精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区凉州区金塔、和平九年制学校一模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 2. 在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算等知识是关键． 根据二次函数图象可得，结合题意判定即可． 【详解】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点， ∴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图像与轴有两个交点， ∴，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴与时，值相等， ∴当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 3. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关键．连接，，根据切线的性质得到，再根据等边对等角的性质推出，进而得到，则，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，， ，分别切于点A，B， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 5. 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了概率公式求概率，根据外观相同的5件产品中有2件为不合格产品利用概率公式即可得到答案． 【详解】解：∵外观相同的5件产品中有2件为不合格产品． ∴从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为， 故选：C． 6. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积． 故选：A． 7. 如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据已知得到，再证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即的值为， 故选：C． 8. 如图，内接于，，，则的半径为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，由圆内接四边形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的度数，由锐角的正弦求出的长．关键是求出的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式． 【详解】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于， ， ， ， ，， ， ， 的半径为4． 故选：A． 9. 图中几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可 【详解】解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，1，1， 故选D． 10. 如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，证明，设，由点和点，则，，求得，可得，进而求得直线的解析式为，联立，然后求出，再通过即可求解． 【详解】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点， ∵直线与反比例函数相交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，反比例函数， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点和点， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的两根关系，理解两根之和为，是解答关键． 根据一元二次方程的两根关系来求解． 【详解】解：，是方程的两个根， ． 故答案为：． 12. 已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，二次函数图象及性质等．根据题意可得，解出的值，再利用二次函数图象性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，解得：或， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴开口向上， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，在正方形中，E是的中点，F是延长线上一点，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，旋转的最小角度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转，可以通过绕点A逆时针方向旋转到的位置，的对应边是，和之间夹角即为旋转的度数，在正方形中，根据图形的位置关系，可得答案． 【详解】解：根据旋转的性质，的对应边是和之间夹角即为旋转的度数， 在正方形中，点E是的中点，点F是延长线上一点，， 故旋转的角度为90度． 故答案：． 14. 如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质和等边三角形的性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 设为正六边形的中心，连接，则是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：设为正六边形的中心，连接，如图， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长为1， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若的面积为5，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，面积问题，理解题意，综合运用两个函数的性质是解题关键．设直线的解析式为，交y轴于点，根据题意得出点C为A、B中点，设，确定，再由面积得出，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，交y轴于点， ∵， ∴点C为A、B中点， 设， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴即， ∴的面积为：， ∴， 由图象得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点在的延长线上，点在边上，交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造平行线得到相似三角形是解题的关键；过点E作交于点G，则，，从而有，，得，即可求得结果． 【详解】解：如图，过点E作交于点G， 则，， ∴，， 即 ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线的性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题关键．由垂径定理可知，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由圆的切线可知，再利用特殊角的正切值求解即可． 【详解】解：是的半径，是的弦，，， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有______个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查根据三视图确定小正方体的个数，根据俯视图定位置，主视图确定个数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，当小立方块最少时，如图： （画法不唯一，第一列其中一个位置有2个，第二列其中一个位置有2个，剩余位置为1个即可）； （个）； 故答案为：7． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕原点按逆时针方向旋转，得到（点A，，的对应点分别为点，，）． （1）求出顶点，的坐标； （2）在图中画出． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置成为解题的关键． （1）先根据旋转方式结合网格的特点，确定的位置，然后写出点，的坐标即可； （2）顺次连接即可得到． 【小问1详解】 解：根据旋转方式结合网格的特点可得的位置如图：即为所求， ∴． 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可； （2）先将括号内的分式通分并计算后再利用分式的乘除法则化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴原式． 21. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用和矩形的面积公式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程． 设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长； 【详解】解：设矩形花园，则， 则有， 解得：或， 墙最长可利用28米， ， ， 的长为； 22. 如图，在等腰中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转到，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． （1）根据E点绕A点逆时针旋转到，可得，进而可以证明； （2）结合（1），和等腰三角形的性质，可得，进而得到，再根据直角三角形的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 解：中，，， ， 由旋转可知：，， ∴， ∴， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解： ， ； ． 23. 如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，设交于，由是直径，，由三角形的外角，可知，，得到，结合半径相等以及同弧所对的圆周角相等，可知，，，从而得到，即，得证； （2）连接，，设交于，先证明，得到，结合等腰三角形三线合一，，，接着利用勾股定理，求得，利用算得，最后求得． 【小问1详解】 证明：连接，设交于，如图所示： 和所对的弧都是，和都是圆周角， ， ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ， 又和所对弧都是，和都是圆周角， ， ， 即， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，，设交于，如图所示： ，，， ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的证明，直径所对的圆周角等于90度，三角形外角的定义，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点、运用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积． （1）将点代入求出k，再将点代入反比例函数求出m，即可得点C的坐标，直线过B、C两点，用待定系数法求函数解析式即可； （2）先令，求出点D的坐标，再根据求面积即可． 【小问1详解】 解：∵点反比例函数上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得， 即， ∵轴于点C， ∴， 设直线的函数表达式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得，， 当时，， ∴， 由（1）可得， ， 即的面积为5． 25. 如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接． （1）求证：； （2）若，求直径和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆内接四边形可得，根据垂径定理可得，再利用平行即可得到，即可解答； （2）根据可得，连接，证明，即可求得，可得直径，过点作交于点，利用面积法即可求得，在根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 的直径⊥弦， ， ， ， 四边形为内接四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径为， 如图，过点作交于点， 根据勾股定理可得， 四边形为平行四边形， ，， ， 根据平行四边形的面积等于， 可得， ， , ， 26. 如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形； （2）解，得出，解，得出，然后菱形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：，平分， ，． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：，，， 在中，， ． ， 在中，，， ． 四边形是菱形， ． 27. 如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和点坐标； （2）若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）设交于点，根据已知得出的坐标，求得直线解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）分在轴上方和下方两种情况讨论，当在轴下方时只有当是等腰三角形时，只能，根据勾股定理建立方程结合等腰三角形的定义，解方程即可求解；当在轴上方时，分三种情况讨论，分别画出图形，结合勾股定理，建立方程，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点，关于直线的对称， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴M点坐标为或； 【小问3详解】 解：当轴下方时，连接，如图， 依题意，当是等腰三角形时，只能， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 当在轴上方时， ①当时，如图，连接， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ②当时，如图，设，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：（舍去）或， ∴， ③当为等腰三角形，时，如图， ， ， ∴， 综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　） A. B. 3 C. D. 4 5. 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图，D，E分别是边，上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于，，，则的半径为（ ） A. 4 B. C. D. 9. 图中几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 设，是方程的两个根，则________． 12. 已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为_______． 13. 如图，在正方形中，E是的中点，F是延长线上一点，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，旋转的最小角度为______． 14. 如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是_____． 15. 如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若的面积为5，则______________． 16. 如图，在中，点在的延长线上，点在边上，交于，若，则______． 17. 如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为______． 18. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有______个． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕原点按逆时针方向旋转，得到（点A，，的对应点分别为点，，）． （1）求出顶点，的坐标； （2）在图中画出． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中m满足． 21. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长． 22. 如图，在等腰中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转到，连接、． （1）求证：； （2）若，求度数． 23. 如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长度． 24. 如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接． （1）求直线函数表达式； （2）求的面积． 25. 如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接． （1）求证：； （2）若，求直径和的长． 26. 如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求和的长． 27. 如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和点坐标； （2）若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$