精品解析：云南省昭通一中教研联盟2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题（B卷）

昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高一年级期中质量检测 数学（B卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】因为集合，所以. 故选：C． 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标表示向量共线计算即可. 【详解】因为向量，且，所以. 故选：C． 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量的模相等 【答案】D 【解析】 【分析】由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误； 对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误； 对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反． 根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确， 故选：D． 4. 在中，满足，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】取的中点，则，所以． 又，故，即等腰三角形. 故选：C． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式结合齐二次式分子分母同时除以求解即可. 【详解】. 故选：A． 6. 已知为内一点，满足，则是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，同理可知，，所以，，，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 同理，，即点为的垂心. 故选：B. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对任意，且，都有，可知在上单调递减，然后由函数的奇偶性求解不等式即可. 【详解】由，且，都有， 则在上单调递减． 又函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减，由，则，且， 故或时，或时，， 所以的解集为， 故选：D． 8. 如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出辅助线，利用三角函数值求出各边长，考虑当点在上运动时，求出的最大值，当点在上运动时，当与重合时，取得最小值，求出最小值为，得到答案. 【详解】点为正八边形的中心，，故， 取的中点，连接，则⊥，， 其中， 故，， 故， 其中，⊥， 当点在上运动时，过点过⊥，交的延长线于点， 则，， 则 ， 由图象可知，此时为最大值， 当点在上运动时，， 显然当与重合时，取得最小值， 最小值为， 所以的范围是 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 已知向量，则与的夹角为 C. 向量能作为平面内所有向量的一组基底 D. 若向量是与向量同向的单位向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的加法运算判断A，根据向量夹角公式求解判断B，由向量平行判断C，根据单位向量的坐标运算判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，因为，故与的夹角为，故B错误； 对于C，注意到，则，即不能作为一组基底，故C错误；对于D，，故D正确. 故选：AD． 10. 定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，B选项，两个非零向量， 所以，即， 所以得到同向或反向，故A正确，B错误； 对于C，由定义知，，故C正确； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确， 故选：ACD． 11. 若函数，则下列判断正确的是（ ） A. 是减函数 B. 在上的最小值为 C. 若均为正整数，则为有理数 D. 若在上有零点，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数单调性的性质即可判断AB，代入计算即可判断C，由在上有零点可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为在单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，故A错误； 对于B，由A可知在单调递增，则，故B正确； 对于C，因为， 且均为正整数，则为有理数，故C正确； 对于D，由A可知，在单调递增，由在上有零点， 可得，即，解得， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则______（用和表示）． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可. 【详解】 因为是对角线上靠近点三等分点，所以， 则． 故答案为：. 13. 若向量满足，则在上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的概念计算求解即可. 【详解】因为， 所以在上的投影向量是． 故答案为： 14. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为______. 【答案】． 【解析】 【分析】由题意设关于的函数解析式为，然后由题意求解解析式即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为50m，得， 由最低点距离地面高度为10m，得，解得． 由转一周大约需要30min，得，解得． 又当时，，即，而，解得， 因此． 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，又与有公共点，即可证明； （2）由已知可设，根据是两个不共线的向量，即可求解. 【小问1详解】 由已知得， 因为，所以， 又与有公共点， 所以三点共线； 【小问2详解】 由（1）知，若，且， 可设， 所以， 即， 又是两个不共线的向量，所以， 解得. 16. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点． （1）是线段上靠近A的三等分点，求点的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后结合向量线性运算坐标表示可得答案； （2）由题可得且与不共线，据此可得答案. 【小问1详解】 设，则，由题可得，. 则，得，． 【小问2详解】 由题意， 又因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则解得， 则的取值范围为. 17. 已知在中，，分别为边上的点，且． （1）若，用向量方法求证：； （2）延长到，若（为常数），，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用为基底表示，根据数量积的运算律计算即可证明； （2）由三点共线，设，结合条件及三点共线的推论计算参数即可得出. 小问1详解】 证明：因为，所以． 又因为，所以． 因为，所以． 所以， 即，得证． 【小问2详解】 因三点共线， 设， 又因为， 所以，可得． 由在边上，可得，即． 又，则． 18. 若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）若函数（其中e为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意结合作差法可完成判断； （2）由，结合题意可得对一切正数恒成立；由，可得对一切正数恒成立，据此可得答案. 【小问1详解】 对于，当时，． 因为， 所以， 所以是“函数”． 【小问2详解】 当时，由是“函数”， 得， 即对一切正数恒成立． 因为，所以对一切正数恒成立， 所以． 由， 得， 即，注意到： 所以． 因为，所以． 由对一切正数恒成立， 所以，即， 综上可知，实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：对于恒成立或能成立问题，常见思路为分离参数后，转化为最值问题求解. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，再由同角的平方关系即可得证； （ⅱ）将已知条件代入可求得与夹角为，再由（ⅰ）的结论即可得答案. 【小问1详解】 因为， 可得：． 【小问2详解】 （ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高一年级期中质量检测 数学（B卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量的模相等 4. 在中，满足，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为内一点，满足，则是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 7. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 已知向量，则与的夹角为 C. 向量能作为平面内所有向量的一组基底 D. 若向量是与向量同向的单位向量，则 10. 定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 11. 若函数，则下列判断正确的是（ ） A. 减函数 B. 在上最小值为 C. 若均为正整数，则为有理数 D. 若在上有零点，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则______（用和表示）． 13. 若向量满足，则在上的投影向量是______． 14. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 16. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点． （1）是线段上靠近A的三等分点，求点的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 已知在中，，分别为边上的点，且． （1）若，用向量方法求证：； （2）延长到，若（为常数），，求的长度． 18. 若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）若函数（其中e为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$