6.2 反比例函数的图象和性质 同步练习 2024-2025学年 浙教版数学八年级下册

6.2 反比例函数的图象和性质 同步练习 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．y＝ x，下列结论正确的是（　　） A．函数图象必经过点（1，2） B．函数图象必经过第二、四象限 C．不论x取何值，总有y＞0 D．y随x的增大而增大 2．若点 在反比例函数 的图象上，则 的值是（　　） A．-6 B．-2 C．2 D．6 3．（2021八上·金山期中）下列各点中，在正比例函数 的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，1） D．（6，3） 4．已知电压 、电流 、电阻 三者之间的关系式为 或 .实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的图象，图象不可能是（　　） A． B． C． D． 5．以正方形ABCD两条对角线的交点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线 经过点 ，则正方形ABCD的面积是（　　） A．6 B．12 C．14 D．15 6．已知反比例函数 的图象，在每一象限内， 的值随 值的增大而减小，则一次函数 的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，在平面直角坐标系中， 是 轴正半轴上的一个定点，点 是反比例函数 图象上的一个动点， 轴于点 .当点 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　） A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（　　） A．S1=S2+S3 B．S2=S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32 9．在反比例函数y＝的图像上有三点A1（x1，y1）、A2(x2，y2)、A3(x3，y3)，已知x1< x2<0<x3则下列各式中，正确的是（　　） A．y1<y2<y3 B．y3< y2< y1 C．y2< y1< y3 D．y3< y1< y2 10．已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（　　）． A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共计18分） 11．老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学分别指出了这个函数的一个性质. 甲：函数图象不经过第二象限； 乙：函数图象上两个点 且 丙：函数图象在第一象限； 丁：在自变量取值范围内，y随x的增大而减小.老师说这四位同学的叙述都是正确的，请你构造一个满足上述性质的函数　 　 12．如图所示，在平面直角坐标系中，函数 的图象经过 两点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，连结AB，BC.若 的面积为3，则点 的坐标为　 　. 13．若、两点都在函数的图像上，且<，则k的取值范围是　 　． 14．如图，直线AB与x轴交于点，与x轴夹角为30°，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，C为y轴正半轴上一点，过点C作直线AB∥x轴，直线分别与反比例函数y 和y 的图象交于A、B两点，连结AO和BO．若S△AOB＝3，则k的值为 　 　． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其他部分均在第二象限，双曲线y= 过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以AD、AE为边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为2，则k的值为　 　. 三、解答题（8题共计52分） 17．如图，△OAP、△ABQ是等腰直角三角形，点P、Q在函数 （k≠0）第一象限的图像上，直角顶点A、B均在x轴上，若OA=3，求点Q的坐标. 18．已知y=y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x+3成反比例，当x=0时，y=2；当x=2时，y=0，求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 19．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （Ⅰ）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （Ⅱ）求图中t的值； （Ⅲ）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 20．如图,D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥ 轴于点E,DC⊥ 轴于点C,一次函数 的图象经过C点，与 轴相交于A点,四边形DCAE的面积为4,求 的值. 21．如图所示，线段OA与反比例函数 在第一象限的图象相交于点 B（4，3），B 是OA的中点，AC∥x 轴交反比例函数图象于点 C . （1）求 的值； （2）求AC的长. 22．如图，在平面直角坐标系内，双曲线上有A，B两点，且与直线交于第一象限内的点A，点A的坐标为，点B的坐标为，过点B作y轴的平行线，交x轴于点C，交直线与点D． （1）求：点D的坐标； （2）求：的面积； （3）在x轴正半轴上是否存在点P，使是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与函数y （m＞0，x＞0）的图象交于A（3，a）、B（14﹣2a，2）两点． （1）求a、m的值． （2）求一次函数y＝kx+b所对应的函数表达式． 24．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是 . （1）求证： ； （2）设 ，求y与x的函数关系式； （3）直接写出y的最大值为　 　，最小值为　 　. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质 【解析】【解答】解：A、当x=1时， ，所以函数图象必过点（1， ），不符合题意； B、∵ ，∴函数图象必过第一、三象限，不符合题意； C、当x＜0时，y＜0，不符合题意； D、∵ ，∴y随x的增大而增大，符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据正比例函数的性质得到把（1，2）代入得出左边不等于右边； ，函数图象必过第一、三象限； ，y随x的增大而增大；当x＜0时，y＜0，根据以上结论即可进行判断。 2．【答案】A 【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：将点 代入到反比例函数 中，可得：， ∴k=-6 故答案为：A. 【分析】利用待定系数法将点A代入到解析式中，可求出k. 3．【答案】B 【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：A、当x= 时， ， ∴点 不在正比例函数 的图象上； B、当x=﹣3时， ， ∴点（﹣3，﹣1）在正比例函数 的图象上； C、当x=0时， ， ∴点（0，1）不在正比例函数 的图象上； D、当x=6时， ， ∴（6，3）不在正比例函数 的图象上． 故答案为：B． 【分析】将点的坐标代入，结合正比例函数解析式判断求解即可。 4．【答案】A 【知识点】反比例函数的图象 【解析】【解答】解：若U为常数，则I是关于R的反比例函数，即 且R＞0，而A选项中R的取值为不等于0，不符合实际情况， ∴A选项图象不可能，B可能； 若R为常数，则I是关于U的正比例函数，即U=IR且R＞0， ∴C、D都可能. 故答案为：A. 【分析】 由于电压U 、电流I 、电阻R三者之间的关系式为U=IR或，即其图象可能是正比例也可能是反比例，不过根据实际情况知R＞0，由此可得出答案. 5．【答案】B 【知识点】反比例函数系数k的几何意义 【解析】【解答】解：∵双曲线 经过点D ， ∴第一象限的小正方形面积为3， ∴正方形ABCD的面积是3×4=12. 故答案为：B. 【分析】根据反比例函数k的几何意义，可以得出第一象限的小正方形面积，从而得出大正方形的面积. 6．【答案】C 【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小， ∴a＞0 ∴-a＜0 ∴一次函数 的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限. 故答案为：C. 【分析】由反比例函数的性质可以确定a＞0，从而得到-a＜0，再根据一次函数的图象性质得出一次函数所经过的象限，从而可知不经过的象限. 7．【答案】C 【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵点P是反比例函数 图象上的一个动点 ， ∴设点P坐标为（a，) ∵PB⊥y轴于点B ∴B（0，） ∵A是x轴正半轴上的一个定点 ∴OA为定值，且BP∥OA ∴四边形OAPB是直角梯形 ∴四边形OAPB的面积=（BP+OA）×OB=（a+OA）×=+OA× ∵OA是定值，是反比例函数，且在第一象限内，会随a的增大而减小 ∴ 当a增大时，即当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会逐渐减小. 故答案为：C. 【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设出P的坐标，再运用该坐标表示出四边形OAPB的面积，最后根据反比例函数 的性质得出当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积变化情况. 8．【答案】B 【知识点】反比例函数系数k的几何意义 【解析】【解答】解：由题意得：的面积都等于， ， A、与不一定相等，此项不符合题意； B、，此项符合题意； C、，此项不符合题意； D、，此项不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出，即可得出结论。 9．【答案】C 【知识点】反比例函数的性质 【解析】【解答】解：∵k=2>0， ∴函数图象分布在一三象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴y2< y1< y3． 故答案为：C． 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可得：在每个象限内，y随x的增大而减小，再利用此性质求解即可。 10．【答案】A 【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象 【解析】【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴双曲线在第二、四象限， ∴函数y=-kx的图象经过第一、三象限， 故答案为：A． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系及反比例函数的图象与系数的关系求解即可。 11．【答案】 (答案不唯一) 【知识点】反比例函数的性质 【解析】【解答】解：∵函数图象上两个点 且 在自变量取值范围内，y随x的增大而减小， ∴该函数在取值范围内是单调递减的； ∵函数图象在第一象限且不经过第二象限 ， ∴该图象是反比例函数且k＞0， ∴该函数可以为： . 故答案为： (答案不唯一) . 【分析】根据反比例函数的性质可知该函数是反比例函数且k＞0，由于该函数在第一象限，所以x＞0，所以写出一个在第一象限的反比例函数解析式即可. 12．【答案】 【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵函数 的图象经过点A(1，2) ∴k=1×2=2 ∴函数表达式为 ∵AC⊥x轴 ∴AC=2 ∵ △ABC的面积为3 ∴B到AC的距离==3 ∴B的横坐标为3+1=4 把x=4代入中，得 ∴B（4，） 故答案为： . 【分析】根据待定系数法先求出反比例函数的解析式，再根据△ABC的面积为3，底AC=2，求出高，从而得到点B的横坐标，再把点B的横坐标代入到所求反比例函数解析式中，从而得出坐标. 13．【答案】k<0 【知识点】反比例函数的性质 【解析】【解答】解：∵ ，且<， ∴ 随 的增大而增大， ∴ 故答案为： 【分析】根据 ，且<，可得 随 的增大而增大，再利用反比例函数的性质与其系数的关系可得。 14．【答案】 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理 【解析】【解答】∵A（，0）， ∴OA=2， ∵将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，∠BAO=30°， ∴∠CAB=∠BAO=30°，AC=OA=2， ∴∠CAO=60°，∠ACD=30°， ∴AD=AC=1，OD=OA=1， ∴CD==， ∵点C在第二象限， ∴点C坐标为（，）， ∵点C在在双曲线上， ∴． 故答案为： 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAO=∠ACD=30°，再利用含30°角的性质可得AD=AC=1，OD=OA=1，再利用勾股定理求出CD的长，即可得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可。 15．【答案】-2 【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质 【解析】【解答】解：∵直线AB∥x轴， ∴AC⊥y轴，BC⊥y轴， ∴S△AOC= |k|，S△BOC= ×4=2， ∵S△AOB=3， ∴S△AOC=1， ∴|k|=2， ∵k＜0， ∴k=-2， 故答案为：-2． 【分析】根据反比例函数中系数k的几何意义，结合平行线的性质以及撒娇行的面积公式，求出答案即可。 16．【答案】-2 【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定；矩形的性质 【解析】【解答】解：如图，延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长BA交EF于N， ∴△DHF≌△AGE≌△AEN， ∵四边形COEH为矩形， ∴S△CEH=S△COE，S△ACD=S△ABC， ∴S△CEH-S△ACD=S△COE-S△ABC， ∴S四边形ABOE=S四边形ADHE， ∴S四边形ABOG=S四边形AEFD=|k|=2， ∴k=-2. 故答案为：-2. 【分析】延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长BA交EF于N，则△DHF≌△AGE≌△AEN，根据割补法求面积，推得S四边形ABOG=S四边形AEFD=|k|=2，即可解答. 17．【答案】解：∵△OAP是等腰直角三角形，OA=3 ∴P（3，3） 代入 ，得k=3×3=9 ∴y= 设AB=a（a＞0），根据△ABQ是等腰直角三角形得到Q点坐标为（3+a，a）， ∴(3+a)×a=9 解得a1= ，a2= （舍去） ∴Q点坐标为（ ， ） 【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】根据 △OAP是等腰直角三角形，OA=3，求出点P的坐标，再将点P的坐标代入求出k的值，再设AB的长为a，得到点Q的坐标（3+a，a） ，再代入解析式求解即可。 18．【答案】解：设y1=k1x2成正比例，y2= ，则y=k1x2﹣ ，根据题意得 ， 解得 ， 所以y=﹣ x2+ ， 指出自变量x的取值范围为x≠﹣3 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【分析】先y1=k1x2成正比例，y2= ，则有y=k1x2﹣ ，再把x=0，y=2；x=3，y=0分别代入得到k1与k2的方程组，然后解方程组即可． 19．【答案】（Ⅰ）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b， 依据题意，得 ，解得： ， 故此函数解析式为：y=10x+20； （Ⅱ）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y= ， 依据题意，得：100= ，即m=800，故y= ， 当y=20时，20= ，解得：t=40； （Ⅲ）∵45﹣40=5≤8， ∴当x=5时，y=10×5+20=70， 答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃． 【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质 【解析】【分析】（Ⅰ）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式； （Ⅱ）首先求出反比例函数解析式进而得到t的值； （Ⅲ）利用已知由x=5代入求出饮水机的温度即可． 20．【答案】解：当x=0时，y=-x+2=2 ,∴C（0,2）， 当y=0时，0=-x+2, 解得x=2,∴A（2,0）， 四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4， ∴（DC+DC+OA）×OC=8， 即（2DC+2）×2=8， 解得DC=1， ∴D（-1,2）， ∴k=xy=-2. 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题 【解析】【分析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求. 21．【答案】（1）解： 反比例函数 的图象过点 B（4，3） ， ， ，反比例函数表达式为 . （2）解： ∵B 是OA的中点，B（4，3） ∴A（8，6） . ∵AC∥x 轴， ∴C、A 两点纵坐标相同，都为6. 将 代入 ，解得 ， ∴C(2，6）∴AC=8-2=6. 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；线段的中点；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点B（4，3）代入到反比例函数 中，即可求出m的值； （2）根据B(4，3)是OA的中点，根据中点公式 ，可求出点A的坐标（8，6），由于AC∥x轴，所以点A的纵坐标与点C的纵坐标相同为6，把y=6代入 中，求出C点的横坐标，将A、C横坐标相减可算出AC的长. 22．【答案】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴． ∴直线OA函数解析式为． ∵点在双曲线上， ∴． ∵过点B的直线CD平行于y轴， ∴点C，点D的横坐标都是8．代入 ∴可得点D坐标为 （2）解：如图，联结AB、OB，过A作． 根据题意可得点C坐标为，，， ，，，，． （3）解：的坐标为或 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：（3）由是以OA为腰的等腰三角形， ①当时， 即 ②当时 ， 综上所述的坐标为或 【分析】（1）先求出直线OA的解析式，再求出点B的坐标，再将点D的横坐标代入直线OA的解析式即可得到点D的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）分两种情况，再利用等腰三角形的性质求解即可。 23．【答案】（1）解：由题意把点A（3，a）、B（14﹣2a，2）代入函数y 得： ，解得： ； （2）解：由（1）可知点 ，则代入一次函数解析式得： ，解得： ， ∴一次函数解析式为 ． 【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a和m的值即可； （2）将计算得到的点A以及点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可。 24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=BA，∠DAB=90° ∵分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是 . ∴DD’⊥AP，BB’⊥AP ∴∠DD’A=∠AB’B =90° ∵∠DAD’+∠B’AB=90°，∠DAD’+∠ADD’=90° ∴ADD’=∠BAB’ ∴△ADD’≌△BAB’（AAS） ∴ （2）解：连接AC、DP， S正方形ABCD＝1×1＝1， 由勾股定理得：AC＝ ， ∵AB＝1， ∴1≤AP≤ ， ∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB， ∴S△DPC＝S△APC＝ AP×CC′， ∴1＝S正方形ABCD＝S△ABP＋S△ADP＋S△DPC＝ AP（ ）， ∴ ＝ ， ∵ ∴y与x的函数关系式为 （1≤x≤ ） （3）2； 【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【解答】（3）∵y与x的函数关系式为 （1≤x≤ ） ∴当x=1时，y的最大值为2；当x= 时，y的最小值为 ； 故答案为：2， . 【分析】（1）利用正方形的性质及垂直的定义可证明△ADD’≌△BAB’（AAS）可得 ； （2） 连接AC、DP，根据三角形的面积公式可得S△DPC＝S△APC＝ AP×CC′， 由S正方形ABCD＝S△ABP＋S△ADP＋S△DPC，可得出 ＝ ，据此即得结论； （3）由（2）知 1≤AP≤ ， 代入利用反比例函数的性质求出最值即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$