4.6 反证法 同步练习 2024-2025学年 浙教版八年级数学下册

4.6 反证法 同步练习 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．用反证法证明命题：“如图，如果AB//CD，AB//EF，那么CD//EF.”证明的第一个步骤是（　　） A．假定CD//EF B．假定CD不平行于EF C．已知AB//EF D．假定AB不平行于EF 2．要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（　　） A．a＝3，b＝2 B．a﹣3，b＝2 C．a﹣＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3 3．用反证法证明“a<0”时，应先假设（　　） A．a>0 B．a=0 C．a 0 D．a不为0 4．用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（ ） A．三个角都小于60° B．三个角都大于60° C．三个角都大于或等于60° D．有两个角大于60° 5．利用反证法证明“x＞2”，应先假设（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≠2 6．用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（　　） A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A<45°，∠B<45° D．∠A>45°，∠B>45° 7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°时，首先应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60 D．每一个内角都小于60° 8．若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设（　　） A． B． C． D． 9．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（　　） A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≤60° D．∠A≠60° 10．如图，点O是 的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在 的平分线上：②点O到 的三边的距离相等；③ ，以上结论正确的有（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 二、填空题（每题3分，共计18分） 11．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设：　 　。 12．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设　 　. 13．用反证法证明（填空）： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°. 求证：l1　 　l2. 证明：假设l1　 　l2，即l1与l2相交于一点P. 则∠1+∠2+∠P　 　180°（　 　）。 所以∠1+∠2　 　180°，这与　 　矛盾，故假设不成立， 所以　 　。 14．已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设　 　，根据　 　，一定有　 　，但这与已知　 　相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。 15．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设：　 　． 16．如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 　 　. 三、解答题（6题共计52分） 17．阅读下列文字，回答问题。 题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC=BC， ∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正。 18．求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。 19．阅读下列文字，回答问题. 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC． 证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC． 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正. 20．用反证法证明下列问题。 如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。 求证：BD和CE不可能互相平分。 21．如图1，四边形ABCD是正方形，F是BC边上的一点，E是CD边的中点，且AF＝AD+FC，连接EF并延长EF交AD的延长线于点G. （1）求证：AE平分∠DAF； （2）AF＝DE+BF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）如图2，若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，试探究上述（1）、（2）中的结论是否成立.请分别做出判断，不需要证明. 22．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形， （1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 　 　 　 　 …… 　 （2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数. （3）是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：∵结论是CD∥EF， ∴当用反证法证明这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”. 故答案为：B. 【分析】用反证法证明命题的第一步： 通常是假设所证结论不成立，结合结论是“CD∥EF”，即可解答. 2．【答案】B 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：A、32＞22，且3＞2，不能作为反例，故A不符合题意； B、（-3）2＞22，但-3＜2，能作为反例，故B符合题意； C、32＞（-1）2，且3＞-1，不能作为反例，故C不符合题意； D、（-1）2＜32，不能作为反例，故D不符合题意. 故答案为：B. 【分析】 作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可． 3．【答案】C 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：应先假设： a 0 . 故答案为：C. 【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，结合a<0的反面是 a 0 ，即可解答. 4．【答案】B 【知识点】反证法 【解析】【解答】解： 用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°， ∵结论是“至少有一个角不大于60°， ∴应假设三个角都大于60°. 故答案为：B. 【分析】根据反证法的步骤，从命题的反面出发先假设出结论， 三角形至少有一个角不大于60°的结论的反面是三个角都大于60°. 5．【答案】A 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：反证法证明“x＞2”时，应先假设“x 2”， 故答案为：A. 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案. 6．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；反证法 【解析】【解答】解：假设 ∠A>45°，∠B>45° ， ∴∠A+∠B+∠C=90°+∠A+∠B>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， 则原命题成立. 故答案为：D. 【分析】利用反证法证明，应先假设原命题的结论不成立，即其反面成立，依此解答即可. 7．【答案】C 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60 . 故答案为：C. 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案. 8．【答案】D 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设， 故答案为：D． 【分析】利用反证法判断即可得出答案。 9．【答案】C 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°. 故答案为：C. 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案. 10．【答案】B 【知识点】角平分线的性质；反证法；角平分线的判定 【解析】【解答】解：过点O分别作 ，如图， 点O是△ABC的两个外角平分线的交点， ， ， 点O到△ABC的三边的距离相等；故②正确； ，OD=OF， 点O在∠A的平分线上，故①正确； 连接AO ， 假设 ， ， 是∠BAC的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 不一定等于 ， 故③不成立； 故正确的有①②. 故答案为：B. 【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据角平分线的性质得OD=OE，OE=OF，推出OD=OE=OF，据此判断①②； 连接AO，假设OB=OC，易证△AOD≌△AOF，△ODB≌△OFC，得到AD=AF，DB=CF，推出AB=AC，据此判断③. 11．【答案】李子为甜李 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：∵需证明：此必苦李，而反证法假设原命题的逆命题正确， ∴应假设：李子为甜李. 故答案为：李子为甜李. 【分析】由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，即可作答. 12．【答案】在直角三角形中两个锐角都大于45° 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：反证法中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可得到答案。 【分析】根据反证法的含义判断得到答案即可。 13．【答案】∥；不平行于；=；三角形内角和定理；=；结论；l1∥l2 【知识点】三角形内角和定理；反证法 【解析】【解答】证明：假设l1不平行于l2， 即l1与l2相交于一点P， 则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理）， ∴∠1+∠2<180°， 这与假设 ∠1+∠2=180° 矛盾， ∴结论不成立， 故l1∥l2 . 故答案为：∥，不平行于，三角形内角和定理，=，假设，结论，l1∥l2 . 【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设l1不平行于l2， 即l1与l2相交于一点P，利用三角形内角和定理证明即可. 14．【答案】∠C=90°；勾股定理；AC2+BC2=AB2；AC2+BC2≠AB2 【知识点】勾股定理；反证法 【解析】【解答】解：证明：假设∠C=90°， 由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ， ∴这与AC2+BC2≠AB2矛盾， 故原命题成立. 故答案为： ∠C=90° ， 勾股定理 ， AC2+BC2=AB2 ， AC2+BC2≠AB2 . 【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设∠C=90°，利用勾股定理，即可得证. 15．【答案】这两个角所对的边相等 【知识点】反证法 【解析】【解答】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等． 证明时，可以先假设这两个角所对的边相等， 故答案为：这两个角所对的边相等． 【分析】根据反证法的证明方法及要求求解即可。 16．【答案】②③④ 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法 【解析】【解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线， 设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上， 这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾， 故①错误， ， ， ， ∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°， ∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°， ∠ABC+∠ACO =90°， 故②正确； 过点I作 ， 分别是 的角平分线， 是 的角平分线 ∠BOI＝∠COI， 故③④正确. 故答案为：②③④. 【分析】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④. 17．【答案】解：有错误。改正： 假设AC=BC，则∠A=∠B 又∵∠C=90° ∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾， ∴.AC=BC不成立， AC≠BC。 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法 【解析】【分析】根据反证法证明方法，先连结DE，假设AC=BC，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理证明即可. 18．【答案】解：已知△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°， ∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾， ∴假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角。 【知识点】三角形内角和定理；反证法 【解析】【分析】根据反证法的证明方法，先假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，然后根据三角形内角和定理证明即可. 19．【答案】解：有错误. 改正： 假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾， 所以AC=BC不成立， 所以AC≠BC. 【知识点】反证法 【解析】【分析】反证法的步骤：①假设结论成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可. 20．【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD. ∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上， ∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确， 即BD和CE不可能互相平分。 【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法 【解析】【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明. 21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠C＝∠BAD＝90°， ∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴∠EDG＝∠C， ∵E是CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△EDG和△ECF中， ， ∴△EDG≌△ECF（ASA）， ∴EG＝EF，DG＝FC， ∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG， ∴AF＝AG， ∴AE平分∠DAF； （2）解：AF＝DE+BF成立，证明如下： 如图2，作AH⊥AE交CB的延长线于点H， ∴∠HAB+∠BAE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD， ∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE， 在△AHB和△AED中， ， ∴△AHB≌△AED（ASA）， ∴BH＝DE，∠H＝∠AED， ∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE， ∴∠AED＝∠FAH， ∴∠FAH＝∠H， ∴AF＝FH， ∵FH＝BH+BF， ∴AF＝DE+BF； （3）解：①结论AE平分∠DAF仍然成立. 证明：如图3， ∵四边形ABCD是长与宽不相等的矩形， ∴∠ADC＝∠C＝90°， ∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴∠EDG＝∠C， ∵E是CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△EDG和△ECF中， ， ∴EG＝EF，DG＝FC， ∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG， ∴AF＝AG， ∴AE平分∠DAF； ②结论AF＝DE+BF不成立. 如图4， 假设AF＝DE+BF成立， 作AH⊥AE交CB的延长线于点H， ∴∠HAB+∠BAE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD， ∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE， ∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE， ∴∠AED＝∠FAH， ∵∠AHB＝90°﹣∠HAB＝90°﹣∠DAE＝∠AED， ∴∠AHB＝∠FAH， ∴AF＝FH， ∴DE+BF＝BH+BF， ∴DE＝BH， 在△AHB和△AED中， ， ∴△AHB≌△AED（AAS）， ∴AB＝AD，与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立. ∴AF＝DE+BF不成立. 【知识点】矩形的性质；正方形的性质；反证法；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADC＝∠C＝∠BAD＝90°，从而可证得∠EDG＝∠C，利用线段中点的定义可推出DE＝CE，利用ASA证明△EDG≌△ECF，利用全等三角形的性质可得到EF=EG，DG=FC；再证明AF=AG，利用等腰三角形的性质可证得结论； （2）作AH⊥AE交CB的延长线于点H，利用正方形的性质可得到AB=AD，同时证得∠HAB=∠EAD，∠ABH=∠ADE，利用ASA证明△AHB≌△AED，利用全等三角形的性质可推出BH＝DE，∠H＝∠AED；再利用余角的性质可推出∠FAH=∠H，利用等角对等边可得到AF=FH，由此可证得结论； （3）如图3，①利用已知四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，可得到∠ADC＝∠C＝90°，由此可推出∠EDG＝∠C，利用线段中点的定义可证得DE＝CE；利用ASA证明△EDG≌△ECF，利用全等三角形的性质可推出EG＝EF，DG＝FC；再证明AF=AG，利用等腰三角形的性质，可证得AE平分∠DAF；②如图4，假设AF＝DE+BF成立，作AH⊥AE交CB的延长线于点H，可得到∠HAB+∠BAE＝90°，利用矩形的性质可推出∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，从而可推出∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE；再证明DE＝BH，利用AAS证明△AHB≌△AED，然后利用全等三角形的性质可得到AB＝AD，与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立，即可证得结论. 22．【答案】（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 … n ∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （ ）° （2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（ ）°=22.5°； （3）不存在，理由如下： 设存在正n边形使得∠α=21°， 得∠α=21°=（ ）°. 解得n=8 ，n是正整数，n=8 （不符合题意要舍去）， 不存在正n边形使得∠α=21°. 【知识点】反证法；正多边形的性质 【解析】【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（ ）°；（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数；（3）根据正n边形中的∠α=（ ）°，可得答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$