精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区凉州区金羊、金沙九年制学校一模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级中考一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件 B. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C. 某奖券的中奖率为，买张奖券，一定会中奖次 D. “任意两个等腰三角形是相似三角形”是必然事件 6. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 7. 如图，将矩形沿对角线翻折，的对应边交于点F，过点B作交于点H，垂足为G，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　） A. B. C. D. 1 9. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 10. 反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且 A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于________． 12. 已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为_______． 13. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 14. 如图，点在上，点在内，其中，则_______． 15. 如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为______． 16. 如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ． 17. 如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图，在凹四边形中，，，，，则凹四边形的周长为______． 18. 如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是__________． 三、解答题（共66分） 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点O顺时针旋转的图形； （2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率． 22. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，若，，求的面积． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，的延长线于的切线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，一次函数（，是常数，）的图象与反比例函数（是常数，）的图象交于点，，轴上一点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 25. 已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连结交于点F，如果，求证：． 26. 学校科技兴趣小组利用无人机测量学校旗杆的高度．无人机在距离地面60米的C处测得旗杆底部B 的俯角为（即），为水平线，测得旗杆顶部A的俯角为（即），请通过以上数据求学校旗杆的高度（精确到0.1米，）． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级中考一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有两个不相等的实数根可知，代入解一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：D． 2. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴的公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线； 故选B． 3. 如图，，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算，灵活运用图形割补法是解题的关键． 根据菱形性质与已知角度，可判定为等边三角形，结合中点条件得到；再由及推出的角度关系，进而得到为等边三角形；最后通过“阴影面积”的割补思路，代入等边三角形与扇形面积公式，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形，， 点是的中点， ，即， ，， ， ， 由对称性可得，， 是等边三角形， 在中，，， ，， ，， ． 故选：． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件 B. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C. 某奖券的中奖率为，买张奖券，一定会中奖次 D. “任意两个等腰三角形是相似三角形”是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角和，全面调查和抽样调查的适用性，概率的意义，事件的分类，掌握相关定义是解题关键． 根据三角形的外角和是、全面调查和抽样调查的适用性、概率的意义、事件的分类进行逐项判断即可求解． 【详解】解：A、三角形的外角和是，故任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，此选项正确，符合题意； B、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，此选项错误，不符合题意； C、某奖券的中奖率为，是概率，不是频率，故买张奖券，不一定会中奖次，此选项错误，不符合题意； D、任意两个等腰三角形，不一定角度相等，故“任意两个等腰三角形是相似三角形”是随机事件，此选项错误． 故选：A． 6. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，直接把点代入解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：D． 7. 如图，将矩形沿对角线翻折，的对应边交于点F，过点B作交于点H，垂足为G，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于点Q，根据勾股定理求出，，证明，得出，证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点B作于点Q，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 8. 如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从正面所看到的图形是主视图即可求解，掌握三视图是解题的关键． 【详解】解：如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是， 故选：． 10. 反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且 A. ① B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， 由反比例函数的图像可得：， ∴，故①符合题意，②不符合题意； ∵直线， 当，，则， 当，则，则， 设，， ∴，， 联立， ∴整理得：， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵均在反比例函数上且， ∴， 解得：，故④不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二次方程有两个相等的实数根时判别式． 根据，计算求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 由题意知 解得 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点在上，点在内，其中，则_______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，垂径定理和勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂径定理与勾股定理的综合求线段长是关键． 延长交于，过作于，于，由垂径定理得到，判定是等边三角形，得到，求出，由含度角的直角三角形的性质求出，，，求出，由勾股定理得到，，因此，由此即可求解． 【详解】解：延长交于，过作于，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形，过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N，过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q，则四边形为矩形，证明，得出，，证明，可求出的长． 【详解】解：过点A，B分别作，的平行线交于点K，则四边形为矩形， 过点A作交于点M，过点M作交的延长线于点N， 过点N作的平行线分别交，的延长线于点H，Q， 则四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图，在凹四边形中，，，，，则凹四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、矩形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造含角的直角三角形，利用含角的直角三角形的性质找边之间的关系，过点分别作，，作，可证四边形是矩形，设，则，把边用含的代数式表示出来，可得方程，解方程求出的值即可求出边和边长度，利用四边形周长的公式计算即可得到结果． 【详解】解：如下图所示，过点分别作，，作， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， 在中，， ， ， 又， ，， ， 又，， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， 凹四边形的周长为 故答案为：． 18. 如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心投影的定义和性质，位似三角形的性质，熟练掌握中心投影和位似三角形的性质是解题的关键．利用中心投影得定义可得与是位似三角形，再利用位似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由中心投影的定义可得与是位似三角形， ∴，且由位似得， ∴， 得：， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点O顺时针旋转的图形； （2）若以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）或或 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，平行四边形的性质，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）利用平移思想，画出点位置，确定点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如上图，由图可知：或或． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的锐角三角函数值、分式的化简求值． 首先根据特殊角的锐角三角函数值、负指数幂、绝对值的定义，把算式中的各部分分别转化为一般形式的实数，再根据运算法则进行计算即可； 首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，然后再把代入化简后的代数式中计算求值即可． 【详解】解： ； 解： ， 当时， 原式． 21. 某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．设降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：降价百分率为． 22. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，证明即可； （2）由题意可知，，，得到，根据三角形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． 【小问2详解】 （2）由题意可知，，， ， ，， ， ． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，的延长线于的切线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 是的切线， ， 即． ． ，， ； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． （1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ， 设， ：：， ，， ， 在中，， 即， ． 24. 如图，一次函数（，是常数，）的图象与反比例函数（是常数，）的图象交于点，，轴上一点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式，反比例函数的表达式为； （2）的面积为． 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数图象与一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）反比例函数图象经过点，，可求出，然后再根据待定系数法即可求出一次函数的表达式； （）设一次函数与轴交于点，则，从而有，在根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式； 【小问2详解】 解：设一次函数与轴交于点， 当时，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 25. 已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连结交于点F，如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）证明：如图，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，推出可得结论； （2）证明，推出，证明四边形是矩形，推出，证明，推出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，矩形及菱形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键． 26. 学校科技兴趣小组利用无人机测量学校旗杆的高度．无人机在距离地面60米的C处测得旗杆底部B 的俯角为（即），为水平线，测得旗杆顶部A的俯角为（即），请通过以上数据求学校旗杆的高度（精确到0.1米，）． 【答案】25.4米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点A作于F，证明四边形是矩形，然后利用锐角三角函数即可求解． 【详解】解：过点A作于F， ∴， ∴为矩形， ∴（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：学校旗杆的高度约为25.4米． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键． （1）根据题意得到，由抛物线与轴的交点可设，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则点，所以，由，结合二次函数最大值的计算方法即可求解； （3）设，，则，根据菱形的性质得到，由此列式得，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线， 当时，， ∴， 抛物线与轴交于点，， ∴设，将点代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； 【小问3详解】 解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $