广东省江门市鹤山市鹤华中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

鹤华中学2024-2025学年度第二学期期中考试 数 学（高二） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 2.下列求导运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 3.的展开式中的系数为（    ） A． B． C．64 D．124 4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值 5.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 （    ） A． B． C． D． 6.已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7.某测试由8道四选一的单选题组成，学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会，若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为（    ） A． B． C． D． 8.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前10项和为 10.已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B．此二项式系数最大项为第4项 C． D． 11.对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值 B．在处的切线方程为 C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列满足，，则__________. 13.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站在一排，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方法有___种. 14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解. 如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近. 若，取，则用牛顿法得到的的近似值 . 4、 解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数，当时取极小值，当时取极大值. （1）求，的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16.（本小题满分15分） 某运动会需要招募一批志愿者，测试合格者录用为志愿者. 现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格. 若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列. 17.（本小题满分15分） 记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和为. 18.（本小题满分17分） 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 19.（本小题满分17分） 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策. 我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球. 我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验. 经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对第二次试验选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案. 方案①：从原来袋子中摸球； 方案②：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 高二数学 第 页（共 4 页 ） 命题人：陈涛涛 审题人：林慧平 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学答案 第 页（共 8 页 ）1 鹤华中学 2024-2025 学年度第二学期期中考试 数学 答案（高二） 一、填空题：本题共 8小题，每小题 5分，共 15分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D B C A B 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 题号 9 10 11 答案 AD BCD ABD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 9 13. 24 14. 5 2 1.D． 【详解】因为 23C 3 ，0! 1 ， 2 3 3A C 0! 4 m    ，所以 3A 6 m  ，对比选项进行讨论有： 当 1m  时， 13A 3 ，不成立，当 2m  时， 2 3A 3 2 6   ，成立，当 3m  时， 3 3A 3 2 1 6    ， 成立，所以 2m  或3 . 2.C． 【详解】  3 3 ln3x x  ， 2 1 11x x x        ，  cos2 2sin 2x x  ，  ln 2 0  ， 3.A． 【详解】 512x x      展开式的通项为    5 5 5 21 5 5 1C 2 1 2 C r r rr r r r rT x xx              ， rN， 5r  ，令5 2 3 r ，得 1r  ，因此展开式中 3x 项的系数为  1 4 151 2 C 80    .故选 A． 4.D． 【详解】由图可知 (1, 2)x 时， ( ) 0f x  ，所以函数 ( )y f x 在 (1, 2)上单调递增，故 A错误；由图可知 ( , 2)x  时，   0f x  ，所以函数 ( )y f x 在 ( ,2) 上单调递增， 1x   不是函数 ( )y f x 的极小值点，故 B错误；由 B选项可知函数 ( )y f x 在 ( ,2) 上单调递增， 由图可知 (2, )x  时， ( ) 0f x  ，所以函数 ( )y f x 在 (2, ) 上单调递减，故 2x  是函数 ( )y f x 的极大值点， (2)f 是函数 ( )y f x 的极大值，故 C错误；D正确． 5.B．【详解】因为 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB   ，即 1 1 1 ( ) 2 4 3 P AB   ，解得 1( ) 12 P AB  ， . 1 ( ) 112( | ) 1( ) 4 3 P ABP B A P A    高二数学答案 第 页（共 8 页 ）2 6.C． 【详解】因为等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 6 7S S ，则 7 7 6 0a S S   ，  1 7 7 4 7 7 2 a a S a    ，无法判断 ABC 选项，  1 13 13 7 13 13 0 2 a a S a     ，故 C正确. 7.A． 【详解】设“小胡从这 8题中任选 1 题且作对”为事件 A，“选到能完整做对的 4道题” 为事件 B，“选到有思路的 2 道题”为事件 C，“选到完全没有思路的题”为事件 D， 则   4 1 8 2 P B   ，   2 1 8 4 P C   ，   2 1 8 4 P D   ，      1 1| 1, | , | 2 4 P A B P A C P A D   ， 由全概率公式可得              | | |P A P B P A B P C P A C P D P A D   1 1 1 1 1 111 2 4 2 4 4 16        .故选 A． 8.B．【详解】令 ( )( ) f xg x x  ，  0,+x  ，因为     0xf x f x   ，则    2( ) 0 xf x f x g x x      ， 因此函数 ( )g x 在  0,  上单调递减，则 ( ) 45 ( ) 4 ( ) (5) 5 f xf x x g x g x      ，解得 5x  ， 所以  5 4f x x 的解集为  5, .故选 B． 9.AD．【详解】对于 A：因为 1a ， 3a ， 7a 成等比数列，所以 2 1 7 3a a a ，即    21 1 16 2a aa    ， 解得 1 2a  ，所以 1na n  ，则 9 10a  ，故 A正确； 对于 B： na 的前 n项和为     2 1 3 2 2 n n n n    ，故 B错误； 对于 C：因为      1 1 1n nna n    ， 所以   1 n na 的前 100 项和为 2 3 4 5 100 101            2 3 4 5 100 101 50           ，故 C错误； 对于 B：因为   1 1 1 1 1 1 2 1 2n na a n n n n        ， 所以 1 1 n na a        的前 10 项和为 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 11 2 5 1 112 2          ，故 D 正确. 故选：AD. 10.BCD． 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以 2 64n  ，解得 6n  ， 故 A错误；因为二项式系数为 6C r ，所以当 3r  时， 36C 最大，即第 4项最大，故 B正确； 因为  61 2x 展开式的通项为  1 6C 2 rr rT x   ，  0,1,2,3,4,5,6r ，所以  33 3 33 6C 2 160a x x x     ，所以 3 160a   ，故 C正确； 高二数学答案 第 页（共 8 页 ）3 由展开式的通项为  1 6C 2 rr rT x   ，  0,1,2,3,4,5,6r ，所以 1 3 5, , 0a a a  ， 0 2 4 6, , , 0a a a a  ， 所以 0 1 2 6 0 1 2 6a a a a a a a a        ，令 1x   ，可得 6 0 1 2 6 3a a a a     ， 所以 6 1 2 3 1na a a     ，故 D正确. 故选：BCD． 11.ABD． 【详解】对于 A，  f x 的定义域为  0,  ， 令   2 1 ln 0xf x x    得0 ex  ，  f x 单调递增； 令   2 1 ln 0xf x x    得 ex ，  f x 单调递减. 所以当 ex 时，  f x 取得极大值   ln e 1e e e f   ，A正确；对于 B， 2 1 ln( ) xf x x   ， (1) 1, (1) 0f f   ，所以  f x 在 1x  处的切线方程为 1y x  ，B正确.对于 C，由上知  f x 在  0,e 上单调递增，且   1e 0 e f   ， 又 1 e 0 e f         ，所以  f x 在  0,e 上有且只有一个零点. 当 ex 时，  f x 单调递减，且   ln 0xf x x   恒成立， 所以，  f x 在  e,+ 上没有零点，C错误；对于 D，    1 1f x k f x k x x      ， 记     1 ln 1xg x f x x x     ，则   2 ln xg x x   ， 当0 1x  时，   0g x  ；当 1x  时，   0g x  . 所以，当 1x= 时，  g x 取得最大值   ln1 11 1 1 g   ， 因为   1f x k x   在  0,  上恒成立，所以 1k  ，D正确. 故选：ABD． 12.9 【详解】因为数列 na 满足 1 3n na a  ，可知数列是等比数列，公比 3q  ，又因 为 4 5 3 6a a a a ，可得 2 1a  ，所以 2 4 2 1 9 9a a q    13.24 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看作一个元素，连同乙，戊看成三 个元素排列,有3! 6 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个 位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2种排列方式. 高二数学答案 第 页（共 8 页 ）4 故安排这 5 名同学共有：6 2 2 24   种不同的排列方式. 14. 5 2 【详解】因为   3 23 3 3f x x x x    ， 0 3x  ，则     3 3 20 3 3 3 3 3 6f x f      ， 且    223 6 3 3 1f x x x x      ，则  3 12f   ，所以，曲线  y f x 在 0x x 处的切线方程 为  6 12 3y x   ，即 12 30y x  ，由题意可得 112 30 0x   ，解得 1 5 2 x  . 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.（本小题满分 13 分） 解：（1）因为   3 2f x x ax bx    ，则   23 2x x x bf a     ，……………………1分 由题意可得  1 3 2 0 2 4 4 0 3 3 3 f a b f a b                       ，解得 1 2 2 a b       ，……………………5分 经检验符合题意，所以 1 , 2 2 a b   . ……………………6分 （2）由（1）可得， 1 , 2 2 a b   ， 则   3 21 2 2 f x x x x   ，   23 2f x x x     ，……………………7分 令   0f x  ，解得 1x   或 2 3 x  ，……………………8分 当  2, 1x   时，   0f x  ，函数  f x 单调递减， 当 21, 3 x       时，   0f x  ，函数  f x 单调递增， 当 2 ,1 3 x      时，   0f x  ，函数  f x 单调递减，……………………10分 所以 1x   时，函数  f x 有极小值，即   31 2 f    ， 2 3 x  时，函数  f x 有极大值，即 2 22 3 27 f       ， ……………………11分 且  2 2f   ，   11 2 f  ，……………………12分 所以函数  f x 在 2 1, 上的最大值为 2，最小值为 3 2  . ……………………13分 高二数学答案 第 页（共 8 页 ）5 16.（本小题满分 15 分） 解：（1）设甲测试合格为事件 A，则   2 1 3 5 5 5 3 10 50 10 1 120 2 P A      C C C C . …………6分 （2）甲答对的试题数 X可以为 0，1，2，3， ……………………7分   3 5 3 10 1 0 12 C C P X    ，   1 2 5 5 3 10 5 1 12 C C C P X    ，   2 1 5 5 3 10 C C 5 2 C 12 P X    ，   3 5 3 10 1 3 12 C C P X    ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 17.（本小题满分 15 分） 解：（1）因为数列 na 的前n项和 2 1nnS n   ， 当 1n  时 11 2 1 1 2a     ， ……………………1分 当 2n  时 1 11 2 1 2 ( 1) 1 2 1 n n n n n n n na S S               ，…………………3分 经检验当 1n  时 12 1nna   也成立，所以 12 1nna   . ……………………4分 因为 12 1nna   ，所以 1 11 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 n n n n n n a a            ， ……………………6分 所以数列 1na  为等比数列，其首项为 1 1 1a   ，公比为 2q  . ………………7分 （2）由（1）得 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ( 1)n n n n n nb a n           ……………………8分 所以  0 1 1 1 1 12 3 1 2 2 2n n T n         ， ……………………10分  1 2 1 1 1 1 1 12 3 1 2 2 2 2 2n n n nT n          ， ……………………11分 1 12 5 12 5 12 1 12 高二数学答案 第 页（共 8 页 ）6 两式相减得  0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 2n n n T n          ， ……………12分 即  2 3 2 1 1 1 1 1 14 1 1 2 2 2 2 2n n n T n                  ， ……………13分 . ……………………15分 18.（本小题满分 17 分） 解:（1）函数  f x 的定义域为  0, ，   1 1 axf x a x x      . ……………1分 （i）当 0a  时，对任意的 0x  ，   0f x  ，  f x 在  0, 上单调递增；…3分 （ⅱ）当 0a  时，若 1 0,x a      ，则   0f x  ，  f x 在 10, a       上单调递增； 若 1 ,x a       ，则   0f x  ，  f x 在区间 1 , a      上单调递减.………7分 综上所述，当 0a  时，函数  f x 的单调递增区间为  0, ； 当 0a  时，函数  f x 的单调递增区间为 10, a       ，单调递减区间为 1 , a      ；……8分 （2）令   ln 0f x x ax   ，可得 ln xa x  ，令   ln xg x x  ，其中 0x  ，……9分 由于函数  f x 有两个零点， 所以，函数 y a 与函数   ln xg x x  的图象有两个交点，……………10分   1 ln xg x x   ，令   0g x  ，可得 x e ，列表如下：……………11分 递增 极小值 递减 x  0,e e  ,e   g x  0   g x   1 1 1 11 1 324 1 61 2 21 2 n n n nn             高二数学答案 第 页（共 8 页 ）7 所以，函数  g x 的极小值为   1g e e  ，如下图所示： ……………14分 当 1x  时，   ln 0xg x x   ， ……………15分 由图象可知，当 1 0 a e   时，函数 y a 与函数   ln x g x x  的图象有两个交点， 因此，所求 a的取值范围为 1 0, e       ； ……………17分 19.（本小题满分 17 分） 解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件 1A ，“取到乙袋”为事件 2A ， “试验结果为红球”为事件 1B ，“试验结果为白球”为事件 2B . …………………1分 1 1 1 1 2 1 2 1 9 1 2 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 10 2 10 20 P B P A P B A P A P B A       ， 所以试验一次结果为红球的概率为 11 20 . …………………6分 （2）（i）因为 1B ， 2B 是对立事件， 2 1 9 ( ) 1 ( ) 20 P B P B   ，…………………7分 高二数学答案 第 页（共 8 页 ）8 所以 2 1 11 2 1 2 2 2 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) 9 1 1 10 2 9 20 P B A P AP A B P A B P B P B      ， 所以选到的袋子为甲袋的概率为 1 9 . …………………11分 （ii）由（i）得 2 2 1 2( ) 1 ( ) 1 8 1 9 9 P A B P A B     ，…………………12分 所以方案①中取到红球的概率为： 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 9 8 2 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 9 10 18 P P A B P B A P A B P B A       . …………………14分 方案②中取到红球的概率为： 2 2 2 1 1 1 2 1 2 8 9 1 2 37 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 9 10 45 P P A B P B A P A B P B A       . …………………16分 因为 37 5 45 18  ，所以方案②中取到红球的概率更大. …………………17分