精品解析：湖南省常德市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

常德市一中2025年上学期高一年级期中考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A 4 B. C. 16 D. 8 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（ ） A B. C. D. 4. 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 5. 中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56，则该圆台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若复数满足，则的最大值为3 D. 若（，），则 10. 如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（ ） A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B. 在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的 C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 11. 如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则四点共圆 C. 四边形面积最大值为 D. 四边形面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 13. 如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为_____. 14. 已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r． （1）以r为变量，表示圆柱表面积和体积； （2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 17. 如图，菱形的边长为，，，． 求：（1）； （2）． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. （1）当为中点时，求证：平面. （2）当平面，求出点的位置，说明理由. 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德市一中2025年上学期高一年级期中考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限． 故选B． 考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 2. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由斜二测画法的规则，即可得到原图形的面积. 【详解】还原直观图为原图形，如图所示， 因为，所以， 还原回原图形后，，， 所以原图形面积为. 故选：D 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理的应用和三角函数值的应用求出结果． 【详解】解：在中，角，，所对的边分别是，，．若，，， 利用正弦定理：， 整理得：． 故选：D． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 4. 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解. 【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图， 设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 . 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 则有，所以. 该圆锥的底面积与侧面积比值为. 故选：A 5. 中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，. 要使有两解，即有两解，则应有，且， 所以， 所以. 故选：B． 6. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 故， ， ， 故 ， 由于 ，故. 故选：B. 7. 已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56，则该圆台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式进行求解即可. 【详解】设该圆台的高为，上､下底面圆的半径分别为. 由圆台的体积公式，得，解得. 故选：D 8. 已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知边化角求得，然后根据已知得出.根据两角差的余弦公式以及两角差的正弦公式，化简得出，进而根据三角函数的范围，即可得出答案. 【详解】由边化角可得，. 因为，所以. 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 由可得，. 因为， 又， 所以，， 所以，. 故选：C. 【点睛】思路点睛：通过已知求出，然后消去，化简得出关于的三角函数，化简根据三角函数的范围，即可得出答案. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若复数满足，则的最大值为3 D. 若（，），则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：令，由此即可验证；对于B：由模长公式以及复数乘法即可验证； 对于C：由复数的几何意义即可验证；对于D：令即可验证. 详解】对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意； 对于B：令，所以，所以， 且，所以，故B选项符合题意； 对于C：令，若复数满足，则有（其中）， 所以，所以， 所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，故C选项符合题意； 对于D：令可知，但这与矛盾，故D选项不符合题意. 故选：BC． 10. 如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（ ） A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B. 在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的 C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合棱柱和棱锥的体积公式，以及棱柱的结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】设图（1）中水的高度为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得图（2）中水的体积为， 对于A中，由，解得，所以A错误； 对于B中，若往容器内再注入升水，即， 则水面上升的高度为， 所以水面的高度为，所以B正确； 对于C中，由水的体积为， 容器的体积为，所以， 当容器侧面水平放置时，点点在长方体中截面上， 中截面将容器内的空间分为体积相等的两部分，结合题意水面也恰好经过点，所C正确. 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 故选：BC. 11. 如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则四点共圆 C. 四边形面积最大值为 D. 四边形面积最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设，由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D. 【详解】由正弦定理， 得， ， ，B是等腰的底角，， 是等边三角形，A正确； 对于B，若四点共圆，则四边形对角互补， 由A正确知， 但由于时， ， ∴B不正确. 对于C、D，设，则， ， ， ， ， ， ， ，∴C正确，D不正确； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填. 考点：正弦定理及运用． 13. 如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解即可. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有. 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即 在三角形中，，，由勾股定理可得：,且. 同理可求：，因为，所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 故答案为： 14. 已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设点,,,的坐标，求出的坐标，利用数量积的坐标表示和辅助角公式求得为关于的三角函数，结合正弦函数的性质即可求解． 【详解】以外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图， 因为等边的边长为，则， 设， 则，， 所以， ， 因为，所以 所以的最大值为2． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可； （2）利用复数的几何意义和投影向量的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 由已知可得， 因为为纯虚数，所以； 小问2详解】 由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 16. 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r． （1）以r为变量，表示圆柱的表面积和体积； （2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1） ，. （2）当时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据勾股定理求出的值，即可求得圆柱的表面积和体积； （2）利用基本不等式可求得圆柱的侧面积最大值，利用等号成立的条件可求得的值. 【小问1详解】 解：记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接. 高，则，所以， 所以，圆柱的底面积为，侧面积为， 圆柱的表面积为，圆柱的体积为. 【小问2详解】 由（1）知，圆柱的侧面积为， 则， 当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为． 17. 如图，菱形的边长为，，，． 求：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算法则，可得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解； （2）由（1）知，求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为菱形的边长为，，，， 由向量的线性运算法则，可得， 所以 . （2）由（1）知，， 可得，即， ，即， 所以. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. （1）当为的中点时，求证：平面. （2）当平面，求出点的位置，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【小问1详解】 取中点为，连接， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； 【小问2详解】 连接，相交于，连接， 面，面面面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点三等分点. 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解， （2）根据余弦定义以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解， （3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， 又，， ，,， 【小问2详解】 ， ，又， ， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ， ． 【小问3详解】 由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$