2～3古典概型、频率与概率（11大题型）（题型专练）高一数学北师大版2019必修第一册

2古典概型，3频率与概率 题型一：古典概型事件 1．下列试验中是古典概型的是（ ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 2．下列试验中符合古典概型研究的试验是（ ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 【答案】B 【分析】根据古典概型的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】在选项A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在选项B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在选项C中，试验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在选项D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古典概型. 故选：B 3．（多选）下列是古典概型的为（ ） A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 【答案】AD 【分析】根据古典概型的特征判断各项描述的概率是否为古典概型. 【详解】古典概型具有有限性、等可能性的特征，显然A、D满足， B中基本事件的个数是无限个，不是古典概型， C中每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型. 故选：AD 4．（多选）下列是古典概型的是（ ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 【答案】CD 【分析】根据古典概型的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是； B项中的样本点是无限的，故B不是； C和D项满足古典概型的有限性和等可能性，故C和D都是． 故选：CD 题型二：古典概型样本空间和样本点 1．一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意，列举出所有可能得情况，即可得到结果. 【详解】因为事件为“从箱中任取个小球观察其编号”， 则事件包含的样本点有， 共种. 故选：B. 2．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用交事件及对立事件的定义运算求解即可. 【详解】事件，事件， 又事件，． 故选：C 3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（ ） A．8 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【分析】由题意利用列表，列举出所以有情况，从中选出符合题目的情况，可得答案. 【详解】如表所示，表中点的横坐标表示抽得的第1张卡片上的数字，纵坐标表示抽得的第2张卡片上的数字， 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 则事件． 所以事件Q中含有10个样本点． 故选：B. 4．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（ ） A．6 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据根的判别式得到，然后找样本点即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为和， 方程有实数解， ， 则，共含19个样本点． 故选：C. 5．同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 (4)， 【分析】（1）利用列举法可得样本空间； （2）根据样本空间即可得样本点个数； （3）根据样本空间可得答案； （4）根据样本空间可得答案. 【详解】（1）这个试验的样本空间为 （2）由（1）可知，这个试验的样本点的个数为； （3）“”包含的样本点为，，，， “且”包含的样本点为，，，，，； （4）由（1）可知，． 题型三：计算古典概型问题的概率 1．为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（ ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据样本点的定义求解. 【详解】设4种课程编号为1,2,3,4，随机选报其中的2个， 样本点有：，共6个， 故选：C. 2．世界数学三大猜想：“费马猜想”､“四色猜想”､“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1+2"由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解. 【详解】不超过10的质数有：2，3，5，7共4个， 随机选取两个不同的数，基本事件为： 共6种， 其和为奇数包含的基本事件有：，共3个， 所以. 故选：D. 3．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可. 【详解】从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个， 即， 其中能构成三角形的基本事件有3个，即， 故所求概率. 故选：A 4．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法列出m，n的所有情况，根据古典概型的概率公式计算. 【详解】根据题意，m，n的情况如下： 共16种情况， 其中m，n满足的情况如下： 共10种情况， 所以两人“心领神会”的概率是. 故选：D. 题型四：根据古典概型的概率求参数 1．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ） A．4 B．5 C．12 D．15 【答案】A 【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值． 【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则， 解得（负值舍去）. 故选：A． 2．从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（ ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 3．某工厂生产的10件产品中，有n件次品，现从中任取3件产品，若取出的3件产品中至少有1件次品的概率为，则n＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得出的3件产品中1件次品都没有的概率为，再利用古典概型即可求出答案. 【详解】若取出的3件产品中至少有1件次品的概率为，则取出的3件产品中1件次品都没有的概率为.则. 故选：C. 4．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件为“选择景点”，事件为“选择景点”，先由对立事件求得再根据一般事件的概率加法公式即可求得结果. 【详解】记事件为“选择景点”，事件为“选择景点”， 则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”. 由题意得， 由得，， ∴. 故选：B. 5．如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可. 【详解】，则, 则. 故选：B. 题型五：利用概率的加法公式计算古典概型的概率 1．已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得的样本点个数，则可得的样本点个数，即可得解. 【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点， 又，故共有个样本点， 则有个样本点，故. 故选：C. 2．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 3．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先确定基本事件总数，再分别求出事件、事件、事件包含的基本事件数，最后根据概率的加法公式计算即可. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数. 骰子的点数为，其中质数有， 事件“第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数（第一次有种质数情况，第二次有种情况），则. 两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数. 第一次为奇数，第二次为偶数时，有种情况； 第一次为偶数，第二次为奇数时，有种情况. 所以事件包含的基本事件数，则. 事件表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”. 当第一次为，第二次需为奇数，有种情况； 当第一次为或，第二次需为偶数，各有种情况，共种情况. 所以。 根据概率加法公式. 故选：C 4．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以，故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 题型六：计算频率 1．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（ ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【答案】B 【分析】根据题意结合频率公式计算可得. 【详解】由题可知，样本在内的频率应为. 故选：B. 2．某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（ ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 【答案】B 【分析】由题意求出存活率后列式求解即可. 【详解】第一次试种植物的存活率为， 故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株. 故选：B 3．对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（ ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 【答案】D 【分析】根据频率的计算公式计算即可. 【详解】由题意，成绩在分之间的频率是. 故选：D. 4．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 题型七：辨析概率与频率的关系 1．下列说法正确的是（ ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可. 【详解】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 2．下面说法正确的是（ ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】C 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件，不一定正好1件是次品，故A错误； 对于C，天气预报：“明天降雨概率为”，则明天可能不下雨，故C正确； 对于B和D，概率是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该试验抛一枚硬币出现正面的频率是， 但是抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是，故B、D错误. 故选：C． 3．下列说法正确的有（ ） A．一般情况下，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小 B．如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，那么可以认为这枚骰子质地不均匀 C．若事件满足，则与一定是对立事件 D．“在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是古典概型 【答案】A 【分析】根据频率与概率的关系可判断AB的真假；举反例说明C是错误的；说明概率的类型可判断D的真假. 【详解】对A：在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故A正确； 对B：如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，并不能有足够的理由认为这枚骰子质地不均匀，故B错误； 对C：抛掷一枚骰子，设事件“所得点数不大于4”，事件“所得点数不大于2”，则，，，但与并不对立，故C错误； 对D：“在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是几何概型，故D错误. 故选：A 4．下列说法中正确的是（ ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断. 【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 题型八：用频率估计概率 1．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（ ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【分析】借助频率定义计算即可得. 【详解】设湖中有条鱼，则有，解得. 故选：C. 3．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 5．《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【分析】根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A 题型一：有放回与无放回问题的概率 1．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 2．从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】将两名男生编号为，两名女生编号为，记“抽到的两人都是男生”为事件， 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： ， 共16个样本点， 抽到的两人都是男生的样本点为有4个样本点， 所以； 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： ，共12个样本点， 抽到的两人都是男生的样本点为有2个样本点， 所以； 故选：A. 3．现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每种方式下取球成功的概率，比较即可得出结论. 【详解】设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6种可能，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12个. 所以； 方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有6种，第二次有5种，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10个. 所以； 方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3种），第二次从绿球中抽一个（3种），顺序可能固定为红→绿，则 其中“标号之和大于4”的基本事件有： （红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3个，所以； 所以. 故选：D. 4．（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（ ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD 5．现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球.当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为_____________；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为_______________. 【答案】/0.3；10 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为， 所以第三次取出的球为白球的概率为 ， 解得=10. 故答案为：. 题型二：古典概型的概率（提升） 1．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算质点移动4次可能的结果，质点质点位于原点左侧的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意可得：质点移动次可能的结果有种， 质点位于原点左侧可能结果为：向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次； 向左移动4次，共有1种移动情况，为：左左左左；向左移动3次，向右移动1次，共有4种移动情况，为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左； 所以质点位于原点左侧共5种移动情况， 由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为， 故选：A. 2．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是（ ） A．“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”为互斥事件 B．“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”为对立事件 C．的概率为 D．的概率为 【答案】C 【分析】由互斥事件、对立事件的定义判断AB，根据古典概型，判断CD选项即可得答案. 【详解】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种不同的情形． 对于A选项，“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误； 对于B选项，“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”不能同时发生， 是互斥事件，但是其中一个事件不发生时，另一个事件不一定发生（例如可发生“两次出现的点数之和为6”），所以不是对立事件，故B错误； 对于C选项，包含的样本点有，，共2个，所以，故C正确； 对于D选项，包含的样本点有，，，，，共5个， 所以，故D错误. 故选：C． 3．（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】CD 【分析】根据已知，利用列举法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型进行求解. 【详解】由题可知，事件A的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3， 甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个； 事件B的所有基本事件为：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3， 甲4乙5，甲4乙6，共8个；所以事件A与事件B有“公共部分”，故A、B错误； 所以事件的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6， 甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个； 又从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共个基本事件， 所以事件发生的概率为，故C正确； 事件发生的概率为：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共8个，所以事件发生的概率为，故D正确； 故选：CD. 4．（多选）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD 题型一：古典概型的综合应用 1．为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 【答案】(1)，平均数为分，中位数为分； (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值； （2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由已知可得，解得， 所抽取的名学生成绩的平均数为（分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以，中位数，由题意可得，解得（分）. （2）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为， 则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种. 故所求概率为. 2．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可； （2）结合（1）求解即可； （3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可. 【详解】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即， 设事件“两次取出的都是红球”，则， 设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则， 设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则， 设事件“两次取出的都是绿球”，则， 因为事件两两互斥， 所以P（第二次取到红球）. （2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）； （3）结合（1）中事件，可得，， 因为， 所以，即，解得（负值舍去）， 故. 3．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）①根据题意，列出样本空间即可； ②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 4．甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字、、、的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有种选择： ①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为，若，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次； ②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次． 记乙抽到的纸牌上的数字为，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束． (1)若甲只抽牌次，求甲赢的概率； (2)若甲抽牌次，求甲赢的概率； (3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字为多少时，甲选择②赢得游戏的概率更大？ 【答案】(1) (2) (3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字为或或时，甲选择②赢得游戏的概率更大 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式可求得甲赢的概率； （2）根据甲第一次抽到的纸牌进行分类讨论，从而求得甲赢的概率； （3）根据已知条件分别求出概率，列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下． 甲抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为，此时有种情况； 甲抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为、，此时有种情况； 甲抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为、、，此时有种情况； 依次类推，甲赢的情况共有种，故甲赢的概率为． （2）若甲抽牌次，甲赢的情况如下． ①甲第次抽到的纸牌上的数字为． 第次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为、，此时有种情况； 第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为、、，此时有种情况； …… 第次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为、、、、，此时有种情况． 以上有种情况． ②甲第次抽到的纸牌上的数字为． 第次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为、、，此时有种情况； 第次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为、、、，此时有种情况； 第次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为、、、、，此时有种情况， 以上有种情况． 依次类推，甲第次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有种． 甲第次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有种． 甲赢的情况的总数为． 故甲赢的概率为． （3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字为时， 若甲选择①，则甲第二次抽出的纸牌上的数字为、、、，共种， 若甲第二次抽出的纸牌上的数字为时，则乙抽取的牌上的数字为、、、，共种， 若甲第二次抽出的纸牌上的数字为时，则乙抽取的牌上的数字为、、、，共种， ， 若甲第二次抽出的纸牌上的数字为时，则乙抽取的牌上的数字为、、、、，共种， 所以，甲赢的情况的总数为， 而甲第二次、乙抽取牌的可能情况各为种，则甲赢的概率． 若甲选择②，则乙抽取的牌上的数字为、、、，共种， 而乙抽取的排上的数字共种情况，则甲赢的概率． 令，即，化简得，解得． 因为，且，所以或或． 综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字为或或时，甲选择②赢得游戏的概率更大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2古典概型，3频率与概率 题型一：古典概型事件 1．下列试验中是古典概型的是（ ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 2．下列试验中符合古典概型研究的试验是（ ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 3．（多选）下列是古典概型的为（ ） A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 4．（多选）下列是古典概型的是（ ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 题型二：古典概型样本空间和样本点 1．一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为（ ） A． B． C． D． 3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（ ） A．8 B．10 C．11 D．15 4．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（ ） A．6 B．17 C．19 D．21 5．同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 题型三：计算古典概型问题的概率 1．为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（ ） A．3 B．5 C．6 D．9 2．世界数学三大猜想：“费马猜想”､“四色猜想”､“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1+2"由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 3．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ） A． B． C． D． 题型四：根据古典概型的概率求参数 1．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ） A．4 B．5 C．12 D．15 2．从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（ ） A．28 B．14 C．10 D．8 3．某工厂生产的10件产品中，有n件次品，现从中任取3件产品，若取出的3件产品中至少有1件次品的概率为，则n＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A． B． C． D． 5．如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（ ） A． B． C． D． 题型五：利用概率的加法公式计算古典概型的概率 1．已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（ ） A． B． C． D． 2．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（ ） A． B． C． D． 3．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（ ） A． B． C． D． 4．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 题型六：计算频率 1．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（ ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 2．某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（ ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 3．对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（ ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 4．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A． B． C． D． 题型七：辨析概率与频率的关系 1．下列说法正确的是（ ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 2．下面说法正确的是（ ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 3．下列说法正确的有（ ） A．一般情况下，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小 B．如果将一枚骰子连续投掷10次，结果每次都是6点朝上，那么可以认为这枚骰子质地不均匀 C．若事件满足，则与一定是对立事件 D．“在区间上任取一数，求这个数大于1的概率．”是古典概型 4．下列说法中正确的是（ ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 题型八：用频率估计概率 1．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A． B． C． D． 2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（ ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 3．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 题型一：有放回与无放回问题的概率 1．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A． B． C． D． 2．从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球（标号分别为1、2、3），3个绿球（标号分别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为，，.则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（ ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 5．现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球.当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为_____________；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为_______________. 题型二：古典概型的概率（提升） 1．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（ ） A． B． C． D． 2．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是（ ） A．“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”为互斥事件 B．“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”为对立事件 C．的概率为 D．的概率为 3．（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 4．（多选）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 题型一：古典概型的综合应用 1．为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 2．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？ 3．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 4．甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字、、、的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有种选择： ①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为，若，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次； ②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次． 记乙抽到的纸牌上的数字为，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束． (1)若甲只抽牌次，求甲赢的概率； (2)若甲抽牌次，求甲赢的概率； (3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字为多少时，甲选择②赢得游戏的概率更大？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $