAE＝45°， ﹣﹣ ∴∠AED＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AD， ∵AD＝40米， ∴米， ∴CE＝CD﹣DE＝502030米， ②当AD＝AE时，如图③﹣2，则∠D＝∠AED＝45°， ∴∠DAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：DE40米， ∴CE＝CD﹣DE＝504010米， ③当AD＝DE＝40米时，如图③﹣3， 则CE＝CD﹣DE＝（5040）米， 综上所述，△ADE为等腰三角形时，CE的长为30米或米或米． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 24．（12分）综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动．请仔细阅读，并完成相应的任务．操作判断： 将三角板ABC（∠ACB＝30°）放置在图纸上，延长直角边BA，以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交前弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE为菱形，如图①． （1）在上述操作中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是　①③④　 （填序号）． ①四条边都相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 迁移探究： （2）数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆O及其直径AB．分别以点O，B为圆心、大于OB一半的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交半圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD、CD、CO，得到四边形AOCD．判断四边形AOCD的形状，并说明理由； 拓展应用： （3）如图③，数学兴趣小组利用含45°角的三角板ABC（∠BAC＝45°）和圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝12，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离． 【分析】（1）连接AD，可证明△ACD与△AED均为等边三角形，进而证明四边形ACDE四条边均相等． （2）连接BC、OD，可证明△OBC、△OCD、△OAD均为等边三角形，进而可得结论． （3）P点可能在线段MB或线段BC上，分两种情况讨论，分别过点P作MN的垂线，结合特殊直角三角形的三边比例关系可快速求解答案． 【解答】解：（1）如图①，连接AD， 由题意得：AC＝CD＝AD， ∴三角形ACD为等边三角形． ∴∠CAD＝60°， ∵∠ACB＝30°，∠CAB＝60°， ∴∠EAD＝60°， ∵AD＝AE， ∴△ADE为等边三角形， ∴AD＝AE＝DE， ∴四边形ACDE是菱形（四边都相等的四边形是菱形）； 也可以由③④推出菱形， 故答案为：①③④； （2）四边形AOCD是菱形；理由如下： 如图②，连接BC、OD， 由题意可得：MN为OB的中垂线， ∴BC＝OC， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵OC＝OD＝CD， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOD＝60°， ∵AO＝DO， ∴△AOD为等边三角形， ∴AO＝AD＝OD＝CO＝CD， ∴四边形AOCD为菱形； （3）P点直线MN的距离为或．理由如下： ①如图③，当点P在线段BM上时，连接AP、过点P作PQ⊥MN于点Q， ∵∠PAB＝15°，∠BAC＝45°， ∴∠CAP＝60°， ∵AB＝12， ∴， ∴， 在菱形ABMN中，MB＝AB＝12，MN∥AB， ∴，∠M＝∠ABC＝45°， ∴， 即P到MN的距离为； ②当点P在线段BC上时，连接AP、过点P作PE⊥MN于点E， ∵∠PAB＝15°，∠BAC＝45°， ∴∠CAP＝30°， ∵AB＝12， ∴， ∴， 在菱形ABMN中，MB＝AB＝12，MN∥AB， ∴，∠M＝∠ABC＝45°， ∴， 即P到MN的距离为， 综上所述，P点直线MN的距离为或． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查菱形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质与判定及含30°角直角三角形的三边比例关系是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$