上海市延安中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

由于试卷为学生扫描的，因此可能部分图片或题目不清晰，附录如下： 第8题： 在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5:7:8，则sinA+sinB+sinC=__________. 第9题图： 第20题图： D C B A E 学科网（北京）股份有限公司 $$上海市延安中学 2024 学年 第二学期 期中考试 高一年级 数学【答案】 一、填空题 1． 3 10 10 2．二 3． 2  4． 4 5  5． 1 3 6．   5 , 12 12 k k k             Z 7． 16 65  8． 10 3 7 9．10 2 10． 5 1 2, 4        11． 2 12． 1 二、选择题 13 14 15 16 C A B C 三、解答题 17．【解】 22 3sin cos 2sin 3sin 2 1 cos2 2sin 2 1 6 y x x x x x x              ， „„ 2 分 函数的最小正周期 2 T      „„ 4 分 函数的最大值为3， „„ 5 分 当 2 2 6 2 x k      ，即 3 x k    ， kZ时取得． „„ 6 分 ．． 18．【解】（1）由 cos cos 2 cosa B b A c A  ，可得 sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A  ， 即  sin 2sin cosA B C A  ，所以 1 cos 2 A  ， 3 A   „„ 3 分 （2）由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A     2 3b c bc   „„ 5 分 所以 249 13 3bc  ， 40bc  ， „„ 7 分 ABC△ 的面积 1 1 3 sin 40 10 3 2 2 2 S bc A     ． „„ 9 分 19．【解】（1）  sin3 sin 2 sin 2 cos cos2 sin           2 22sin cos 1 2sin sin         22sin cos cos 1 2sin sin          2 22sin 1 sin 1 2sin sin       3 3 32sin 2sin sin 2sin 3sin 4sin           ． „„ 4 分 （2）将 2   代入公式 5 3sin5 16sin 20sin 5sin      ，可得 5 3sin 5 16sin 20sin 5sin 2 2 2 2                                          „„ 6 分 因为 5 sin 5 sin sin cos 2 2 2                                  ， sin cos 2           ， 所以 5 3cos5 16cos 20cos 5cos      „„ 9 分 20．【解】（1） 90 45 2 AE   ， 60 6 27 2 CE    ， 15BE CE BC   ， 33DE DC CE   ， 1 tan 3 BE BAE AE    ， 11 tan 15 DE DAE AE    ，   11 1 915 3tan tan 11 1 28 1 15 3 DAB DAE BAE          „„ 4 分 （2）设点 P 距离底线 x米，过点 P 作 PQ BE ，垂足为Q ， PQ x ，则 3 x BQ  ， 12 3 x CQ CB BQ    ， 18 3 x DQ DB BQ    ， 12 1 tan 3 CQ CPQ PQ x     ， 18 1 tan 3 DQ DPQ PQ x     ，   tan tan tan tan 1 tan tan DPQ CPQ DPC DPQ CPQ DPQ CPQ             6 6 10 21618 1 12 1 101 93 3 x x xx x               „„ 6 分 6 3 10 216 5 4 15 2 10 9 x x      当 10 216 9 x x  时，即 18 15 13.9 5 x   时，等号成立， 此时 tan DPC 取得最大值， „„ 8 分 又因为函数 tany x 在 0, 2       上严格增，所以对应的 DPC 取得最大值 所以当点 P 距离底线13.9米时，P 对球门的张角（ DPC ）最大． „„ 10 分 21．【解】（1）取 2T  ，    2 2 sin 2 2f       ， 所以        2 2 sin 2 2 sin 2f x x x x x f x f              ， 函数   sinf x x x  是“类周期函数”，2 是其一个“类周期” „„ 3 分 （2）假设函数   cosf x x 是“类周期函数”， 则存在非零常数T ，使得  cos cos cosx T x T   对任意 xR都成立， 取 0x  ，则可得  cos 0 cos0 cosT T   ，所以cos0 0 矛盾！ 所以假设不成立。函数   cosf x x 不是“类周期函数” „„ 7 分 （3）函数  y f x 是“类周期函数”， 则存在非零常数T ，使得      f x T f x f T   ，对任意 x D 都成立。 取 0x  ，则      0 0f T f f T   ，所以  0 0f  ， 对于函数    sinf x A x   ，则有 sin 0  ，所以 k  ， kZ，   sinf x A x 或   sinf x A x  对于   sinf x A x ，取 2 T    ，则 2 2 sin sin 2 0f A A                        ， 所以     2 2 sin sin 2 sinf x A x A x A x f x f                                       ， 所以函数   sinf x A x 是“类周期函数”， 同理   sinf x A x  也是“类周期函数” „„ 9 分 不妨设   sinf x A x ，取T    ， sin 0f A           ， 则  sin sin sinf x A x A x A x                              ，   sin 0 sinf x f A x A x              ，  f x f x f                   不恒成立，所以   不是   sinf x A x 的“类周期” “   0f T  ”不是“T 是  y f x 的一个”类周期”的充分条件 „„ 11 分 下证必要性 假设T 是  y f x 的一个”类周期”，且   0f T  ，设   0f T   ， 则        1f k T f kT T f kT f T        （其中 *kN ）， 所以对于任意正整数 n，都有    f nT n f T  ，    f nT n f T n  ，而   sinf x A x 的值域为 ,A A ， 矛盾！ 假设不成立，必有   0f T  ， “   0f T  ”是“T 是  y f x 的一个‘类周期’”的必要条件， 综上所述，“   0f T  ”是“T 是  y f x 的一个‘类周期’”的必要非充分条件． „„ 14 分 必要性（证法二） 假设T 是   sinf x A x 的一个”类周期”， 即对任意 x D ，都有  sin sin sinA x T A x A T        ． 取 x T ，得    sin 2 2sinT T  ，即      sin cos sinT T T   ， 所以  sin 0T  或  cos 1T  ，而当  cos 1T  时，有  sin 0T  ． 所以，必有  sin 0T  ，则    sin 0f T A T  ． 由于试卷为学生扫描的，因此可能部分图片不清晰，附录如下： 第9题图： 720 第20题图： B A E上海市延安中学2024学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 (考试时间：90分钟满分：100分) 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对3分，否则一律得零分。 1.己知角ax的终边经过点P(-1,3),则si血a= 2.3弧度是第 象限角 3.函数y=an2x的最小正周期是 3 4. 已知c是第四象限角，且cosa=行，则sima= 5. 已知0-哥引片则m0} 6. 函数()=25s如2x+写)的单调增区间是 7. 已知ae}B引且m(a--号血B-音则csa 13 8. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC-:7:8,则sinA+sinB+sinC= 9.如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40°的 方向航行，货轮在B处观测到灯塔A在其南偏东70°的 方向上，航行半小时到达C点，此时灯塔A在其北偏 东65的方向上，则C点与灯塔A的距离为 km 10.函数f(x)=2sinx·cosx+sinx-cosx,xeR的值域是 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 11.直线y=m(m>0)与函数f(x)=4si血(2x+p)图像的相邻的三个交点从左自右依次为A、 B、C,若AB=2BC,则m= 12.已知a、B满足， 3 22 +1,则sin(a-)= sinacos B sina cosB 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。 13.下列函数中是奇函数的是() (A)y=x.sinx sinx (B)y= (C)y=x+sinx (D)y=x+cosx 14.为了得到函数y=2sin3x+ 的图像，只要将函数y=2sin3x图像上所有的点（) 4 (A)向左平移T个单位 (B)向右平移汇个单位 3 12 (C)向左平移严个单位 (D)向右平移严个单位 4 15.△ABC中，“sinA>cosB”是“△ABC是锐角三角形”的() (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 16.三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型.关于三角函数周期性给出两个结论： ①函数y=cosx·cos2x是周期函数：②函数y=cosx+cos(πx)是周期函数.则下列判断 正确的是( (A)①②都正确 (B)①②都错误 (C)①正确，②错误 (D)①错误，②正确 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 步骤 17.(本题满分6分)求函数y=2√3 sinxcosx+2sin2x的最小正周期、最大值，并求出取得 最大值时所有x的值. 18.(本题满分9分，第1小题满分3分，第2小题满分6分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B+bcosA=2 ccosA. (1)求A的大小： (2)若a=7,b+c=13,求△ABC的面积. 19.(本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分) (1)证明三倍角公式sin3a=3sina-4sina; (2)DS同学试着将匹-a代入第(1)小题中的公式，得到： g-aj}3任a4m{经=osa-4oea, 又自涛寻公火可知m行-小儿径-动-ma,所以wa=46a-3ca 若已知五倍角正弦公式sin5a=16sin3a-20sin3a+5sina对任意aeR恒成立，试推导 用cosa表示cos5a的五倍角余弦公式. C扫描全能王 亿人在用的扫描A 20.(本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分) 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门CD位于底线中央(CD中点与 底线中点重合).A是球场边线的中点，B是底线上一点，且BC=12米，球员甲沿AB方向带 球突进。 (I)求tan∠DAB的值： (2)若甲准备在线段AB上某一点P处起脚射门，试 问点P距离底线多远时，P对球门的张角（∠DPC)最大？ (结果精确到0.1米) 21.(本题满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分7分) 对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T∈D,使得当x取其定义域D中的 任意值时，有x+T∈D,且成立f(x+T)=f(x)+f(T),则称函数y=f(x)是“类周期函数”， 这个非零常数T叫做函数y=f(x)的一个“类周期 (1)证明函数f(x=x+sinx是“类周期函数”： (2)证明函数f(x)=cosx不是“类周期函数”： (3)已知函数f(x)=Asi血(ox+p)(其中A>0,0>0)是“类周期函数”，证明：“f(T）=0” 是“T是y=f(x)的一个‘类周期””的必要非充分条件. C扫描全能王 】亿人在用的扫描A