内容正文:
数学试卷 第 1页,共 4页
深圳实验学校中学部 2024-2025 学年度第二学期阶段检测
初二年级 数学试卷
考试时间:90 分钟 试卷满分:100 分
说明:请考生在答题卷指定区域按要求规范作答,考试结束上交答题卷.
第Ⅰ卷
一、单选题(8 小题,每小题 3 分,共 24 分)
1.下列各组数中,能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B. 2, 3,5 C.6,8,11 D.5,12,13
2.已知� < �,c为任意数,则下列不等式中总是成立的是( )
A.�
�
< �
�
B.� − � < � − � C.� − � < � − � D.��2 < ��2
3.在平面直角坐标系中,点� −5,4 与点�关于原点对称,则点�的坐标为( )
A. −5, − 4 B. −5,4 C. 5, − 4 D. 4, − 5
4.已知� + � = 4,�� = 3,则�2� + ��2的值为( )
A.12 B.7 C.4 D.3
5.下列式子中,从左往右变形错误的是( )
A.�
�
= ��
��
� ≠ 0 B. 1−�
2
�−1 2
= 1+�
�−1
C.− 1
�−1
= 1
1−�
D.3�
2�
= 3
2
6.如图,将一个边长分别为�� = 4, �� = 8的矩形纸片����折叠,使点�与�
重合,点�翻折到点�'处,则折痕��的长是( )
A. 3 B.2 3
C. 5 D.2 5
7.如果� − 2是��2 − �� + 2的一个因式,则 2� − �的值是( )
A.−2 B.−1 C.0 D.1
8.如图,四边形����是菱形,对角线��、��交于点�,�� ⊥ ��于点�,
�是线段��的中点,连接��.若�� = 4,�� = 5
2
,则��的长为( )
A.
6
5
B.
12
5
C.
18
5
D.
24
5
第Ⅱ卷
数学试卷 第 2页,共 4页
二、填空题(5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
9.如图,△ ���中,∠� = 90°, ∠���的平分线交��于点�,若�� = 5,则点
�到��的距离是 .
10.若不等式 � − 3 � > 2 � − 3 的解集为� < 2,则 a的取值范围
是 .
11.如图,在长为 50m,宽为 30m的长方形地块上,有纵横交错的几条小路,
宽均为 5m,其他部分均种植花草.则种植花草的面积是 m2.
12.如图,��是平行四边形����的对角线,点 E在��上,�� =
�� = ��,∠��� = 17°,则∠��� = °.
13.如图,正方形����的边长为 4,E为��上一点,且�� = 1,F为��边上的一个动点,连接��,以��
为边向右侧作等边△ ���,连接��,则��的最小值为 .
三、解答题(共 61 分)
14.(本题 6分)分解因式:
(1)3�2 + 6�� + 3�2
(2) � + � 2 − 4� � + � + 4�2
15.(本题 8分)(1)计算:
1
�
+ 1
�
2
÷ 1
�2
− 1
�2
(2)解方程:
2�
2�−5
− 2
2�+5
= 1
16.(本题 9分)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1个单位长度,△ ���三个顶点的位置如图
所示.现将△ ���平移,使点�与点�重合.点�,�分别是点�,�的对应点.
(1)请画出平移后的△���.
(2)连接��,��,则这两条线段之间的关系是__________.
(3)求△ ���的面积.
数学试卷 第 3页,共 4页
17.(本题 8分)跳绳是深圳体育中考的必考项目之一.深圳实验学校中学部每天的阳光体育活动时间都要
组织全体学生在操场上练习跳绳,场面壮观.对青少年来说,经常跳绳有助于身体长高.
(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成,某工厂生产某种型号的跳绳,一名工人每天可生产 400个手柄或
1000根绳子,现打算安排 18名工人来生产,如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套?
(2)甲、乙两位同学进行跳绳训练,甲计划跳 120个,乙计划跳 100个,若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均
每秒跳绳个数的
3
2
倍,甲、乙同时开始跳,但乙在跳的过程中因死绳耽搁了 5秒钟,最后甲比乙提前 15秒
完成跳绳训练,求甲平均每秒跳绳多少个?
18.(本题 8分)已知关于 x,y的二元一次方程组
� + � = 3�
� − � = � + 2
(1)若方程组的解是正数,求 m的取值范围;
(2)若方程组的解满足 2� − 3�不小于 0,求 m的取值范围.
19.(本题 10分)如图,直线��:� = 3
4
� + 3
2
与坐标轴交于 A、B两点,点
C与点 A关于 y轴对称.�� ⊥ �轴与直线��交于点 D.
(1)求点 A和点 B的坐标;
(2)点 P在直线��上,且△ ���的面积为9
2
,
①求出点 P的坐标;
②点 Q为平面内一点,当点 P在直线��下方时,以点 A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,请直
接写出所有符合要求的点 Q坐标.
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20.(本题 12分)课本再现如下.请完成下面三个问题.
定理证明
(1)已知:如图①,��是△ ���的中位线.延长��至点�,使�� = ��,连接��.
求证:��//��且�� = 1
2
��.
知识运用
(2)如图②,在正方形����中,�为��的中点,�、�分别为��、��边上的点,若�� = 2,�� = 3,∠��� =
90°,求��的长.
能力拓展
(3)如图③,在四边形����中,∠� = 105°,∠� = 120°,�为��的中点,�,�分别为��,��边上的点,
若�� = 3 2,�� = 2,∠��� = 90°,求��的长.
答案 第 1页,共 16页
《深圳实验学校中学部 2024-2025 学年度第二学期阶段检测数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A B D B D
1.D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键.
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】解:A.22 + 32 = 13 ≠ 42,不能构成直角三角形,故该选项不符合题意;
B. 2
2
+ 3
2
= 5 ≠ 52,不能构成直角三角形,故该选项不符合题意;
C. 62 + 82 = 100 ≠ 112,不能构成直角三角形,故该选项不符合题意;
D. 52 + 122 = 169 = 132,可以构成直角三角形,故该选项符合题意;
故选:D.
2.B
【分析】本题考查了不等式的性质,根据不等式的性质,不等式两边同加同减一个实数,不
等号方向不变,同乘或同除大于 0的数,不等号方向不变,同乘或同除一个负数,不等号方
向改变,可得答案.
【详解】解:A、当� > 0时,�
�
< �
�
,当� < 0时,�
�
> �
�
,故 A不符合题意;
B、不等式两边都减 c,不等号的方向不变,故 B符合题意;
C、根据不等式基本性质,� − � > � − �,故 C不符合题意;
D、当� = 0时,��2 = ��2,故 D不符合题意;
故选:B.
3.C
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质,正确掌握关于原点对称点的性质是解题关
键.利用两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点�(�, �)关于原点�的对称点
是�' −�, − � ,进而得出答案.
【详解】解:∵点� −5,4 与点�关于原点对称,
∴点�的坐标为 5, − 4 ,
故选:C.
4.A
【分析】本题考查了提取公因式法分解因式;
对所求式子进行因式分解,然后整体代入计算.
答案第 2页,共 16页
【详解】解:∵� + � = 4,�� = 3,
∴�2� + ��2 = �� � + � = 3 × 4 = 12,
故选:A.
5.B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质,熟练掌握正负符号的改变和分式的分子分母同乘
除一个不为 0的数或代数式,分式的值不变是解题关键.
根据分式的基本性质逐项判断即可.
【详解】解:A、�
�
= ��
��
= ��
��
� ≠ 0 ,此选项正确,但不符合题意;
B、 1−�
2
�−1 2
= 1+� 1−�
�−1 2
= 1+� 1−�
1−� 2
= 1+�
1−�
≠ 1+�
�−1
,此选项错误,符合题意;
C、− 1
�−1
= 1
− �−1
= 1
1−�
,此选项正确,但不符合题意;
D、3�
2�
= 3�÷�
2�÷�
= 3
2
,此选项正确,但不符合题意.
故选:B.
6.D
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题,勾股定理,全等三角形的性质与判定,由折叠的
性质可得�� = ��,�� = ��,证明△ ��� ≌△ ���得到�� = ��,由勾股定理得到�� = 4 5,
则�� = �� = 2 5,设�� = �� = �,则�� = 8 − �,由勾股定理得:42 + 8 − � 2 = �2,
解方程得到�� = 5,则�� = 52 − 2 5
2
= 5,弧�� = 2�� = 2 5.
【详解】解:如图所示,连接��交��于点�,
由折叠可知,��垂直平分��,
∴�� = ��,�� = ��
在矩形纸片����中,�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
答案 第 3页,共 16页
∴�� = ��,
在 Rt △ ���中,�� = 4,�� = 8,
∴�� = ��2 + ��2 = 42 + 82 = 4 5,
∴�� = �� = 2 5,
设�� = �� = �,则�� = 8 − �,
在 Rt △ ���中,由勾股定理得:42 + 8 − � 2 = �2,
解得:� = 5,
∴�� = 5,
在 Rt △ ���中,�� = 52 − 2 5
2
= 5,
∴�� = 2�� = 2 5,
故选:D.
7.B
【分析】本题考查因式分解,根据题意可知� = 2是方程��2 − �� + 2 = 0的一个根,然后
代入解题即可.
【详解】解:∵� − 2是��2 − �� + 2的一个因式,
∴当� = 2时,��2 − �� + 2 = 4� − 2� + 2 = 0,
解得:2� − � =− 1,
故选:B.
8.D
【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理,由菱形的性质得�� ⊥ ��, �� = ��, �� = ��,
则∠��� = 90°,因为 F是线段 AD的中点,求出��长,然后根据�菱形���� = 5�� =
1
2
× 8 ×
6,求出��长即可.
【详解】解:∵四边形����是菱形,对角线��、��交于点�,
∴�� ⊥ ��, �� = ��, �� = ��,
∴∠��� = 90°,
∵�是线段��的中点,�� = 5
2
,
∴ �� = 1
2
�� = 5
2
,
∴�� = �� = 5,
答案第 4页,共 16页
∵�� = 4,
∴�� = 2�� = 8,�� = ��2 − ��2 = 52 − 42 = 3,
∴�� = 2�� = 6,
∵�菱形���� = 5�� =
1
2
× 8 × 6,
∴ �� = 24
5
,
故选: D.
9.5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质,先作�� ⊥ ��,根据角平分线的性质可得答案.
【详解】解:如图所示,过点 D作�� ⊥ ��,交��于点 E,
∵��平分∠���,∠� = 90°,�� = 5,
∴�� = �� = 5,
所以点 D到��的距离是 5.
故答案为:5.
10.� < 3
【分析】本题考查了不等式的基本性质以及根据不等式的解集求参数的取值范围,解题的关
键是根据不等式两边同除以一个数后不等号方向的变化,判断这个数的正负性.观察不等式
(� − 3)� > 2(� − 3)及其解集� < 2,发现不等号方向发生了改变.根据不等式的基本性质,
判断 � − 3 的正负性,进而求出�的取值范围.
【详解】解:∵不等式 � − 3 � > 2 � − 3 的解集为� < 2,
∴ � − 3 < 0
解得:� < 3,
∴ �的取值范围是� < 3,
故答案为:� < 3。
11.1125
【分析】本题考查了图形的平移的性质,可以根据平移的性质,此小路相当于一条横向长为
50米与一条纵向长为 30米的小路,种植花草的面积=总面积−小路的面积+小路交叉处的
答案 第 5页,共 16页
面积,计算即可.
【详解】解:解:根据题意得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路的面积,所以种植花
草的面积为:(50 − 5) × (30 − 5) = 1125(m2),
故答案为:1125.
12.129
【分析】本题考查平行四边形的性质,根据题目条件可知△ ���和△���均为等腰三角形,
即可求出∠���,∠���,进而可求出∠���,即可得出答案.
【详解】解:在平行四边形����中,�� = ��,
∵�� = �� = ��,
∴�� = �� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 17°,
∴∠��� = ∠��� + ∠��� = 34°,
∴∠��� = ∠��� = 34°,
∴∠��� = 180° − ∠��� − ∠��� = 112°,
∴∠��� = ∠��� + ∠��� = 129°,
∴∠��� = ∠��� = 129°,
故答案为:129.
13.5
2
【分析】本题考查了旋转的性质,线段极值问题,由题意分析可知,点为主动点,�为从动
点,所以以点�为旋转中心构造全等关系,得到点�的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造
直角三角形获得��最小值.
【详解】解:∵正方形����的边长为 4,E为��上一点,且�� = 1,
∴�� = �� = �� = �� = 4,�� = 3,∠� = ∠� = ∠� = ∠��� = 90°,
策略一:找始末,定轨迹
分别以��,��为边,构造等边三角形△ ���2和△���1,即点�在�时,点�在�1,点�在�
时,点�在�2,
∴线段�2�1即为点�的轨迹,
过�作�� ⊥ �2�1于�,过�作�� ⊥ ��于�,则根据垂线段最小可得�� = ��最小,
答案第 6页,共 16页
∵等边三角形△ ���2和△���1,
∴∠�1�� = ∠���2 = 60°,�1� = �1� = �� = 1,�2� = �2� = �� = 12 + 42 = 17,
∴∠�1��2 = ∠���,
∴△ ��� ≌△ �2�1� SAS ,
∴∠��� = ∠�2�1� = 90°,
∵�� ⊥ �2�1,�� ⊥ ��,
∴四边形�1���是矩形,
∴�1� = �� = 1,∠�1�� = 90°,
∴∠��� = 30°,
∴�� = 1
2
�� = 3
2
,
∴�� = �� = �� + �� = 1 + 3
2
= 5
2
,
∴��的最小值为5
2
,
故答案为:
5
2
;
策略二:在点�轨迹上找一点进行旋转,解出从动点轨迹
以��为边,构造等边三角形△ ���,过�作�� ⊥ ��于�,过�作�� ⊥ ��于�,�� ⊥ ��
于�,连接��,
∵等边三角形△ ���和△ ���,
∴∠��� = ∠��� = 60°,�� = ��,�� = �� = 12 + 42 = 17,
答案 第 7页,共 16页
∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△��� SAS ,
∴∠��� = ∠���,
即∠���为定值,则点�的轨迹为直线��的一部分,
∴当点�在点�时,��最小,
∵∠��� = ∠���,�� = �� = 12 + 42 = 17,∠��� = ∠��� = 90°,
∴△ ��� ≌△��� AAS ,
∴�� = �� = 1,∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠��� = 60°,
∴△ ���为等边三角形,
∴∠��� = 120°,
∴∠��� = 30°,
∴�� = 1
2
�� = 3
2
,
由四边形����是矩形,得到�� = �� = 1,∠��� = 90°,
∴�� = �� = �� + �� = 1 + 3
2
= 5
2
,
∴��的最小值为5
2
,
故答案为:
5
2
;
策略三:反向旋转相关定点,构造手拉手模型,代换所求线段.
以��为边,构造等边三角形△ ���,过�作�� ⊥ ��于�,�� ⊥ ��于�,连接��,
∵等边三角形△ ���和△ ���,
∴∠��� = ∠��� = 60°,�� = ��,�� = �� = �� = 3,
∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
答案第 8页,共 16页
∴�� = ��,
∵�� ⊥ ��,
∴�� = �� ≥ ��,∠��� = ∠��� = 90°,
∵�� ⊥ ��,�� = �� = �� = 3,
∴∠��� = 90°,�� = 1
2
�� = 3
2
,
∴四边形����是矩形,
∴�� = �� = �� + �� = 5
2
,
∴当�在�处时,�� = �� = �� = 5
2
最小,
故答案为:
5
2
.
14.(1)3(� + �)2
(2)(� − �)2
【分析】本题考查因式分解,解题的关键是熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解.
(1)先提取公因式,再利用完全平方公式;
(2)把(� + �)看成一个整体,利用完全平方公式进行因式分解.
【详解】(1)解:3�2 + 6�� + 3�2
= 3 �2 + 2�� + �2
= 3(� + �)2;
(2)解:(� + �)2 − 4�(� + �) + 4�2
= (� + �)2 − 2 × 2� × (� + �) + (2�)2
= [(� + �) − 2�]2
= (� + � − 2�)2
= (� − �)2.
15.(1)
�+�
�−�
;(2)� =− 35
6
【分析】本题考查了分式的化简,分式方程,熟练计算是解题的关键.
(1)先计算括号里,再算除法,约分化简即可;
(2)去分母化成整式方程,解答后检验即可得出答案.
【详解】解:(1)
1
�
+ 1
�
2
÷ 1
�2
− 1
�2
,
答案 第 9页,共 16页
= �+�
��
2
÷ �
2−�2
�2�2
,
= �+�
2
�2�2
÷ �+� �−�
�2�2
,
= �+�
2
�2�2
⋅ �
2�2
�+� �−�
,
= �+�
�−�
;
(2)
2�
2�−5
− 2
2�+5
= 1,
2� 2� + 5 − 2 2� − 5 = 2� + 5 2� − 5 ,
4�2 + 10� − 4� + 10 = 4�2 − 25,
6� + 10 =− 25,
6� =− 35,
� =− 35
6
,
检验:当� =− 35
6
时, 2� + 5 2� − 5 ≠ 0,所以原分式方程的解为� =− 35
6
.
16.(1)见解析
(2)��∥��,�� = ��
(3)7
【分析】本题主要考查了平移的性质,熟练掌握“平移后,各组对应点的线段互相平行且相
等”是解题关键.
(1)根据平移的性质作图即可;
(2)根据平移的性质即可得��∥��,�� = ��;
(3)利用补形法结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】(1)解:如图,△ ���为所求.
(2)解:如图,
答案第 10页,共 16页
由平移的性质可得:��∥��,�� = ��.
故答案为:��∥��,�� = ��.
(3)解:�△��� = 4 × 4 −
1
2
× 2 × 4 − 1
2
× 2 × 3 − 1
2
× 1 × 4 = 16 − 4 − 3 − 2 = 7.
∴△ ���的面积为 7.
17.(1)安排生产手柄有 15名工人,生产绳子工人有 3名;
(2)甲平均每秒跳绳 3个
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用,分式方程的应用;
(1)设安排生产手柄有�名工人,则绳子的工人有 18 − � 名,再分别表示手柄,绳子的生
产数量,结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成,再建立方程求解即可;
(2)设乙平均每秒跳绳�个,则甲平均每秒跳绳的个数是3
2
�个,则利用时间关系建立分式
方程求解即可.
【详解】(1)解:设安排生产手柄有�名工人,则绳子的工人有 18 − � 名,
由题可知:
1
2
× 400� = 1000 18 − � ,
解得:� = 15,
∴18 − � = 18 − 15 = 3(名),
答:安排生产手柄有 15名工人,生产绳子工人有 3名;
(2)解:设乙平均每秒跳绳�个,则甲平均每秒跳绳的个数是3
2
�个,则
120
3
2�
+ 15 = 100
�
+ 5,
解得:� = 2,
经检验:� = 2是原方程的根,且符合题意;
∴
3
2
� = 3,
答:甲平均每秒跳绳 3个.
18.(1)� > 1
(2)� ≥− 5
答案 第 11页,共 16页
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式,解一元一次不等式组,解
题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法.
(1)先把 m 看做常数利用加减消元法求出方程组的解,再根据方程组的解是正数得到关于
m的不等式组,解不等式求出 m 的取值范围即可;
(2)根据(1)所求结合 2� − 3�不小于 0建立不等式求解即可.
【详解】(1)解方程组
� + � = 3�
� − � = � + 2,
得
� = 2� + 1
� = � − 1 ,
∵方程组的解是正数,
∴ 2� + 1 > 0� − 1 > 0 ,
解得� > 1.
(2)∵方程组的解满足 2� − 3�不小于 0,
∴ 2(2� + 1) − 3(� − 1) ≥ 0,
解得� ≥− 5.
19.(1)点�、�的坐标分别为 −2,0 、 0, 3
2
(2)① 2, − 3
2
或 2, 15
2
;② 0, − 3 或 −4,3 或 4,0
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合,平行四边形的性质,熟练掌握一次函数的相
关知识是解题的关键.
(1)对于� = 3
4
� + 3
2
,求出� = 0时,� = 3
2
,� = 0时,则� =− 2,即可求出 A、B 的坐标;
(2)①设直线��交 y 轴于点 H,先求出点 C 的坐标,设� 2,2� ,求出直线��的解析式为� =
�
2
� + �,得到点 H 的坐标为 0,� ,根据△ ���的面积= �△��� + �△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
×
4 × 3
2
−� = 9
2
,由此求解即可;②设点 Q 的坐标为 �, � ,分以��为对角线,以��为对角
线,以��为对角线,由中点坐标公式列方程组即可得到结论..
【详解】(1)解:对于� = 3
4
� + 3
2
,令� = 0,则� = 3
2
,令� = 0,解得� =− 2,
故点�、�的坐标分别为 −2,0 、 0, 3
2
;
(2)解:①∵点 C 与点 A 关于 y 轴对称,� −2,0 ,
∴� 2,0 ,
答案第 12页,共 16页
设直线��交�轴于点�,
设� 2,2� ,
设直线��的解析式为� = �� + �,则 0 =− 2� + �2� = 2� + �,
解得:
� = �
2
� = �
,
∴直线��的解析式为� = �
2
� + �,
将� = 0代入� = �
2
� + �,则� = �,
∴� 0,� ,
则△ ���的面积= �△��� + �△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 4 × 3
2
−� = 9
2
,
即
3
2
−� = 9
4
,
解得:� =− 3
4
或� = 15
4
,
∴点�的坐标为 2, − 3
2
或 2, 15
2
;
②由(1)(2)知,� 2, − 3
2
,� −2,0 ,� 0, 3
2
,设点� �, � ,
∵点�、�、�、�为顶点的四边形是平行四边形,
∴①Ⅰ、以��为对角线,由中点坐标公式得
2 − 2 = 0 + �
− 3
2
+ 0 = 3
2
+ �,
∴
� = 0
� =− 3,
∴点� 0, − 3 ,
Ⅱ、以��为对角线,由中点坐标公式得
−2 = 2 + �
3
2
=− 3
2
+ � ,
∴
� =− 4
� = 3 ,,
∴点� −4,3 ;
Ⅲ、以��为对角线,由中点坐标公式得
−2+ � = 2
� =− 3
2
+ 3
2
,
∴
� = 4
� = 0,
∴� 4,0 ,
综上所述,以点�、�、�、�为顶点的四边形是平行四边形,点�坐标为 0, − 3 或 −4,3 或 4,0 .
20.(1)证明见解析
(2)5
答案 第 13页,共 16页
(3) 34
【分析】(1)先利用 SAS 证明△ ���≌△ ���,于是可得�� = ��,∠��� = ∠�,由内错
角相等两直线平行可得��∥��,进而可得�� = ��,结合��∥��,可证得四边形����为
平行四边形,于是可得��∥��,�� = ��,再结合�� = 1
2
��,即可得出结论;
(2)取��的中点�,连接��,延长��、��交于点�,由正方形的性质可得∠��� = ∠��� =
90°,由邻补角互补可得∠��� = 180° − ∠��� = 90°,进而可得∠��� = ∠���,由�为��
的中点可得�� = ��,利用 ASA 可证得△���≌△ ���,于是可得�� = �� = 3,�� = ��,
由三角形的中位线定理可得�� = 1
2
�� = 1
2
�� + �� = 5
2
,由直角三角形斜边中线等于斜边
的一半可得�� = 1
2
��,则�� = 2��,由此即可求出��的长;
(3)取��的中点�,连接��,延长��到点�,使得�� = ��,连接��,由�为��的中点
可得�� = ��,利用SAS 可证得△ ���≌△���,于是可得�� = �� = 3 2,∠��� = ∠� =
105°,过点�作�� ⊥ ��,交��的延长线于点�,连接��,由邻补角互补可得∠��� =
180° − ∠��� = 60°,进而可得∠��� = ∠��� − ∠��� = 45°,由直角三角形的两个锐角
互余可得∠��� = 90° − ∠��� = 45°,于是可得∠��� = ∠���,由等角对等边可得�� =
��,由勾股定理可得��2 + ��2 = ��2 = 18,于是可得�� = �� = 3,�� = �� + �� = 5,
在 Rt△���中,根据勾股定理可得�� = ��2 + ��2 = 34,由三角形的中位线定理可
得�� = 1
2
�� = 34
2
,由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得�� = 1
2
��,则�� = 2��,
由此即可求出��的长.
【详解】(1)证明:在△ ���与△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ���≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��,∠��� = ∠�,
∴ ��∥��,
又∵ �� = ��,
∴ �� = ��,
∵ ��∥��,
∴四边形����为平行四边形,
答案第 14页,共 16页
∴ ��∥��,�� = ��,
∵ �� = 1
2
��,
∴ ��∥��且�� = 1
2
��;
(2)解:如图,取��的中点�,连接��,延长��、��交于点�,
∵四边形����是正方形,
∴ ∠��� = ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 180° − 90° = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ �为��的中点,
∴ �� = ��,
在△���和△ ���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
,
∴△ ���≌△ ��� ASA ,
∴ �� = �� = 3,�� = ��,
∵ �为��的中点,�为��的中点,
∴ ��为△ ���的中位线,
∴ �� = 1
2
�� = 1
2
�� + �� = 1
2
× 2+ 3 = 5
2
,
∵ ∠��� = 90°,且�为��的中点,
∴ �� = 1
2
��,
∴ �� = 2�� = 2 × 5
2
= 5;
(3)解:如图,取��的中点�,连接��,延长��到点�,使得�� = ��,连接��,
答案 第 15页,共 16页
∵ �为��的中点,
∴ �� = ��,
在△ ���和△���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ���≌△��� SAS ,
∴ �� = �� = 3 2,∠��� = ∠� = 105°,
过点�作�� ⊥ ��,交��的延长线于点�,连接��,
∴ ∠��� = 90°,
∵ ∠��� = 120°,
∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 180° − 120° = 60°,
∴ ∠��� = ∠��� − ∠��� = 105° − 60° = 45°,
∴ ∠��� = 90° − ∠��� = 90° − 45° = 45°,
∴ ∠��� = ∠���,
∴ �� = ��,
又∵ ��2 + ��2 = ��2 = 3 2
2
= 18,
∴ �� = �� = 3,
∴ �� = �� + �� = 3 + 2 = 5,
在 Rt△���中,根据勾股定理可得:
�� = ��2 + ��2 = 32 + 52 = 34,
∵ �为��的中点,�为��的中点,
∴ ��为△ ���的中位线,
∴ �� = 1
2
�� = 34
2
,
∵ ∠��� = 90°,且�为��的中点,
答案第 16页,共 16页
∴ �� = 1
2
��,
∴ �� = 2�� = 2 × 34
2
= 34.
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用,全等三角形的判定与性质(SAS、
ASA),平行四边形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边中线等于斜边
的一半,直角三角形的两个锐角互余,等角对等边,内错角相等两直线平行,线段中点的有
关计算,利用邻补角互补求角度,线段的和与差等知识点,熟练掌握三角形的中位线定理是
解题的关键.