精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

上海市延安中学2024学年第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （考试时间：90分钟满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分． 1. 已知角的终边经过点，则_____． 2. 3弧度是第_____象限角． 3. 函数的最小正周期为______． 4. 已知是第四象限角，且，则_____． 5. 已知，则______． 6. 的单调递增区间为________________． 7. 已知，且，，则_____． 8. 在中，，则_____． 9. 如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____． 10. 函数，的值域是______． 11. 直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 12. 已知、满足，则_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 为了得到函数图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 15. 在中，“”是“是锐角三角形”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤． 17. 求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 18. 在中，角，，所对边分别为，，，若． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 19. （1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 20. 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进． （1）求值； （2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 21. 对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”． （1）证明函数“类周期函数”； （2）证明函数不是“类周期函数”； （3）已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市延安中学2024学年第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （考试时间：90分钟满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分． 1. 已知角的终边经过点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求出的值. 【详解】因为角的终边经过点，则. 故答案为：. 2. 3弧度是第_____象限角． 【答案】二 【解析】 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度，3弧度， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 3. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 4. 已知是第四象限角，且，则_____． 【答案】##-0.8 【解析】 【分析】根据所在的象限，及平方关系计算即可. 【详解】因为是第四象限角，且， 所以， 故答案为：. 5. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用诱导公式求解. 【详解】． 故答案为：. 6. 的单调递增区间为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间即得. 【详解】由，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 7. 已知，且，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得. 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 8. 在中，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理， 可得，设， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由，可得， 因为 ， 所以， 故答案为：. 9. 如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】中，可得，，，结合正弦定理，即可求解 【详解】如图所示，由题意得，在中，可得， ，， 所以 由正弦定理得． 因此，点与灯塔的距离为是. 故答案为：. 10. 函数，的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 11. 直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可. 【详解】由正弦函数性质得的周期为， 如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点， 从左自右依次为、、， 则，因为，所以， 解得，令，解得， 由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为， 则， 而的纵坐标为，代入解析式中得到， . 故答案为： 12. 已知、满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理可得，结合正、余弦函数的有界性可得，即可得结果. 【详解】因，则， 整理可得， 因为，可得， 即，可得， 所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出各个函数的定义域，再根据与的关系即可做出判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，所以是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为 且，所以是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为， 且， ，，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 14. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由图象平移变换，把化为后可得． 【详解】∵，因此把函数的图象上所有的点向左平移个单位即得． 故选：B． 15. 在中，“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明充分性不成立即可，必要性由，且为锐角，则成立． 【详解】当，时，有，但是钝角三角形； 当是锐角三角形时，，且为锐角，则 故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件 故选：B 16. 三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数周期定义判断①②即可. 【详解】对于①，设，该函数的定义域为， 因为， 故函数是周期函数，①对； 对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 若函数是周期函数，设为该函数的一个周期， 则存在非零整数、，使得，，可得，所以，， 因为为无理数，而为有理数，故等式不成立， 所以函数不是周期函数，②错. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤． 17. 求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】依题意，， 函数的最小正周期，函数的最大值为3， 当，即，时取得最大值． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，若． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到； （2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即， 所以，即 因为 所以， 因，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴，得， 所以的面积. 19. （1）证明三倍角公式； （2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）将表示成，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证； （2）将代入公式的表达式，再根据诱导公式，即可得到的表达式. 【详解】（1） ； （2）将代入公式， 可得， 因为，， 所以. 20. 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进． （1）求的值； （2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 【答案】（1） （2）当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大 【解析】 【分析】（1）先在直角三角形中和直角三角形中，求出,，再利用两角差的正切公式求出； （2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值. 【小问1详解】 ，，， ， ，， 【小问2详解】 设点距离底线米，过点作，垂足为，，则， ，， ，， 当时，即时，等号成立， 此时取得最大值， 又因为函数在上严格增，所以对应取得最大值, 所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大. 21. 对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”． （1）证明函数是“类周期函数”； （2）证明函数不是“类周期函数”； （3）已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用“类周期函数”的定义，找到函数的一个“类周期”，即可证明函数是“类周期函数”； (2)利用反证法可以证明函数不是“类周期函数”； (3)利用函数是“类周期函数”将函数化简，再进行充分必要性的证明. 【小问1详解】 取，，， ， 函数是“类周期函数”，是其一个“类周期”； 【小问2详解】 假设函数是“类周期函数”， 则存在非零常数，使得对任意都成立， 取，则可得，所以，与矛盾， 所以假设不成立，故函数不是“类周期函数”； 【小问3详解】 函数，是“类周期函数”， 则存在非零常数，使得，对任意都成立. 取，则，， 对于函数，则有，所以， 或， 对于，取，则， 所以， 函数是“类周期函数”， 对于，取，则， ， 也是“类周期函数”， 不妨设，取，， 则， ， 不恒成立，所以不是的“类周期”， “”不是“是的一个‘类周期’”的充分条件； 下面证明必要性： 假设是的一个“类周期”，且，设， 则（其中）， 对于任意正整数，都有， ，而的值域为，矛盾， 假设不成立，必有， “”是“是的一个‘类周期’”的必要条件， 综上所述，“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$