第3章 图形的平移与旋转 章节知识点复习题2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第3章《图形的平移与旋转》章节知识点复习题 【题型1 平移的概念】 1.庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子． 2.下列物体的运动属于平移的是（    ） A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千 C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶 3.现实世界中平移现象无处不在，下列汉字可由其中一部分平移得到的是（   ） A． B． C． D． 4.我们知道，在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”；按此方法，若输入数字密码，则最后输出口令为 ． 【题型2 平移的性质】 1.如图，长方形中，线段、相交于点O，，，那么三角形可以看作由 平移得到的． 2.在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为 cm2． 3.某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（　　）m2． A．9 B．11 C．18 D．27 4.如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则的值为 ． 【题型3 简单平移作图】 1.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； (2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； (3)求四边形的面积． 2.如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 3.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，把经过平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，点的对应点为． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积． 4.在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． (1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； (2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 【题型4 点沿坐标轴方向的平移】 1.在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，将点平移到点，经过的平移变换为（    ） A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 4.在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是 【题型5 图形沿坐标轴方向的平移】 1.如图，把图1中的经过一定的变换得到图2中的，如果图1中上点P的坐标为，那么这个点在图2中的对应点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 2.如图，在边长为1的小正力形组成的网格中，点A，B，C部在格点上，若将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，则线段AB扫过的面积为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 3.如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是、，右图中左眼的坐标是，，则右图案中右眼的坐标是 ，左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 ． 4.如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．    【题型6 旋转的相关概念】 1.将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 2.下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 3.如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【题型7 旋转的性质及应用】 1.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ． 2.如图所示，将等边三角形ABC分割成大小相同的9个小等边三角形，分别标上数字1，2，3，…，9，那么标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，可以和标有数字 的小等边三角形重合． 3.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接． （1）的长为 ； （2）的长为 ． 4.如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【题型8 旋转作图】 1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．    (1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项） A．                B．                    C． (2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ； (3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数. 2.如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出绕点顺时针旋转后的． (2)的坐标是_______． (3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积． 若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________； 3.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）． 4.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 　； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）． 【题型9 确定旋转中心】 1.如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 2.如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”） 3.如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 4.如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【题型10 与旋转有关的全等三角形】 1.如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．    (1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； (2)当旋转角为时，连接，求的值． (3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 2.如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 3.已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 4.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【题型11 中心对称的概念与性质】 1.如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 2.若点与点关于原点对称，则，的值分别为（     ） A．，2 B．3， C．， D．3，2 3.如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．    4.在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【题型12 画与原图成中心对称的图形】 1.如图，在平面直角坐标系中有一个． (1)作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标； (2)求出的面积． 2.如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 3.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点对称的； (2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． (1)作，使与关于原点成中心对称． (2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 【题型13 中心对称图形的概念】 1.1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．东北地理与农业生态研究所 B．山西煤炭化学研究所 C．生态环境研究中心 D．西安光学精密机械研究所 2.蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 3.如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 4.如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形. 【题型14 分析图案的形成过程】 1.如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 2.经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是(　　) A． B． C． D． 3.如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处(    )    A．A B．B C．C D．D 4.将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【题型15 简单的图案设计】 1.下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们． 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须一个是中心对称图形，另一个是轴对称图形． 2.图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上． (1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）； (2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）． 3.如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 4.图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 参考答案 【题型1 平移的概念】 1. ② ① ③ 【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可． 【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置； 观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少． 故答案为：②，①，③ 2.C 【分析】本题考查了生活中的平移现象；根据平移的定义：将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动方式叫做平移，进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 汽车方向盘的转动，不是平移，不符合题意；     B. 小红荡秋千，不是平移，不符合题意；     C. 电梯上顾客的升降运动,是平移，符合题意；     D. 火车在弯曲的铁轨上行驶，不是平移，不符合题意；     故选：C． 3.A 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可． 【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字可以通过平移得到， ∴“”可以通过平移得到． 故选：A． 4.数学 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，平移． 根据题意得出平移方法为向上平移2格，向右平移1格，即可解答． 【详解】解：由图可知“相交”向上平移2格，向右平移1格得到“平行”， ∵数字密码对应的口令为“文化”， ∴最后数出密码为“数学”， 故答案为：数学． 【题型2 平移的性质】 1. 【分析】根据平移的性质，可得答案． 【详解】解：在长方形中，、相交于点O，，，那么三角形可以看作是三角形平移得到的，平移的距离是线段的长． 故答案为：． 2.25 【分析】观察图形可得一匹飞马的面积正好是边长是5cm的小正方形的面积． 【详解】解：由平移规律可得，一匹“飞马”部分的面积为(cm2)， 故答案为：25 3.C 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，所铺地毯的长为，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 4. 【分析】本题主要平移的性质，根据平移得到，从而可得与n的关系式，根据即可求解． 【详解】解：由题意可得点B向右平移4个单位长度得到点，点向右平移4个单位长度得到点，……，点向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 故答案为：． 【题型3 简单平移作图】 1.（1）解：如图，四边形即为所求． ，，． （2）解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：． 2.（1）解：如图，△DEF为所作； ； （2）解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 3.（1）∵对应的点为， ∴点向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， ∴点A，B，C的平移方式与其相同， ∴如图所示： （2）． 4.（1）解：如图所示，所得的图案是由原来的图案向右平移4个单位得到的； （2）如图所示：所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得到的． 【题型4 点沿坐标轴方向的平移】 1.C 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反． 直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到2，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动5个单位，向下移动3个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 2.B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答． 【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即， 再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即． 故选：B 3.C 【分析】本题考查点的平移．根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点； 故选C． 4.或 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的性质是解的关键．由题意可知，由，得出，即可得出，解得或，根据平移的性质，得出，然后分或两种情况解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， 或， 线段进行平移得到线段， ， 当时，则， 解得：， 当时，则， 解得， ∴c的值是12或4． 故答案为：12或4． 【题型5 图形沿坐标轴方向的平移】 1.C 【分析】根据图象得经过平移得到，再由对应点得出平移方式即可求解． 【详解】解：根据图象得经过平移得到， ∵，， ∴平移方式为：向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴P的坐标为，的坐标为， 故选：C． 2.B 【分析】观察图象可知线段AB扫过的图形是正方形，求出正方形的边长即可解决问题． 【详解】解：由题意，AB==． 线段AB扫过的图形是正方形ABCD，所以线段AB扫过的面积=（）2=10． 故选：B． 3. 【分析】本题考查了点的平移；根据两眼的距离为2，得出右图案中右眼的横坐标为，即可得出右图案中右眼的坐标；根据左眼的坐标从平移到右图中左眼的坐标是，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，即可得出点平移后的坐标，即可求解． 【详解】解：∵左图案中左右眼睛的坐标分别是、， ∴两眼间的距离为2，且平行于轴， ∵右图中左眼的坐标是， ∴右图案中右眼的横坐标为． 则右图案中右眼的坐标是． ∵左眼的坐标从平移到右图中左眼的坐标是，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 故答案为：，． 4.或． 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 设平移后点P、Q的对应点分别是．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是． 分两种情况： ①在y轴上，在x轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ∴， ∴点P平移后的对应点的坐标是； ②在x轴上，在y轴上， 则纵坐标为0，横坐标为0， ∴， ∴点P平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 【题型6 旋转的相关概念】 1.C 【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解． 【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍， 故选C． 2.D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 3.A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点， ∴下列角一定等于的是． 故选A． 4.C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 【题型7 旋转的性质及应用】 1. 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质．由旋转得，则．根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解∶由旋转得， ， ． ， 故答案为：． 2.7 【详解】解：由题意可得：标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°， 可以和标有数字7的小等边三角形重合． 故答案为7． 3. 10 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ； 故答案为：10； （2）由旋转的性质可知，，，，， ，， ， 故答案为：． 4. 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 【题型8 旋转作图】 1.（1）解：如图，旋转中心P的坐标为， 故选：A． （2）解：如图，即为所求作，点坐标为， 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可得，，， ∴ ∴，又， ∴， 则．    2.（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：由图可得：； （3）解：由图形可得：，， ∴． 3.解：如图，即为所求作： 4.（1）解：如图，即为旋转后的线段， ∴． （2）解：如图，即为所求： 【题型9 确定旋转中心】 1.3 【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案． 【详解】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合； 以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合； 以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合； 则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个． 故答案为：3 2. 平移 【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心. 【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到； 根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A. 故填平移；A. 3.D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 4.C 【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可． 【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接， 设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得，， 和的每一组对应顶点到点C的距离都相等， 两个格点和的旋转中心是点C， 故选：C. 【题型10 与旋转有关的全等三角形】 1.（1）过点作于，    由题意， ， ， ； （2）过点作于，如图②， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ； （3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．    过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ∴， ， ，，， ． 2.（1）证明：由题意可知，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，设相交于点F，    ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 3.（1）解：补全图1，如图，连接， ， ，即， ， ， ， ， ， ， F为的中点， ， ，， ， 同理， ， ， ， ； （2）， 证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．   是的中点， ． ，， ． ． ． ． 在中， ． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 4.（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”．    （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； （3）解：根据题意可得： 总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为， ∴总铺设成本最少为万元． 故答案为：．    【题型11 中心对称的概念与性质】 1. 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质． 根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，， ，， ， 与关于点中心对称， ，，，， 在中，根据勾股定理， 得， 故答案为∶． 2.C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故选：C． 3.证明：因为与关于点中心对称， 所以 所以，， 因为， 则 所以， 因为 所以 即， 因为， 所以， 则 4.D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【题型12 画与原图成中心对称的图形】 1.（1）解：如图，即为所求作的；由图可得：； （2）解：的面积为． 2.解：如图所示，的交点即为O，即为所求． 3.（1）解：如图，即为所作； ； （2）解：如图，即为所作； ． 4.（1）解：如图可得：，，，原点对称得：，，， 画图如下： 即为所求， （2）解：连接、，交点即为点，画图如下： 点即为所求， ∵与关于点成中心对称，且，， 所以对称中心的坐标为，即：， 故答案为：． 【题型13 中心对称图形的概念】 1.B 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可得到答案． 【详解】解：将一个图形旋转后仍然与原图形重合，故此图形为中心对称图形， A、东北地理与农业生态研究所不是中心对称图形，故选项A不符合题意， B、山西煤炭化学研究所是中心对称图形，故选项B符合题意； C、生态环境研究中心不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、西安光学精密机械研究所不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选B． 2.中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． 3.D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 4.或或 【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是，可得它至少旋转，据此解答即可． 【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形， 则两张图案构成的图形至少是正六边形， ∵正六边形的中心角是， ∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合， 所以旋转角可以是或或． 故答案为：或或． 【题型14 分析图案的形成过程】 1.D 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 2.C 【详解】A.经过平移可得到图形； B.经过平移和旋转可得到图形； C. 经过平移、旋转或轴对称的变换后，都不能得到图形； D.经过旋转可得到图形. 故选C. 3.B 【分析】观察图形，发现原图是后单位图形平移得到，据此即可求解． 【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成，   ∴空白处应该为：   故选B． 4.B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现. 【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合. 故选B. 【题型15 简单的图案设计】 1.解：中心对称图形： 轴对称图形 2.（1）解：如图①，作点B关于直线的对称点D， 四边形即为所求作； （2）解：如图②，四边形即为所求作． 3.（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   4.解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$