精品解析：天津市河北区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷

天津市河北区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 3种 D. 9种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲､乙两人从3门课程中各选修1门， 由乘法原理可得甲､乙所选的课程不相同的选法有（种）. 故选：A 2. 的展开式的第6项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项即可求解. 【详解】由题得， 令，所以， 所以的展开式的第6项的系数是. 故选：C. 3. 下列求导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：B 4. 已知曲线在处的切线为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可得到其倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 所以切线的斜率，则的倾斜角为. 故选：B 5. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导后，令即可求解. 【详解】因为， 所以，令，则， 解得：. 故选：C 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导，再令，解出不等式即可. 【详解】，令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 7. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可. 【详解】由，得或， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由图知，只有C选项的图象符合. 故选：C. 8. 已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出，即可得解； 【详解】解：因为， 所以， 所以， 则， 其中， 所以， 所以； 故选：D 9. 天津博物馆为国家一级博物馆，是展示中国古代艺术及天津城市发展历史的大型艺术历史类综合性博物馆，是天津地区最大的集收藏、保护、研究、陈列、教育为一体的大型公益性文化机构和对外文化交流的窗口.天津博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于2024年5月13日（周一）至5月19日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津博物馆参观研学（此周无节假日），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ） A. 20种 B. 50种 C. 60种 D. 100种 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定高一年级的安排方法，再在剩下的四天里安排高二和高三，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由于周一闭馆，所以高一年级可以选择从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去参观，共5种选择方法， 再从剩下的四天里安排高二和高三，共种， 则不同方案有种． 故选：C． 10. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义，带入拉格朗日中值定理，令，找到 ，解方程， 【详解】由拉格朗日中值定理，， 则，则，合题，共2个解， 故选：B. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 在的展开式中，x的系数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数． 【详解】的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得展开式中含x项的系数， 故答案为：． 12. 已知函数，则函数在点处切线方程为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，求出斜率，写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又， 所以切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为8，则实数的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的定义可推得，根据导数的意义，即可得出答案. 【详解】根据导数的定义可得，， 根据导数的意义，可知，所以. 故答案：2. 14. 若函数在内单调递减，则实数的取值范围是：_______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，由题意得知不等式对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，进而可求得实数的取值范围. 【详解】，， 由题意可知，不等式对任意的恒成立，即，即. 因为函数在区间上单调递增，则，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题. 15. 关于函数，下列判断正确的序号是_____________. ①的单减区间为； ②是的极大值点； ③函数有且只有1个零点； ④存在正实数，使得恒成立. 【答案】③ 【解析】 【分析】对于①，利用导数可判断②；令，利用导数判断出的单调性可判断③；转化为，令，利用导数判断出的单调性，求出值域可判断④. 【详解】对于①，， 当时，，单调递减，单调递减区间为，故①错误； 对于②，当时，，单调递增， 所以是的极小值点，故②错误； 对于③，，令， 所以， 所以在单调递减， 又因为，， 所以有且只有1个零点，且，故③正确； 对于④，由得，因，所以， 即求， 令，， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 可得，单调递减，当时，，无最小值， 所以的大致图象如下， 所以，要使，结合图象可得，，故④错误. 故答案为：③. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120 【解析】 【分析】（1）根据要求直接选取即可； （2）在剩下的7人中任选2人即可； （3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人； （4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况. 【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法； （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法， 则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. 17. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值； （2）求展开式的常数项（用数字作答）； （3）计算式子的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出第、项的二项式系数，即可得到方程，根据组合数计公式算可得； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）写出的展开式，令计算可得. 【小问1详解】 二项式的展开式中第项的二项式系数为， 第项的二项式系数为， 依题意可得，即，解得或（舍去）； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以二项式展开式的通项为（且）， 令，得， 所以展开式中常数项为； 【小问3详解】 因为（且）， 令，可得. 18. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式; （2）求在上的单调区间和最值. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为， 最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质结合导数建立方程求解即可. （2）利用导数研究单调性，得到极值，再结合端点值求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，因为当时，取得极值， 所以，则， 也可得到，所以，解得， 代入中，解得， 所以解析式为， 此时，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，符合题意. 【小问2详解】 由上问知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 而，，，， 故最大值为，最小值为. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最大值（），即可得解； （3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 依题意，，解得，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时恒成立， 所以在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 因为对任意有恒成立，所以，. . 实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可得：， ， 令，解得或， 所以、、列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值， 且当时，当时， 要满足函数在区间内有3个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市河北区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 3种 D. 9种 2. 的展开式的第6项的系数是（ ） A B. C. D. 3. 下列求导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在处的切线为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 6. 函数单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ） A. B. C D. 9. 天津博物馆为国家一级博物馆，是展示中国古代艺术及天津城市发展历史的大型艺术历史类综合性博物馆，是天津地区最大的集收藏、保护、研究、陈列、教育为一体的大型公益性文化机构和对外文化交流的窗口.天津博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于2024年5月13日（周一）至5月19日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津博物馆参观研学（此周无节假日），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ） A. 20种 B. 50种 C. 60种 D. 100种 10. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 在的展开式中，x的系数为______________． 12. 已知函数，则函数在点处切线方程为 _________． 13. 一辆汽车做直线运动，位移与时间关系为，若汽车在时的瞬时速度为8，则实数的值为________. 14. 若函数在内单调递减，则实数的取值范围是：_______. 15. 关于函数，下列判断正确的序号是_____________. ①的单减区间为； ②是的极大值点； ③函数有且只有1个零点； ④存在正实数，使得恒成立. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 17. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值； （2）求展开式的常数项（用数字作答）； （3）计算式子的值. 18. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式; （2）求在上的单调区间和最值. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$